Las razones trigonométricas
Lo que vas a aprender
- Identificar la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.
- Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo, y sus recíprocas, a partir de los lados.
- Explicar con la semejanza por qué las razones de un ángulo no dependen del tamaño del triángulo.
- Obtener con la calculadora, en modo grados, el valor aproximado de una razón trigonométrica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una rampa para sillas de ruedas, el techo de una casa o la cuerda de una cometa forman un ángulo con el piso. Si conoces ese ángulo, ¿puedes saber cuánto sube la rampa por cada metro que avanza? Sí: la respuesta es un número que depende solo del ángulo, no de lo larga que sea la rampa.
Ese número, y otros dos parecidos, son las razones trigonométricas. Con ellas se calculan alturas y distancias que no se pueden medir con una cinta, se diseñan estructuras y se describen los movimientos que se repiten, como el de una rueda. En esta lección aprenderás qué son y por qué funcionan; en la siguiente, a usarlas para resolver triángulos.
Antes de empezar repasa el teorema de Pitágoras y qué quiere decir que dos triángulos sean semejantes.
Explicación
Los lados vistos desde un ángulo
En un triángulo rectángulo, el lado que está enfrente del ángulo recto es la hipotenusa, y es el lado más largo. Los otros dos lados son los catetos. Ahora fíjate en uno de los dos ángulos agudos, al que llamaremos $A$. Desde $A$, los catetos reciben nombres distintos:
- el cateto opuesto a $A$ es el que queda enfrente de $A$, sin tocarlo;
- el cateto adyacente a $A$ es el cateto que forma el ángulo $A$, junto con la hipotenusa.
Estos nombres dependen del ángulo que mires. El cateto opuesto a $A$ es el adyacente al otro ángulo agudo, $B$, y al revés. Por eso, antes de calcular, marca siempre el ángulo con el que estás trabajando.
Seno, coseno y tangente
Las tres razones trigonométricas del ángulo agudo $A$ son cocientes entre dos lados:
$$\operatorname{sen} A = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \qquad \cos A = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \qquad \tan A = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$$
En Colombia el seno se escribe sen; en las calculadoras y en muchos libros en otros idiomas aparece como sin. Es la misma razón.
Como la hipotenusa es el lado más largo, el seno y el coseno de un ángulo agudo son siempre números entre 0 y 1. La tangente, en cambio, compara dos catetos, y puede ser menor que 1, igual a 1 (cuando los catetos son iguales) o mayor que 1 (cuando el cateto opuesto es más largo que el adyacente). Si te sale un seno de 1,2, revisa: algo está mal.
¿Por qué no dependen del tamaño del triángulo?
Toma dos triángulos rectángulos que tengan el mismo ángulo agudo $A$. Los dos tienen un ángulo recto y el ángulo $A$, así que sus tres ángulos son iguales: son semejantes. En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales, y por eso el cociente entre dos lados es el mismo en los dos triángulos.
Esa es la idea clave de la lección: el seno, el coseno y la tangente son propiedades del ángulo, no del triángulo. Por eso tiene sentido escribir $\operatorname{sen} 35^\circ$ sin dibujar ningún triángulo, y por eso la calculadora puede darte su valor.
Las razones recíprocas
Si inviertes cada cociente obtienes las tres razones recíprocas:
$$\csc A = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{1}{\operatorname{sen} A} \qquad \sec A = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{1}{\cos A} \qquad \cot A = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{1}{\tan A}$$
Se leen cosecante, secante y cotangente. Cuidado con las parejas: la secante es la recíproca del coseno, y la cosecante, la del seno. El nombre engaña.
Las calculadoras no suelen tener teclas para estas tres razones: se calculan dividiendo 1 entre el seno, el coseno o la tangente. Y otro aviso importante: la tecla $\operatorname{sen}^{-1}$ de la calculadora no es la cosecante. Esa tecla hace lo contrario del seno: le das un valor del seno y te devuelve el ángulo. La usarás en la próxima lección.
Los dos ángulos agudos
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman $90^\circ$: son complementarios. Como el cateto opuesto a uno es el adyacente al otro, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario: $\operatorname{sen} B = \cos A$ cuando $A + B = 90^\circ$. Por eso se dice que el coseno es el «seno del complemento».
La calculadora
Para obtener $\operatorname{sen} 35^\circ$ con la calculadora, primero comprueba que esté en modo grados (en la pantalla aparece una D o DEG). Si está en radianes (R o RAD), la calculadora entiende «35 radianes», que son más de cinco vueltas, y el resultado no tiene nada que ver con el triángulo.
Triángulo rectángulo ABC con el ángulo recto en C. Para el ángulo A, el cateto opuesto es BC, que mide 6; el cateto adyacente es AC, que mide 8, y la hipotenusa AB mide 10.
Ejemplo resuelto
Las razones del ángulo A de la figura
En el triángulo de la figura, A = (0; 0), C = (8; 0) y B = (8; 6). Halla sen A, cos A y tan A, y compara sen B con cos A.
Ver la solución paso a paso
El cateto adyacente a A es AC, que mide 8, y el opuesto es BC, que mide 6. La hipotenusa sale del teorema de Pitágoras: $\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$
Sumamos los cuadrados: $\sqrt{100}$
La hipotenusa mide $10$
El seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa: $\operatorname{sen} A =$ $\frac{6}{10}$
Simplificado: $\operatorname{sen} A =$ $\frac{3}{5}$
El coseno es el cateto adyacente entre la hipotenusa: $\cos A =$ $\frac{8}{10}$
Simplificado: $\cos A =$ $\frac{4}{5}$
La tangente es el cateto opuesto entre el adyacente: $\tan A =$ $\frac{6}{8}$
Simplificada: $\tan A =$ $\frac{3}{4}$
Para el ángulo B los papeles se cambian: AC es su cateto opuesto. Así, $\operatorname{sen} B = \tfrac{8}{10}$, que es justo $\cos A$.
Respuesta: $\operatorname{sen} A = \tfrac{3}{5}$, $\cos A = \tfrac{4}{5}$ y $\tan A = \tfrac{3}{4}$; además $\operatorname{sen} B = \cos A = \tfrac{4}{5}$, porque A y B son complementarios.
Respuesta: sen A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4, y sen B = cos A = 4/5.
Dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo A. El pequeño, punteado, tiene catetos 4 y 3 e hipotenusa 5; el grande tiene catetos 12 y 9 e hipotenusa 15. Son semejantes.
Ejemplo resuelto
El mismo ángulo en dos triángulos de distinto tamaño
En la figura, los triángulos AC'B' y ACB comparten el ángulo A. Comprueba que el seno, el coseno y la tangente de A son iguales en los dos.
Ver la solución paso a paso
La hipotenusa del triángulo pequeño, de catetos 4 y 3:
$$\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$$
La hipotenusa del triángulo grande, de catetos 12 y 9:
$$\sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15$$
El seno de A, cateto opuesto entre hipotenusa, en el pequeño y en el grande:
$$\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$$
El coseno de A, cateto adyacente entre hipotenusa:
$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$
La tangente de A, cateto opuesto entre adyacente:
$$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$
Conclusión: los lados del triángulo grande son el triple de los del pequeño, y al dividir dos de ellos el factor 3 se cancela. Las razones son las mismas porque el ángulo es el mismo.
Respuesta: En los dos triángulos, sen A = 3/5, cos A = 4/5 y tan A = 3/4.
Ejemplo resuelto
Todas las razones a partir de una
Un ángulo agudo A cumple sen A = 5/13. Halla las otras cinco razones de A.
Ver la solución paso a paso
Como las razones no dependen del tamaño, podemos dibujar cualquier triángulo rectángulo con ese ángulo. El más cómodo tiene cateto opuesto 5 e hipotenusa 13. El cateto adyacente sale de Pitágoras, restando porque es un cateto: $\sqrt{13^{2} - 5^{2}}$
Calculamos: $\sqrt{144}$
El cateto adyacente mide $12$
Comprobamos que los tres lados forman un triángulo rectángulo:
$$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$$
Ahora leemos las razones: $\cos A = \tfrac{12}{13}$ y $\tan A = \tfrac{5}{12}$. Las recíprocas son los cocientes invertidos: $\csc A = \tfrac{13}{5}$, $\sec A = \tfrac{13}{12}$ y $\cot A = \tfrac{12}{5}$.
Respuesta: $\cos A = \tfrac{12}{13}$, $\tan A = \tfrac{5}{12}$, $\csc A = \tfrac{13}{5}$, $\sec A = \tfrac{13}{12}$ y $\cot A = \tfrac{12}{5}$.
Respuesta: cos A = 12/13, tan A = 5/12, csc A = 13/5, sec A = 13/12, cot A = 12/5.
Ejemplo resuelto
Las razones de 35° con la calculadora
Con la calculadora en modo grados, halla sen 35°, cos 35° y csc 35°, redondeados a cuatro decimales. ¿Qué pasa si la calculadora está en radianes?
Ver la solución paso a paso
En modo grados, la calculadora da para el seno un número entre 0,5735 y 0,5736; redondeado, $\operatorname{sen} 35^\circ \approx 0{,}5736$:
$$0{,}5735 < \operatorname{sen} 35^{\circ} < 0{,}5736$$
Para el coseno, $\cos 35^\circ \approx 0{,}8192$:
$$0{,}8191 < \operatorname{cos} 35^{\circ} < 0{,}8192$$
No hay tecla de cosecante: se divide 1 entre el seno. Así, $\csc 35^\circ \approx 1{,}7434$:
$$1{,}7434 < \frac{1}{\operatorname{sen} 35^{\circ}} < 1{,}7435$$
Si la calculadora estuviera en radianes, calcularía el seno de 35 radianes, que es un número negativo. El seno de un ángulo agudo nunca es negativo: esa es la señal de que el modo está mal.
$$\operatorname{sen} 35 < 0$$
Respuesta: $\operatorname{sen} 35^\circ \approx 0{,}5736$, $\cos 35^\circ \approx 0{,}8192$ y $\csc 35^\circ \approx 1{,}7434$. Un seno negativo o mayor que 1 para un ángulo agudo indica un error.
Respuesta: sen 35° ≈ 0,5736; cos 35° ≈ 0,8192; csc 35° ≈ 1,7434.
Práctica
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 20 cm y 21 cm, y el ángulo A está enfrente del cateto de 20 cm. ¿Cuánto vale sen A?
La hipotenusa es √(20² + 21²) = √841 = 29, y sen A es el cateto opuesto (20) entre la hipotenusa (29). 21/29 es el coseno, 20/21 es la tangente y 29/20 es la cosecante.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 17 cm y el cateto opuesto al ángulo A mide 8 cm. ¿Cuánto vale cos A?
El cateto adyacente es √(17² − 8²) = √225 = 15, así que cos A = 15/17. 8/17 es el seno: se intercambiaron opuesto y adyacente.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 25 cm y el cateto adyacente al ángulo A mide 24 cm. ¿Cuánto vale tan A?
El cateto opuesto es √(25² − 24²) = √49 = 7. La tangente es opuesto entre adyacente: 7/24. 24/7 es la cotangente.
Un ángulo agudo A cumple $\cos A =$ $0{,}4$. ¿Cuánto vale $\sec A$?
La secante es la recíproca del coseno: sec A = 1/0,4 = 2,5. Es mayor que 1, como debe ser, porque la hipotenusa es más larga que el cateto adyacente.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, y el ángulo A está enfrente del cateto de 9 cm. ¿Cuánto vale csc A? Escríbelo como fracción simplificada.
La hipotenusa es √(81 + 144) = √225 = 15. La cosecante es hipotenusa entre cateto opuesto: 15/9 = 5/3.
Con la calculadora en modo grados, ¿cuánto vale $\operatorname{cos} 50^{\circ}$? Escribe el resultado redondeado a la centésima.
cos 50° ≈ 0,6428, que redondeado es 0,64. Si te salió 0,96, la calculadora estaba en radianes y calculó el coseno de 50 radianes.
Con la calculadora en modo grados, ¿cuánto vale $\operatorname{sec} 70^{\circ}$? Escribe el resultado redondeado a la centésima.
sec 70° = 1/cos 70° ≈ 1/0,3420 ≈ 2,92. Si dividiste 1 entre sen 70°, calculaste la cosecante (≈ 1,06).
¿Verdadero o falso? $\operatorname{sen} 40^{\circ} = \operatorname{cos} 50^{\circ}$
40° y 50° son complementarios: en un triángulo rectángulo con esos ángulos agudos, el cateto opuesto a 40° es el adyacente a 50°.
¿Verdadero o falso? Al duplicar el ángulo se duplica el seno: $\operatorname{sen} 70^{\circ} = 2\operatorname{sen} 35^{\circ}$
sen 35° ≈ 0,57, así que 2 sen 35° ≈ 1,15, que es mayor que 1: no puede ser el seno de un ángulo agudo. En cambio, sen 70° ≈ 0,94. Las razones no son proporcionales al ángulo.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{tan} 70^{\circ} < 1$
tan 70° ≈ 2,75. Con un ángulo de 70°, el cateto opuesto es mucho más largo que el adyacente, y la tangente pasa de 1. Solo el seno y el coseno de un ángulo agudo quedan siempre entre 0 y 1.
Si se duplican los tres lados de un triángulo rectángulo, ¿qué le pasa al seno de uno de sus ángulos agudos?
El triángulo nuevo es semejante al primero: tiene los mismos ángulos. El cateto opuesto y la hipotenusa se duplican los dos, y su cociente queda igual.
Reto
Une cada expresión con la que vale lo mismo.
Piensa en las recíprocas y en los ángulos complementarios.
Reto
Completa las razones del ángulo A.
Elige en cada espacio la fracción correcta. Primero ubica el cateto opuesto y el adyacente.
Reto
El crucigrama de las razones.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Para un ángulo agudo A de un triángulo rectángulo: sen A = opuesto/hipotenusa, cos A = adyacente/hipotenusa y tan A = opuesto/adyacente.
Las recíprocas son csc A = 1/sen A, sec A = 1/cos A y cot A = 1/tan A; la secante va con el coseno.
Las razones dependen solo del ángulo, porque todos los triángulos rectángulos con ese ángulo son semejantes.
El seno y el coseno de un ángulo agudo están entre 0 y 1; la tangente puede ser cualquier número positivo.
Si A y B son complementarios, sen B = cos A. Con la calculadora, primero se revisa que esté en modo grados.
Vocabulario
- Cateto opuesto
En un triángulo rectángulo, el cateto que queda enfrente del ángulo agudo que se estudia.
- Cateto adyacente
En un triángulo rectángulo, el cateto que forma el ángulo agudo que se estudia, junto con la hipotenusa.
- Seno
Del ángulo agudo A de un triángulo rectángulo: el cociente entre el cateto opuesto a A y la hipotenusa. Se escribe sen A.
- Coseno
Del ángulo agudo A de un triángulo rectángulo: el cociente entre el cateto adyacente a A y la hipotenusa. Se escribe cos A.
- Tangente
Del ángulo agudo A de un triángulo rectángulo: el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a A. Se escribe tan A.
- Razones recíprocas
La cosecante, la secante y la cotangente: csc A = 1/sen A, sec A = 1/cos A y cot A = 1/tan A.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que cada estudiante dibuje un triángulo rectángulo con un ángulo de 35° medido con transportador, de cualquier tamaño, y mida el cateto opuesto y la hipotenusa.
- Explicación · 15 min — Recoja los cocientes del inicio en el tablero: aunque los triángulos sean distintos, salen casi iguales. A partir de ahí, la definición, la semejanza, el ejemplo del triángulo 6-8-10 y el de sen A = 5/13.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; revise que todos tengan la calculadora en modo grados antes de las preguntas que la usan. El dominó y los huecos se pueden resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en una frase por qué sen 35° es el mismo número en todos los triángulos del inicio.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el seno de un ángulo agudo no puede ser mayor que 1? ¿Y la tangente?
- Si el cateto opuesto a A es el adyacente a B, ¿qué relación hay entre las razones de A y las de B?
- ¿Qué diferencia hay entre csc A y la tecla sen⁻¹ de la calculadora?
- ¿Cómo se dan cuenta de que la calculadora está en radianes sin mirar la pantalla?
Errores típicos
- Intercambiar el cateto opuesto y el adyacente. Pida que marquen el ángulo con un arco y sombreen el cateto que no lo toca: ese es el opuesto.
- Creer que la secante es la recíproca del seno. Haga una tabla de dos columnas (sen–csc, cos–sec, tan–cot) y pida que noten que cada pareja tiene un solo «co».
- Usar la calculadora en modo radianes. Pida que calculen sen 30° antes de empezar: si no da 0,5, el modo está mal.
- Creer que las razones crecen en proporción al ángulo (sen 70° = 2 sen 35°). Comparen los dos valores con la calculadora; el doble del seno puede pasar de 1, y un seno nunca lo hace.
Tarea sugerida
Buscar en la casa o en el barrio tres rampas, escaleras o techos, medir cuánto suben y cuánto avanzan, y calcular la tangente de su ángulo de inclinación. Ordenarlos del más empinado al menos empinado y explicar por qué la tangente sirve para compararlos.