Resolver triángulos rectángulos

¿Para qué sirve esto?

¿Qué tan alto es el árbol del parque? ¿A qué distancia está un barco que se ve desde lo alto de un faro? ¿Qué tan empinada es una rampa? Subir al árbol con una cinta o nadar hasta el barco no son buenas ideas. Pero sí puedes medir un ángulo y una distancia desde donde estás, y calcular lo demás.

En la lección anterior viste que el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo relacionan los lados de un triángulo rectángulo. Ahora vas a usarlas al revés: para averiguar los lados y los ángulos que no conoces. Topógrafos, constructores y navegantes trabajan con esta misma idea, apoyados en instrumentos que miden ángulos.

Antes de empezar ten a mano la calculadora en modo grados y repasa cómo se despeja una incógnita que está en el numerador o en el denominador de una fracción.

¿Qué quiere decir resolver un triángulo?

Resolver un triángulo es hallar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos. En un triángulo rectángulo ya sabes que un ángulo mide $90^\circ$. Para encontrar lo demás necesitas dos datos más, y al menos uno de ellos tiene que ser un lado: dos lados, o un lado y un ángulo agudo. Con solo los ángulos no basta, porque hay infinitos triángulos semejantes con esos mismos ángulos y lados de distinto tamaño.

Un método en cuatro pasos

1. Dibuja el triángulo, marca el ángulo recto y escribe los datos. Marca también lo que buscas.
2. Elige la razón que relaciona lo que conoces con lo que buscas. Pregúntate: desde el ángulo conocido, ¿el lado que tengo y el que busco son el opuesto, el adyacente o la hipotenusa? Si son opuesto e hipotenusa, usa el seno; adyacente e hipotenusa, el coseno; opuesto y adyacente, la tangente.
3. Despeja y calcula. Si la incógnita está en el numerador, multiplicas; si está en el denominador, divides. Por ejemplo, de $\tan 35^\circ = \dfrac{30}{d}$ sale $d = \dfrac{30}{\tan 35^\circ}$, no $30 \cdot \tan 35^\circ$.
4. Comprueba: los dos ángulos agudos suman $90^\circ$, la hipotenusa es el lado más largo, el lado más largo está enfrente del ángulo más grande y los tres lados cumplen el teorema de Pitágoras, salvo por el redondeo.

Para el último lado no siempre hace falta otra razón: si ya conoces dos lados, el tercero sale del teorema de Pitágoras. Y el segundo ángulo agudo es lo que le falta al primero para llegar a $90^\circ$.

Hallar un ángulo: las teclas sen⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹

Si conoces dos lados, conoces una razón del ángulo, por ejemplo $\tan A = \tfrac{4}{7}$. Para recuperar el ángulo se usa la tecla $\tan^{-1}$ de la calculadora (casi siempre se llega a ella con la tecla SHIFT o 2nd). Esa tecla responde a la pregunta «¿qué ángulo agudo tiene esta tangente?». Lo mismo hacen $\operatorname{sen}^{-1}$ y $\cos^{-1}$. En algunos libros se escriben arcsen, arccos y arctan.

Recuerda que $\operatorname{sen}^{-1}$ no quiere decir $\dfrac{1}{\operatorname{sen}}$: el $-1$ indica que la tecla deshace lo que hace el seno. Y revisa siempre el modo grados: en radianes, la calculadora te devolvería el ángulo en radianes.

Redondear al final

Las razones de casi todos los ángulos son números irracionales, así que los resultados con calculadora son aproximados. Conserva todos los decimales mientras calculas y redondea solo al final. Si redondeas un resultado intermedio y lo vuelves a usar, el error se va acumulando. Cuando comprobamos con Pitágoras usando lados ya redondeados, es normal que la igualdad no sea exacta: lo importante es que se acerque mucho.

Ángulos de elevación y de depresión

Cuando miras un objeto, la recta que va de tu ojo al objeto es la línea de visión. Imagina además una línea horizontal que pasa por tu ojo.

• Si el objeto está más arriba que tu ojo, el ángulo entre la horizontal y la línea de visión es el ángulo de elevación.
• Si el objeto está más abajo, ese ángulo es el ángulo de depresión.

Los dos se miden desde la horizontal, nunca desde la vertical. Es un error muy común poner el ángulo de depresión entre la línea de visión y la pared del edificio.

Hay una propiedad que ayuda mucho: si desde un punto alto $P$ ves un punto bajo $Q$ con un ángulo de depresión, desde $Q$ ves a $P$ con un ángulo de elevación igual. Las dos horizontales son paralelas y la línea de visión las corta: los dos ángulos son alternos internos. Por eso, en el dibujo, el ángulo de depresión se puede trasladar al suelo.

Un detalle práctico: si la persona que mide está de pie, la horizontal pasa por sus ojos, no por el suelo. Para la altura total hay que sumar la altura de los ojos.

En resumen

• Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y ángulos; hacen falta dos datos además del ángulo recto, y al menos uno tiene que ser un lado.

• Se elige la razón que relaciona lo conocido con lo buscado; si la incógnita queda en el denominador, se divide.

• Para hallar un ángulo se usan las teclas sen⁻¹, cos⁻¹ o tan⁻¹, que devuelven el ángulo a partir de la razón; no son las recíprocas.

• Los ángulos de elevación y de depresión se miden desde la horizontal del observador, y el de depresión desde P hacia Q es igual al de elevación desde Q hacia P.

• Se redondea al final y se comprueba con la suma de ángulos y con el teorema de Pitágoras.

Vocabulario

Resolver un triángulo

Hallar las medidas de todos sus lados y de todos sus ángulos a partir de las que se conocen.

Línea de visión

La recta que va del ojo del observador al objeto que mira.

Ángulo de elevación

El ángulo entre la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea de visión, cuando el objeto está por encima de esa horizontal.

Ángulo de depresión

El ángulo entre la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea de visión, cuando el objeto está por debajo de esa horizontal.

Tecla sen⁻¹

Función de la calculadora que recibe el valor del seno de un ángulo agudo y devuelve el ángulo. No es la cosecante. Hay también cos⁻¹ y tan⁻¹.