Transformaciones de funciones

¿Para qué sirve esto?

Ya conoces la forma de algunas gráficas: la parábola $y = x^2$, la «V» de $y = |x|$ y la media curva de $y = \sqrt{x}$. Ahora imagina que quieres la misma parábola, pero con el vértice en otro lugar, más abierta o boca abajo. ¿Hay que empezar de cero, con una tabla de valores? No: basta con cambiar unos pocos números de la fórmula.

Eso es lo que estudiarás hoy: cómo cada cambio en la fórmula mueve, refleja o estira la gráfica. Con esa idea puedes dibujar en segundos funciones como $y = (x - 3)^2 + 1$ o $y = -2\sqrt{x - 1} + 4$, y también hacer lo contrario: escribir la fórmula de una curva que tiene que pasar por ciertos puntos, como el chorro de una fuente o el arco de una puerta.

Antes de empezar repasa las gráficas de $y = x^2$, $y = |x|$ y $y = \sqrt{x}$, y sus puntos clave: el vértice $(0;\ 0)$ en las dos primeras y el punto de partida $(0;\ 0)$ en la tercera.

Traslación vertical: $y = f(x) + k$

Sumar un número $k$ a toda la función sube cada punto $k$ unidades si $k > 0$, o lo baja $|k|$ unidades si $k < 0$. Cada punto $(a;\ b)$ de la gráfica de $f$ pasa a ser $(a;\ b + k)$. Así, $y = x^2 + 3$ es la parábola $y = x^2$ subida 3 unidades, con vértice $(0;\ 3)$.

Traslación horizontal: $y = f(x - h)$

Restar $h$ dentro de la función mueve la gráfica $h$ unidades a la derecha si $h > 0$. Parece al revés, pero tiene una razón: la nueva función $g(x) = f(x - h)$ hace en $x = a + h$ lo mismo que $f$ hacía en $x = a$, porque $g(a + h) = f(a)$. El punto $(a;\ b)$ pasa a ser $(a + h;\ b)$. Por eso $y = (x - 3)^2$ tiene el vértice en $x = 3$, donde lo de dentro vale cero, y $y = (x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ lo tiene en $x = -3$, a la izquierda.

Una forma rápida de recordarlo: el vértice está donde lo de dentro vale cero.

Reflexión: $y = -f(x)$

Cambiar el signo de toda la función cambia el signo de cada ordenada: $(a;\ b)$ pasa a $(a;\ -b)$. La gráfica se refleja respecto al eje $x$, como en un espejo. La parábola $y = -x^2$ abre hacia abajo, y $y = -|x|$ es una «V» invertida.

Estiramiento vertical: $y = a \cdot f(x)$

Multiplicar toda la función por un número $a > 0$ multiplica cada ordenada por $a$: $(p;\ q)$ pasa a $(p;\ aq)$. Si $a > 1$, la gráfica se estira verticalmente (una parábola se ve más cerrada); si $0 < a < 1$, se encoge (se ve más abierta). Los puntos sobre el eje $x$, con ordenada 0, no se mueven. Si $a$ es negativo, la gráfica se refleja y, además, se estira o se encoge según el tamaño de $|a|$.

Todo junto: $y = a \cdot f(x - h) + k$

Las transformaciones se pueden combinar. En $y = a \cdot f(x - h) + k$ conviene leerlas en este orden: primero el estiramiento y la reflexión que produce $a$, después el movimiento horizontal $h$ y el vertical $k$. Para las tres funciones base de esta lección, el punto clave $(0;\ 0)$ termina en $(h;\ k)$:

• $y = a(x - h)^2 + k$ es una parábola con vértice $(h;\ k)$; abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$;
• $y = a|x - h| + k$ es una «V» con vértice $(h;\ k)$, hacia arriba si $a > 0$ y invertida si $a < 0$;
• $y = a\sqrt{x - h} + k$ empieza en $(h;\ k)$; su dominio es $[h;\ \infty)$, y sube desde ahí si $a > 0$ o baja si $a < 0$.

Fíjate en que las traslaciones horizontales cambian el dominio de la función con raíz, y las verticales y las reflexiones cambian el rango. Por ejemplo, $y = -x^2 + 4$ tiene rango $(-\infty;\ 4]$, mientras que el de $y = x^2$ es $[0;\ \infty)$.

En resumen

• y = f(x) + k traslada la gráfica k unidades en vertical: hacia arriba si k > 0 y hacia abajo si k < 0.

• y = f(x − h) traslada la gráfica h unidades en horizontal: a la derecha si h > 0; el punto clave queda donde lo de dentro vale cero.

• y = −f(x) refleja la gráfica respecto al eje x, y y = a·f(x) con a > 0 la estira (a > 1) o la encoge (0 < a < 1) en vertical.

• En y = a(x − h)² + k y en y = a|x − h| + k el vértice es (h; k); y = a√(x − h) + k empieza en (h; k).

• Las traslaciones horizontales cambian el dominio de una función con raíz; las verticales y las reflexiones cambian el rango.

Vocabulario

Traslación

Movimiento de una gráfica sin girarla ni deformarla: todos sus puntos se desplazan la misma distancia en la misma dirección.

Reflexión respecto al eje x

Transformación que lleva cada punto (a; b) al punto (a; −b). La produce y = −f(x).

Estiramiento vertical

En y = a·f(x) con a > 1, cada ordenada se multiplica por a y la gráfica se alarga verticalmente; con 0 < a < 1, se encoge.

Función base

Una función sencilla que se toma como modelo para transformarla, como y = x², y = |x| o y = √x.