Ángulos notables

¿Para qué sirve esto?

Una baldosa cuadrada cortada por su diagonal, una señal de tránsito triangular o una escuadra de dibujo tienen ángulos de $30^\circ$, $45^\circ$ o $60^\circ$. Estos ángulos aparecen con tanta frecuencia en la geometría y en el diseño que conviene conocer sus razones trigonométricas de memoria y sin redondear.

La calculadora te dice que $\operatorname{sen} 60^\circ \approx 0{,}866$, pero eso es una aproximación. En esta lección vas a descubrir el valor exacto, $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$, y de dónde sale. Con esos valores podrás resolver muchos problemas sin calculadora, y con resultados exactos.

Antes de empezar repasa el teorema de Pitágoras y cómo se racionaliza una fracción como $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$.

La idea: figuras que ya conoces

En la lección de las razones trigonométricas viste que las razones de un ángulo no dependen del tamaño del triángulo. Así que, para conocer las razones de $45^\circ$, basta encontrar un triángulo rectángulo con un ángulo de $45^\circ$ cuyos lados sepamos calcular. Para $30^\circ$ y $60^\circ$, lo mismo. Las dos figuras que necesitamos son el cuadrado y el triángulo equilátero.

45°: la mitad de un cuadrado

Toma un cuadrado de lado 1 y traza una diagonal. Queda partido en dos triángulos rectángulos isósceles: sus catetos miden 1 y sus dos ángulos agudos son iguales, así que cada uno mide $45^\circ$. Por Pitágoras, la diagonal mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Con los lados $1$, $1$ y $\sqrt{2}$:

$$\operatorname{sen} 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1$$

Tiene sentido que el seno y el coseno de $45^\circ$ sean iguales: con dos catetos iguales, el opuesto y el adyacente miden lo mismo.

30° y 60°: la mitad de un triángulo equilátero

Toma ahora un triángulo equilátero de lado 2; sus tres ángulos miden $60^\circ$. Traza la altura desde un vértice hasta el lado opuesto. En un triángulo equilátero esa altura cae justo en el punto medio del lado y parte en dos el ángulo de arriba. Quedan dos triángulos rectángulos con:

• hipotenusa 2 (un lado del equilátero);
• un cateto de 1 (la mitad de la base), enfrente del ángulo de $30^\circ$;
• el otro cateto, la altura, que por Pitágoras mide $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$, enfrente del ángulo de $60^\circ$.

Con los lados $1$, $\sqrt{3}$ y $2$ se leen las seis razones:

$$\operatorname{sen} 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

La tabla y cómo recordarla

No hace falta memorizarla a ciegas. Tres observaciones ayudan:

• Los senos de $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$ se pueden escribir como $\tfrac{\sqrt{1}}{2}$, $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$: crecen con el ángulo.
• Los cosenos son los mismos números en orden contrario, porque $30^\circ$ y $60^\circ$ son complementarios: $\cos 30^\circ = \operatorname{sen} 60^\circ$.
• La tangente es menor que 1 antes de $45^\circ$, vale 1 en $45^\circ$ y es mayor que 1 después.

Y si se te olvida algo, dibuja medio cuadrado o medio triángulo equilátero: en menos de un minuto tienes los lados y, con ellos, todas las razones.

Las proporciones de los lados

De las dos figuras salen dos reglas que sirven para resolver triángulos sin calculadora:

• En un triángulo de $30^\circ$, $60^\circ$ y $90^\circ$, los lados están en la proporción $1 : \sqrt{3} : 2$. El cateto opuesto a $30^\circ$ mide la mitad de la hipotenusa, y el opuesto a $60^\circ$ mide $\sqrt{3}$ veces el cateto menor.
• En un triángulo de $45^\circ$, $45^\circ$ y $90^\circ$, los lados están en la proporción $1 : 1 : \sqrt{2}$. La hipotenusa mide $\sqrt{2}$ veces un cateto.

Exacto y aproximado

$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ es exacto; $0{,}866$ es una aproximación. Si un problema pide el resultado exacto, se deja con la raíz, como $3\sqrt{3}$ m. Si hace falta una medida para cortar o comprar, se aproxima al final. Y cuidado con un error frecuente: las razones no son proporcionales al ángulo. El doble de $\operatorname{sen} 30^\circ$ es 1, y $\operatorname{sen} 60^\circ$ no es 1.

En resumen

• Las razones de 45° salen de medio cuadrado de lado 1, con lados 1, 1 y √2; las de 30° y 60°, de medio triángulo equilátero de lado 2, con lados 1, √3 y 2.

• sen 30° = cos 60° = 1/2; sen 60° = cos 30° = √3/2; sen 45° = cos 45° = √2/2.

• tan 30° = √3/3, tan 45° = 1 y tan 60° = √3.

• En un triángulo de 30°, 60° y 90°, el cateto opuesto a 30° es la mitad de la hipotenusa; en uno de 45°, 45° y 90°, la hipotenusa es √2 veces un cateto.

• Los valores con raíces son exactos; sus decimales en la calculadora son aproximaciones.

Vocabulario

Ángulos notables

Los ángulos de 30°, 45° y 60°, cuyas razones trigonométricas tienen valores exactos sencillos que se deducen de figuras conocidas.

Valor exacto

Un valor escrito sin redondear, como √3/2. Su expresión decimal de la calculadora, 0,866…, es solo una aproximación.

Triángulo equilátero

Triángulo con sus tres lados iguales; sus tres ángulos miden 60°.

Racionalizar

Reescribir una fracción para que el denominador no tenga raíces, multiplicando arriba y abajo por un mismo factor: 1/√2 = √2/2.