El círculo unitario
Lo que vas a aprender
- Dibujar un ángulo en posición normal e identificar el cuadrante de su lado terminal.
- Definir el seno y el coseno de cualquier ángulo como las coordenadas de un punto del círculo unitario.
- Determinar el signo del seno y del coseno de un ángulo según el cuadrante en que termina.
- Hallar el seno y el coseno de los ángulos cuadrantales (0°, 90°, 180°, 270° y 360°).
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en una noria de un parque de diversiones o en la válvula de la llanta de una bicicleta. Mientras la rueda gira, la válvula sube y baja, va hacia la derecha y hacia la izquierda, y después de una vuelta todo se repite. Para describir dónde está la válvula en cada momento necesitas hablar de ángulos de cualquier tamaño: de $150^\circ$, de $270^\circ$ y hasta de más de una vuelta.
En la unidad anterior el seno y el coseno se definieron en un triángulo rectángulo, y allí solo tienen sentido para ángulos agudos: ningún ángulo de un triángulo rectángulo mide $150^\circ$. En esta lección vas a ampliar esas definiciones con una herramienta muy sencilla, el círculo unitario, y con ella el seno y el coseno quedarán definidos para cualquier ángulo.
Antes de empezar repasa qué son los ángulos coterminales y los valores del seno y del coseno de $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$.
Explicación
Ángulos en posición normal
En el plano cartesiano, un ángulo está en posición normal cuando su vértice está en el origen y su lado inicial está sobre el semieje $x$ positivo. El ángulo es el giro que lleva el lado inicial hasta el lado terminal:
- si el giro va en contra de las agujas del reloj, el ángulo es positivo;
- si va a favor de las agujas del reloj, el ángulo es negativo.
Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Un ángulo entre $0^\circ$ y $360^\circ$ termina:
- en el I cuadrante si está entre $0^\circ$ y $90^\circ$;
- en el II cuadrante si está entre $90^\circ$ y $180^\circ$;
- en el III cuadrante si está entre $180^\circ$ y $270^\circ$;
- en el IV cuadrante si está entre $270^\circ$ y $360^\circ$.
Los ángulos de $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ y $360^\circ$ terminan sobre un eje y no pertenecen a ningún cuadrante: se llaman cuadrantales. Un ángulo negativo o mayor que una vuelta se ubica con un coterminal: sumas o restas $360^\circ$ las veces que haga falta, porque una vuelta completa deja el lado terminal donde estaba.
El círculo unitario
El círculo unitario es la circunferencia de radio $1$ con centro en el origen. Si $(x;\ y)$ es uno de sus puntos, el origen, el punto y el pie de la perpendicular desde el punto al eje $x$ forman un triángulo rectángulo de hipotenusa $1$ y catetos $|x|$ y $|y|$ (en los cuadrantes II, III y IV alguna coordenada es negativa, pero las longitudes no). El teorema de Pitágoras da $|x|^2 + |y|^2 = 1$, y como al elevar al cuadrado el signo no importa,
$$x^2 + y^2 = 1.$$
En los cuatro puntos de los ejes, $(1;\ 0)$, $(0;\ 1)$, $(-1;\ 0)$ y $(0;\ -1)$, no hay triángulo, pero la igualdad se comprueba directamente: $1^2 + 0^2 = 1$.
Ahora toma un ángulo agudo $\theta$ en posición normal. Su lado terminal corta el círculo en un punto $P(x;\ y)$. Si bajas una perpendicular desde $P$ hasta el eje $x$, aparece un triángulo rectángulo con la hipotenusa igual a 1 (el radio), el cateto adyacente igual a $x$ y el cateto opuesto igual a $y$. Las razones de la unidad anterior dan
$$\cos\theta = \frac{x}{1} = x, \qquad \operatorname{sen}\theta = \frac{y}{1} = y.$$
Es decir, para un ángulo agudo el coseno es la abscisa de $P$ y el seno es su ordenada. La idea de esta lección es usar esa frase como definición para cualquier ángulo, aunque ya no haya triángulo:
Si el lado terminal de $\theta$ corta el círculo unitario en $P(x;\ y)$, entonces $\cos\theta = x$ y $\operatorname{sen}\theta = y$. El punto es $P(\cos\theta;\ \operatorname{sen}\theta)$.
Para un ángulo agudo la definición nueva da los mismos valores de siempre, así que no se pierde nada: solo se gana.
Lo que se ve en el círculo
Como $P$ está en una circunferencia de radio 1, sus coordenadas nunca se salen del intervalo $[-1;\ 1]$. Por eso, para todo ángulo,
$$-1 \le \operatorname{sen}\theta \le 1 \qquad \text{y} \qquad -1 \le \cos\theta \le 1.$$
Un seno igual a $1{,}3$ es imposible: ningún punto del círculo unitario tiene ordenada $1{,}3$.
Además, ángulos coterminales tienen el mismo lado terminal, cortan el círculo en el mismo punto y, por tanto, tienen el mismo seno y el mismo coseno. Esa repetición cada vuelta es la que después permitirá modelar fenómenos periódicos, como la noria.
Los signos en cada cuadrante
El signo del coseno es el signo de la abscisa de $P$, y el del seno, el de su ordenada. Basta mirar dónde queda el punto:
- I cuadrante: a la derecha y arriba; coseno positivo y seno positivo.
- II cuadrante: a la izquierda y arriba; coseno negativo y seno positivo.
- III cuadrante: a la izquierda y abajo; coseno negativo y seno negativo.
- IV cuadrante: a la derecha y abajo; coseno positivo y seno negativo.
Para recordarlo no hace falta una regla de memoria: piensa en el punto. Arriba del eje $x$ el seno es positivo; a la derecha del eje $y$ el coseno es positivo.
En los ángulos cuadrantales una de las coordenadas vale $0$. Por ejemplo, el lado terminal de $90^\circ$ es el semieje $y$ positivo, que corta el círculo en $(0;\ 1)$; así que $\cos 90^\circ = 0$ y $\operatorname{sen} 90^\circ = 1$.
El lado terminal de 60° corta el círculo unitario en P(1/2; √3/2). El segmento OQ mide cos 60° y el segmento QP mide sen 60°; la hipotenusa OP es el radio, 1.
Ejemplo resuelto
Leer el seno y el coseno en un punto
El lado terminal de un ángulo θ corta el círculo unitario en el punto $P\left(-\tfrac{3}{5};\ \tfrac{4}{5}\right)$. Comprueba que P está en el círculo, halla sen θ y cos θ y di en qué cuadrante termina θ.
Ver la solución paso a paso
Un punto está en el círculo unitario si cumple $x^2 + y^2 = 1$. Lo comprobamos: $\left(-\frac{3}{5}\right)^{2} + \left(\frac{4}{5}\right)^{2} = 1$
Por la definición, la abscisa de P es el coseno y la ordenada es el seno: $\cos\theta = -\tfrac{3}{5}$ y $\operatorname{sen}\theta = \tfrac{4}{5}$.
La abscisa es negativa y la ordenada es positiva: el punto queda a la izquierda del eje $y$ y arriba del eje $x$. El ángulo termina en el II cuadrante, y por eso su coseno es negativo aunque su seno sea positivo.
Respuesta: $\cos\theta = -\tfrac{3}{5}$, $\operatorname{sen}\theta = \tfrac{4}{5}$; θ termina en el II cuadrante.
Ejemplo resuelto
El punto de 60° y el punto de 180°
Halla el punto del círculo unitario que corresponde a 60° y el que corresponde a 180°.
Ver la solución paso a paso
Para 60° usamos el valor exacto del coseno que ya conoces, del triángulo equilátero partido por la mitad: $\operatorname{cos} 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
Y el del seno: $\operatorname{sen} 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
El punto es $P\left(\tfrac{1}{2};\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, el de la figura. Comprobamos que está en el círculo: $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 1$
El ángulo de 180° es media vuelta. Su lado terminal es el semieje $x$ negativo, que corta el círculo en el punto $(-1;\ 0)$. La abscisa da el coseno: $\operatorname{cos} 180^{\circ} = -1$
Y la ordenada, el seno: $\operatorname{sen} 180^{\circ} = 0$
Respuesta: Para 60°, el punto $\left(\tfrac{1}{2};\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$; para 180°, el punto $(-1;\ 0)$.
Los ángulos de 30°, 150°, 210° y 330° cortan el círculo en cuatro puntos, uno en cada cuadrante. Las coordenadas tienen el mismo tamaño y cambian solo de signo, según el lado del eje en que queda cada punto.
Ejemplo resuelto
Los signos de un ángulo negativo
Di en qué cuadrante termina el ángulo de −120° y qué signo tienen su seno y su coseno.
Ver la solución paso a paso
Un ángulo negativo gira a favor de las agujas del reloj. Para ubicarlo, le sumamos una vuelta completa, en grados: $-120 + 360$
El resultado es $240$. Los ángulos de −120° y 240° son coterminales: tienen el mismo lado terminal.
Como 240° está entre 180° y 270°, el lado terminal está en el III cuadrante. Allí el punto del círculo queda a la izquierda y abajo, así que sus dos coordenadas son negativas.
El coseno es negativo: $\operatorname{cos}\left(-120^{\circ}\right) < 0$
Y el seno también: $\operatorname{sen}\left(-120^{\circ}\right) < 0$
Respuesta: El ángulo de −120° termina en el III cuadrante: su seno y su coseno son negativos.
Gira el punto P por el círculo unitario: su abscisa es el coseno y su ordenada, el seno. En 60°, P ≈ (0,5; 0,87); en 180°, P = (−1; 0). Llévalo a 240°, que termina donde −120°: en el III cuadrante el seno y el coseno son negativos.
Práctica
Marca todas las expresiones que dan un número negativo. Piensa en el cuadrante de cada ángulo.
Marca todas las que apliquen.
200° está en el III cuadrante (seno negativo); 100° está en el II (coseno negativo); −40° es coterminal con 320°, del IV cuadrante (seno negativo). En cambio, sen 130° es positivo porque 130° está en el II, y cos 300° y cos 350° son positivos porque esos ángulos están en el IV.
¿Cuánto vale $\operatorname{cos} 360^{\circ}$?
Una vuelta completa deja el lado terminal sobre el semieje x positivo, en el punto (1; 0). La abscisa es 1, así que el coseno vale 1, igual que el de 0°.
¿Qué punto del círculo unitario corresponde al ángulo de 90°?
El lado terminal de 90° es el semieje y positivo, que corta el círculo en (0; 1). Por eso cos 90° = 0 y sen 90° = 1. El punto (1; 0) es el de 0°, (−1; 0) el de 180° y (0; −1) el de 270°.
¿Verdadero o falso? El punto ($0{,}5$; $0{,}5$) está sobre el círculo unitario.
0,5² + 0,5² = 0,25 + 0,25 = 0,5, que no es 1: el punto está dentro del círculo. El punto del círculo que está sobre la diagonal del I cuadrante es el de 45°, (√2/2; √2/2), y √2/2 ≈ 0,71.
Un ángulo θ tiene el seno positivo y el coseno negativo. ¿En qué cuadrante termina?
Seno positivo quiere decir que el punto del círculo está arriba del eje x (I o II cuadrante). Coseno negativo quiere decir que está a la izquierda del eje y (II o III). Las dos cosas a la vez solo pasan en el II cuadrante.
¿Qué ángulo entre 0° y 360° es coterminal con el de −45°? Escribe solo el número de grados.
Se suma una vuelta: −45° + 360° = 315°. Los dos ángulos terminan en el IV cuadrante, en el mismo punto del círculo.
¿Cuál es el valor de $\operatorname{cos} 270^{\circ}$?
El lado terminal de 270° es el semieje y negativo, que corta el círculo en (0; −1). El coseno es la abscisa, 0. El −1 es el seno de 270°, la ordenada.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{sen} 300^{\circ} > 0$
300° está entre 270° y 360°, en el IV cuadrante. Allí el punto del círculo queda debajo del eje x, así que el seno es negativo.
Un punto P del círculo unitario tiene abscisa $0{,}6$ y está en el IV cuadrante. ¿Cuál es su ordenada?
De x² + y² = 1 sale y² = 1 − 0,36 = 0,64, así que y = 0,8 o y = −0,8. En el IV cuadrante el punto está debajo del eje x: la ordenada es −0,8.
El punto del círculo unitario que corresponde a 45° tiene sus dos coordenadas iguales. ¿Cuánto vale cada una?
cos 45° = sen 45° = √2/2 ≈ 0,71, y (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1. Con 1/2 el punto (1/2; 1/2) queda dentro del círculo; con 1, el punto (1; 1) queda fuera, a una distancia √2 del origen.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{cos} 390^{\circ} = \operatorname{cos} 30^{\circ}$
390° = 360° + 30°: es una vuelta más 30°. Los dos ángulos son coterminales, terminan en el mismo punto del círculo y tienen el mismo coseno.
Reto
Lleva cada valor a su canasta.
Arrastra cada expresión a «Positivo» o a «Negativo». Ubica primero el cuadrante del ángulo.
Reto
Une cada expresión con su valor.
Piensa en el punto del círculo unitario que corresponde a cada ángulo.
Reto
¿Cuál tiene el signo distinto?
En cada ronda, tres valores tienen el mismo signo y uno no. Tócalo.
Cierre
En resumen
Un ángulo en posición normal tiene el vértice en el origen y el lado inicial sobre el semieje x positivo; si gira en contra de las agujas del reloj es positivo.
El círculo unitario tiene radio 1 y centro en el origen, y sus puntos cumplen x² + y² = 1.
Si el lado terminal de θ corta el círculo en P, entonces P = (cos θ; sen θ). Para ángulos agudos coincide con la definición en el triángulo rectángulo.
El signo del seno es el de la ordenada y el del coseno, el de la abscisa: I (+, +), II (cos −, sen +), III (−, −), IV (cos +, sen −).
El seno y el coseno siempre están entre −1 y 1, y los ángulos coterminales tienen los mismos valores.
Vocabulario
- Posición normal
Un ángulo está en posición normal cuando su vértice está en el origen y su lado inicial sobre el semieje x positivo.
- Lado terminal
La semirrecta en la que termina el giro que mide el ángulo.
- Círculo unitario
La circunferencia de radio 1 con centro en el origen; sus puntos cumplen x² + y² = 1.
- Ángulo cuadrantal
Ángulo en posición normal cuyo lado terminal cae sobre uno de los ejes, como 90° o 180°. No está en ningún cuadrante.
- Ángulos coterminales
Ángulos en posición normal que tienen el mismo lado terminal; se diferencian en un número entero de vueltas.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuánto vale sen 150° según la definición del triángulo rectángulo y deje que descubran que no hay triángulo rectángulo con un ángulo de 150°.
- Explicación · 15 min — Posición normal y cuadrantes; dibuje el círculo unitario en el tablero, deduzca cos θ = x y sen θ = y con el triángulo de 60° y resuelva los dos primeros ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Las canastas y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo, pidiendo que cada estudiante diga el cuadrante antes del signo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja un ángulo de su elección, marca el punto del círculo y escribe el signo de su seno y de su coseno.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1?
- Si dos ángulos tienen el mismo seno, ¿tienen que ser coterminales? Busquen un ejemplo en la figura.
- ¿En qué ángulos de 0° a 360° el coseno vale 0? ¿Qué tienen en común sus lados terminales?
- La válvula de una llanta está arriba del eje de la rueda. ¿Qué dice eso del signo del seno de su ángulo?
Errores típicos
- Intercambiar seno y coseno: tomar la ordenada como coseno. Repita con el ángulo de 0°: el punto es (1; 0), y el coseno de 0° es 1. La abscisa va con el coseno.
- Contar los cuadrantes en el sentido de las agujas del reloj. Trace el giro desde el semieje x positivo hacia arriba y numere los cuadrantes a medida que los atraviesa.
- Creer que un ángulo negativo tiene seno y coseno negativos. Ubique −300° con su coterminal 60°: sus dos coordenadas son positivas.
- Pensar que el punto de 45° es (0,5; 0,5). Pida que comprueben x² + y² = 1 con ese punto; no da 1, así que el punto no está en el círculo.
Tarea sugerida
Dibujar en papel milimetrado un círculo unitario con radio de 10 cm (10 cm representan 1), marcar los puntos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° y 180° con transportador, medir sus coordenadas con regla y comparar con los valores exactos que ya conocen.