Ángulos: grados y radianes

¿Para qué sirve esto?

Una rueda de bicicleta, las aspas de un ventilador, la manecilla de un reloj o una puerta que se abre tienen algo en común: giran. Para describir un giro no basta con decir «mucho» o «poco». Hace falta medirlo, y saber además en qué sentido se gira y cuántas vueltas se dan.

Desde la primaria mides los ángulos en grados. En esta lección aprenderás otra unidad, el radián, que mide el giro con la longitud del arco que recorre. Es la unidad que usan la física, la ingeniería y las calculadoras científicas cuando trabajan con movimientos que se repiten, como el de una rueda que da vuelta tras vuelta. Toda la trigonometría de este año se apoya en esta idea.

Antes de empezar recuerda que la longitud de una circunferencia de radio $r$ es $2\pi r$, y repasa el teorema de Pitágoras.

El ángulo como giro

Piensa en un rayo que parte de un punto $O$ y que gira alrededor de ese punto. La posición de la que parte se llama lado inicial, la posición en la que se detiene es el lado final, y el punto $O$ es el vértice. El ángulo es ese giro.

Vista así, la medida de un ángulo dice cuánto giró el rayo, y puede ser tan grande como se quiera: una rueda que da dos vueltas y media gira mucho más que una vuelta. Además, el giro tiene sentido:

• si el rayo gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo;
• si gira en el mismo sentido de las manecillas, el ángulo es negativo.

Los grados

Un grado es la trescientos sesentava parte de una vuelta completa: una vuelta mide $360^\circ$, media vuelta $180^\circ$ y un cuarto de vuelta, el ángulo recto, $90^\circ$. El número 360 es una convención: no sale de ninguna propiedad de la circunferencia.

Los radianes

El radián, en cambio, sí sale de la circunferencia. Dibuja una circunferencia de radio $r$ con centro en el vértice del ángulo. Los lados del ángulo cortan un arco de longitud $s$. La medida del ángulo en radianes es el cociente entre esas dos longitudes:

$$\theta = \frac{s}{r}$$

Así, un radián es el ángulo central que abarca un arco tan largo como el radio.

Este cociente no depende del tamaño de la circunferencia: si el radio se duplica, el arco del mismo ángulo también se duplica, y el cociente no cambia. Por eso el radián mide el ángulo y no la circunferencia. Y como es un cociente de dos longitudes, no tiene unidades de longitud: un ángulo de 2 rad es simplemente «el arco mide el doble del radio». Por eso, cuando un ángulo se escribe sin unidad, se entiende que está en radianes.

La equivalencia entre grados y radianes

En una vuelta completa el arco es toda la circunferencia, $s = 2\pi r$. Entonces una vuelta mide

$$\frac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ rad} \qquad\text{y por eso}\qquad \pi \text{ rad} = 180^\circ$$

De esa igualdad salen las dos conversiones:

• de grados a radianes se multiplica por $\dfrac{\pi}{180}$;
• de radianes a grados se multiplica por $\dfrac{180}{\pi}$.

Un truco para no confundirlas: lo que quieres quitar va en el denominador. Si tienes grados y quieres radianes, el $180$ (los grados) va abajo.

Como $\pi \approx 3{,}14$, un radián es un poco más de 57 grados. No es un ángulo pequeño: es casi lo que mide cada ángulo de un triángulo equilátero.

Muchas medidas en radianes se dejan con $\pi$, porque así son exactas: $90^\circ$ es $\tfrac{\pi}{2}$ rad y $45^\circ$ es $\tfrac{\pi}{4}$ rad. Cuando hace falta un número para medir, se aproxima al final.

Longitud de arco

Si despejas $s$ en la definición de radián obtienes la longitud del arco:

$$s = r\,\theta \qquad (\theta \text{ en radianes})$$

Ojo: la fórmula solo vale con el ángulo en radianes. Si te dan el ángulo en grados, primero lo conviertes. Usarla con grados da un arco disparatado: con un radio de 2 cm y un ángulo de $90^\circ$, $2 \cdot 90$ daría un arco de 180 cm, mucho más que toda la circunferencia.

Ángulos coterminales

Dos ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, aunque el rayo haya dado más vueltas o haya girado en el otro sentido para llegar. Sus medidas se diferencian en un número entero de vueltas:

$$\theta + 360^\circ \cdot k \qquad\text{o, en radianes,}\qquad \theta + 2\pi k, \qquad k \text{ entero}$$

Para encontrar un ángulo coterminal se suman o se restan vueltas completas. Por ejemplo, el lado final de un ángulo de $400^\circ$ es el mismo que el de $40^\circ$, porque $400^\circ$ es una vuelta completa más $40^\circ$. Ojo con el error contrario: $40^\circ$ y $-40^\circ$ no son coterminales, porque sus lados finales quedan a lados opuestos del lado inicial.

En resumen

• Un ángulo es el giro de un rayo alrededor de su vértice; es positivo en sentido contrario a las manecillas y negativo en el sentido de las manecillas.

• La medida en radianes es el cociente entre el arco y el radio: θ = s/r. Un radián abarca un arco tan largo como el radio.

• Una vuelta mide 360° o 2π rad, así que π rad = 180°: de grados a radianes se multiplica por π/180 y de radianes a grados por 180/π.

• La longitud de arco es s = rθ, con θ en radianes.

• Dos ángulos son coterminales si se diferencian en un número entero de vueltas, 360°·k o 2πk.

Vocabulario

Ángulo

Giro de un rayo alrededor de su origen, el vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).

Grado

Unidad de medida de ángulos: un grado (1°) es la trescientos sesentava parte de una vuelta completa.

Radián

Medida del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de la misma longitud que el radio. Una vuelta completa mide 2π radianes.

Ángulos coterminales

Ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final. Sus medidas se diferencian en un número entero de vueltas: 360°·k, o 2π·k en radianes.

Longitud de arco

Lo que mide el trozo de circunferencia comprendido entre los lados de un ángulo central.