Funciones: dominio, rango y representaciones
Lo que vas a aprender
- Decidir si una relación entre dos variables es una función, a partir de una tabla, una gráfica o un enunciado.
- Hallar el dominio de una función con denominadores o con raíces cuadradas, y el dominio que impone un problema.
- Leer el rango de una función en su gráfica y calcularlo en funciones cuadráticas y con raíz.
- Reconocer en qué intervalos una función es creciente o decreciente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El agua que queda en un tanque depende del tiempo que lleva abierto el grifo. El costo de una carrera de taxi depende de los kilómetros. La altura de un balón depende del instante en que la mires. Cada vez que una cantidad depende de otra de forma que, al conocer la primera, la segunda queda determinada, hay una función.
Las funciones se pueden contar con palabras, escribir con una fórmula, resumir en una tabla o dibujar en una gráfica. Saber pasar de una forma a otra te permite responder preguntas prácticas: cuándo se vacía el tanque, qué valores puede tomar una medida, en qué momento algo deja de subir y empieza a bajar. En esta lección vas a precisar tres ideas que se usan en todo el bachillerato: dominio, rango y crecimiento.
Antes de empezar repasa cómo se evalúa una expresión (reemplazar $x$ por un número) y la notación de intervalos.
Explicación
Qué es una función
Una función $f$ es una regla que, a cada valor $x$ de un conjunto llamado dominio, le asigna exactamente un valor, que se escribe $f(x)$ y se lee «$f$ de $x$». A $x$ se le llama variable independiente y a $y = f(x)$, variable dependiente.
La palabra clave es exactamente uno. Si a un mismo valor de $x$ le corresponden dos valores distintos de $y$, la relación no es una función. En una tabla, eso se ve como un mismo $x$ repetido con dos resultados distintos. En una gráfica se usa la prueba de la recta vertical: si alguna recta vertical corta la curva en dos o más puntos, la curva no es la gráfica de una función. Por ejemplo, la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ no lo es: la recta $x = 3$ la corta en $(3;\ 4)$ y en $(3;\ -4)$.
Ojo con lo contrario: que dos valores de $x$ distintos den el mismo $y$ sí está permitido. En $f(x) = x^2$, tanto $2$ como $-2$ dan 4, y $f$ es una función.
Cuatro formas de representar una función
Una misma función se puede presentar de cuatro maneras:
- con palabras: «un tanque tiene 200 litros y pierde 8 litros por minuto»;
- con una fórmula: $V(t) = 200 - 8t$;
- con una tabla de valores;
- con una gráfica, en la que cada punto es una pareja $(t;\ V(t))$.
Cada forma muestra mejor algo distinto. La fórmula permite calcular cualquier valor; la tabla, comparar unos pocos; la gráfica, ver de un vistazo dónde sube, dónde baja y dónde corta los ejes.
Ejemplo resuelto
El tanque, en cuatro representaciones
Un tanque (datos inventados) tiene 200 litros y pierde 8 litros por minuto. Escribe la función, calcula valores para una tabla y halla cuándo se vacía, su dominio y su rango.
Ver la solución paso a paso
Después de $t$ minutos se han perdido $8t$ litros. La fórmula es $V(t) = 200 - 8t$. Para la tabla, a los 5 minutos quedan:
$$200 - 8 \cdot 5$$
Calculamos.
$$160$$
A los 10 minutos:
$$200 - 8 \cdot 10$$
Calculamos.
$$120$$
El tanque se vacía cuando $V(t) = 0$:
$$200 - 8t = 0$$
Despejamos.
$$8t = 200$$
Dividimos entre 8.
$$t = 25$$
La fórmula da números para cualquier $t$, pero en el problema el tiempo no es negativo y después de 25 minutos ya no hay agua que perder. El dominio del problema es $[0;\ 25]$, y en ese tiempo el volumen baja de 200 a 0: el rango es $[0;\ 200]$.
Respuesta: $V(t) = 200 - 8t$; quedan 160 L a los 5 min y 120 L a los 10 min; se vacía a los 25 min. Dominio $[0;\ 25]$, rango $[0;\ 200]$.
El dominio
Cuando una función viene solo con su fórmula, su dominio son todos los reales para los que la fórmula da un número real. En este curso hay dos situaciones que sacan números del dominio:
- Denominadores: no se puede dividir entre cero. De $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ se excluye el valor que anula el denominador.
- Raíces cuadradas: en los reales no existe la raíz cuadrada de un negativo. En $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$ hay que exigir que lo de dentro sea mayor o igual que cero.
Si la función describe un problema, el dominio puede ser más pequeño, como en el tanque: lo decide el sentido de la situación (tiempos no negativos, cantidades que no pueden ser negativas, objetos que se cuentan con enteros).
Ejemplo resuelto
Dominio con un denominador y con una raíz
Halla el dominio de $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ y de $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$.
Ver la solución paso a paso
En $f$, el denominador no puede ser cero:
$$x - 2 \ne 0$$
Sumamos 2.
$$x \ne 2$$
El numerador no pone condiciones. El dominio de $f$ son todos los reales menos el 2: $(-\infty;\ 2) \cup (2;\ \infty)$. En $g$, lo de dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que cero:
$$6 - 2x \ge 0$$
Restamos 6.
$$-2x \ge -6$$
Dividimos entre $-2$, que es negativo: el sentido se invierte.
$$x \le 3$$
El dominio de $g$ es $(-\infty;\ 3]$. El 3 sí entra, porque $\sqrt{0} = 0$ existe.
Respuesta: Dominio de $f$: $(-\infty;\ 2) \cup (2;\ \infty)$. Dominio de $g$: $(-\infty;\ 3]$.
La gráfica de y = √(6 − 2x) solo existe a la izquierda de x = 3, que es su dominio; empieza en el punto (3; 0).
La máquina calcula g(x) = √(6 − 2x): multiplica por −2, suma 6 y saca la raíz. Mete 1, −5 y 3. Después mete 5: se atasca, porque 6 − 2 · 5 es negativo. El dominio es x ≤ 3.
El rango
El rango es el conjunto de los valores que toma la función. En la gráfica se encuentra «aplastando» la curva contra el eje $y$: los valores del eje vertical que quedan cubiertos. En la de $\sqrt{6 - 2x}$, la curva arranca en altura 0 y sube sin límite hacia la izquierda, así que su rango es $[0;\ \infty)$.
Con la fórmula, dos casos frecuentes:
- una cuadrática con $a > 0$ tiene su punto más bajo en el vértice; su rango es $[k;\ \infty)$, donde $k$ es la ordenada del vértice. Si $a < 0$, es $(-\infty;\ k]$;
- $\sqrt{\ }$ nunca da negativos, así que $\sqrt{x - 4}$ tiene rango $[0;\ \infty)$, y $\sqrt{x - 4} + 1$ tiene rango $[1;\ \infty)$.
Cuidado: el rango no es siempre «todos los reales». Una función afín como $V(t) = 200 - 8t$ toma todos los valores reales si su dominio son todos los reales, pero en el problema del tanque solo toma los de $[0;\ 200]$.
Crecer y decrecer
Una función es creciente en un intervalo si, dentro de ese intervalo, al aumentar $x$ también aumenta $f(x)$: para $a < b$ se cumple $f(a) < f(b)$. Es decreciente si al aumentar $x$ el valor $f(x)$ disminuye: $f(a) > f(b)$. En la gráfica, leída de izquierda a derecha, la curva sube o baja.
Una función puede ser decreciente en un tramo y creciente en otro. Una parábola que abre hacia arriba baja hasta el vértice y sube después. Por eso no se dice «$f$ es creciente» a secas, sino en qué intervalo lo es. En esta lección escribiremos esos intervalos abiertos, sin sus extremos.
Ejemplo resuelto
Rango y crecimiento de una parábola
Para $f(x) = (x - 2)^2 - 1$, halla el rango y los intervalos donde crece y donde decrece.
Ver la solución paso a paso
La parábola abre hacia arriba y su vértice tiene abscisa 2, porque ahí $(x - 2)^2$ vale 0, su menor valor posible. La ordenada del vértice es:
$$\left(2 - 2\right)^{2} - 1$$
Calculamos.
$$-1$$
El punto más bajo es $(2;\ -1)$, así que el rango es $[-1;\ \infty)$. Para ver que decrece a la izquierda del vértice, comparamos dos valores con $0 < 1$:
$$\left(0 - 2\right)^{2} - 1 > \left(1 - 2\right)^{2} - 1$$
Y a la derecha, con $3 < 4$, crece:
$$\left(3 - 2\right)^{2} - 1 < \left(4 - 2\right)^{2} - 1$$
Comparar dos puntos no basta para probar el crecimiento en todo un intervalo, pero confirma lo que muestra la gráfica: $f$ baja hasta $x = 2$ y sube después.
Respuesta: Rango $[-1;\ \infty)$; $f$ decrece en $(-\infty;\ 2)$ y crece en $(2;\ \infty)$.
La parábola y = (x − 2)² − 1 baja hasta el vértice (2; −1) y sube después. Su rango es [−1; ∞).
Práctica
¿Cuál de estas relaciones no es una función de x en y?
En la primera tabla, a x = 1 le corresponden dos valores, 4 y 7. En la segunda, −1 y 1 dan el mismo y = 1, y eso sí está permitido. Cada estudiante tiene una sola fecha de nacimiento, y la recta pasa la prueba de la recta vertical.
¿Cuál es el dominio de f(x) = $\sqrt{x - 5}$?
Lo de dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que cero: x − 5 ≥ 0, x ≥ 5. El 5 entra, porque √0 = 0.
¿Cuál es el dominio de f(x) = $\frac{4}{x + 1}$?
El denominador no puede ser cero: x + 1 ≠ 0, x ≠ −1. Todos los demás reales sirven, también los menores que −1.
¿Cuál es el dominio de f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$?
Hay dos condiciones: la raíz pide x − 2 ≥ 0, y el denominador pide √(x − 2) ≠ 0, es decir, x ≠ 2. Juntas dan x > 2.
Marca todos los números que están en el dominio de f(x) = $\frac{x + 1}{x^{2} - 9}$.
Marca todas las que apliquen.
El denominador x² − 9 se anula en x = 3 y en x = −3, que quedan fuera. x = −1 sí está: anula el numerador, y 0 dividido entre −8 es 0.
Si f(x) = $x^{2} - 3x$, ¿cuánto vale f(−2)?
f(−2) = (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10. Sin paréntesis es fácil escribir −2² = −4 o restar 6 en lugar de sumarlo.
El rango de f(x) = $\left(x + 1\right)^{2} + 4$ es de la forma [m; ∞). ¿Cuánto vale m?
(x + 1)² vale como mínimo 0, cuando x = −1. Entonces f vale como mínimo 0 + 4 = 4, y toma todos los valores desde ahí hacia arriba.
¿Cuál es el rango de f(x) = $\sqrt{x} - 3$?
√x vale como mínimo 0 (en x = 0) y crece sin límite. Al restar 3, todos los valores bajan 3: el rango es [−3; ∞). [0; ∞) es el dominio, no el rango.
¿En qué intervalo es creciente f(x) = $-\left(x - 1\right)^{2} + 4$?
La parábola abre hacia abajo (por el signo menos) y su vértice es (1; 4). Sube hasta x = 1 y baja después. El 4 es la altura del vértice, no su abscisa.
Un tanque (datos inventados) tiene 180 litros y pierde 12 litros por minuto. ¿Después de cuántos minutos queda vacío?
V(t) = 180 − 12t. V(t) = 0 cuando 12t = 180, es decir, t = 15. El dominio del problema es [0; 15].
En el tanque de la pregunta anterior, ¿por qué no tiene sentido calcular el volumen para t = 20?
La fórmula da 180 − 240 = −60, un número que no describe nada real. El dominio lo decide el problema: entre 0 y 15 minutos.
¿Verdadero o falso? Si f(x) = $\frac{x + 3}{x - 2}$, entonces f(3) = 6.
f(3) = (3 + 3)/(3 − 2) = 6/1 = 6. El 3 está en el dominio, porque el único valor excluido es el 2.
Reto
Completa el dominio de cada función.
Mira si hay raíz (lo de dentro, mayor o igual que cero) o denominador (distinto de cero).
Reto
Une cada evaluación de f(x) = x² − 3x con su resultado.
Reemplaza x por el número, con paréntesis si es negativo.
Cierre
En resumen
Una función asigna a cada valor del dominio exactamente un valor; una recta vertical no puede cortar su gráfica en dos puntos.
Una función se representa con palabras, con una fórmula, con una tabla o con una gráfica.
El dominio excluye los valores que anulan un denominador y los que dejan negativo lo de dentro de una raíz cuadrada; en un problema, también lo que no tiene sentido.
El rango es el conjunto de valores que toma la función; en la gráfica se lee sobre el eje y.
Una función es creciente en un intervalo si al aumentar x aumenta f(x), y decreciente si disminuye.
Vocabulario
- Función
Relación entre dos variables que a cada valor de la variable independiente, dentro del dominio, le asigna exactamente un valor de la variable dependiente.
- Dominio
El conjunto de los valores de la variable independiente para los que la función está definida (o tiene sentido en el problema).
- Rango
El conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente cuando x recorre el dominio.
- Función creciente en un intervalo
f es creciente en el intervalo I si, para dos valores cualesquiera a < b de I, se cumple f(a) < f(b).
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el tanque y pida a cada estudiante que escriba cuánta agua queda a los 5, 10 y 30 minutos. Discuta el valor negativo de los 30 minutos.
- Explicación · 20 min — Definición de función con contraejemplo en tabla; las cuatro representaciones del tanque; dominio con denominador y raíz; rango y crecimiento sobre la gráfica de la parábola.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; los huecos y el dominó se pueden proyectar. Pida que, en cada dominio, digan primero qué tipo de restricción hay.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja la gráfica de una función inventada y marca en los ejes su dominio y su rango.
Preguntas para el salón
- Si dos valores distintos de x dan el mismo y, ¿la relación deja de ser función? ¿Y si un x da dos valores de y?
- ¿Por qué el 3 está en el dominio de √(6 − 2x) y el 2 no está en el de (x + 3)/(x − 2)?
- ¿Puede una función tener como rango un solo número? Den un ejemplo.
- ¿Una parábola puede ser creciente en todo su dominio?
Errores típicos
- Excluir del dominio el valor que anula el numerador. Evalúe la función en ese valor: 0 dividido entre un número distinto de cero es 0, y existe.
- Escribir x − 5 > 0 en lugar de x − 5 ≥ 0 para una raíz y dejar fuera el extremo. Pregunte cuánto vale √0 y si ese número existe.
- Confundir dominio y rango. Asocie el dominio con el eje x (lo que entra) y el rango con el eje y (lo que sale), y lea los dos sobre la misma gráfica.
- Decir que una parábola es creciente o decreciente sin indicar el intervalo. Recorra la gráfica de izquierda a derecha con el dedo y marque el punto donde cambia de bajar a subir.
Tarea sugerida
Hallar el dominio de √(2x + 8), de 3/(x − 7) y de √x/(x − 1); y, para un objeto inventado que cae desde 45 m con h(t) = 45 − 5t², escribir el dominio y el rango que tienen sentido en el problema.