Razones de ángulos no agudos
Lo que vas a aprender
- Hallar el ángulo de referencia de un ángulo entre 0° y 360°, en grados o en radianes.
- Calcular valores exactos del seno, el coseno y la tangente de ángulos como 120°, 135°, 150°, 210° o 5π/3.
- Decidir el signo de la tangente en cada cuadrante y reconocer dónde no está definida.
- Reducir un ángulo mayor que una vuelta a uno coterminal entre 0° y 360° para calcular sus razones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Ya sabes que el seno y el coseno de cualquier ángulo son las coordenadas de un punto del círculo unitario. Pero saber eso no te da todavía el número: ¿cuánto vale exactamente $\cos 135^\circ$? ¿Y $\operatorname{sen} 210^\circ$?
La calculadora responde con decimales, pero muchas veces se necesita el valor exacto, por ejemplo para simplificar una expresión o para reconocer un patrón en una tabla de valores de un fenómeno que se repite. En esta lección vas a calcular razones de ángulos de los cuatro cuadrantes usando solo los valores de $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$ que ya conoces y una idea nueva: el ángulo de referencia.
Antes de empezar ten a mano los signos del seno y del coseno en cada cuadrante y la equivalencia $\pi \text{ rad} = 180^\circ$.
Explicación
El ángulo de referencia
Toma un ángulo $\theta$ en posición normal que no sea cuadrantal. Su ángulo de referencia, que escribiremos $\theta'$, es el ángulo agudo que forma el lado terminal con el eje $x$. No importa si es el semieje positivo o el negativo: el que esté más cerca. Fíjate en que se mide contra el eje $x$, nunca contra el eje $y$.
Según el cuadrante, se calcula así:
| Cuadrante de $\theta$ | En grados | En radianes |
|---|---|---|
| I | $\theta' = \theta$ | $\theta' = \theta$ |
| II | $\theta' = 180^\circ - \theta$ | $\theta' = \pi - \theta$ |
| III | $\theta' = \theta - 180^\circ$ | $\theta' = \theta - \pi$ |
| IV | $\theta' = 360^\circ - \theta$ | $\theta' = 2\pi - \theta$ |
Por qué funciona
Mira en la figura que sigue los ángulos de $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$ y $300^\circ$. Los cuatro tienen el mismo ángulo de referencia, $60^\circ$, y sus puntos en el círculo forman un rectángulo: cada uno es el reflejo de otro respecto al eje $x$ o al eje $y$. Al reflejar un punto sobre un eje, sus coordenadas conservan el tamaño y solo puede cambiar el signo.
Por eso el seno y el coseno de $\theta$ tienen el mismo valor absoluto que los de su ángulo de referencia, y el signo lo decide el cuadrante. El método tiene tres pasos:
- Ubica el cuadrante de $\theta$.
- Calcula el ángulo de referencia $\theta'$ y la razón de $\theta'$.
- Ponle el signo que tiene esa razón en el cuadrante de $\theta$.
Por ejemplo, $150^\circ$ está en el II cuadrante y su ángulo de referencia es $30^\circ$. En el II cuadrante el seno es positivo, así que $\operatorname{sen} 150^\circ$ vale lo mismo que $\operatorname{sen} 30^\circ$; el coseno es negativo, así que $\cos 150^\circ$ es el opuesto de $\cos 30^\circ$.
Un error frecuente es poner el signo del ángulo de referencia: $\theta'$ siempre es agudo y sus razones siempre son positivas. El signo no sale de $\theta'$; sale del cuadrante de $\theta$.
La tangente
En el círculo unitario, la tangente es el cociente entre la ordenada y la abscisa del punto:
$$\tan\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}, \qquad \text{si } \cos\theta \neq 0.$$
Para un ángulo agudo coincide con «cateto opuesto sobre cateto adyacente». Su signo sale de dividir los dos signos:
- en el I cuadrante, positivo entre positivo: positiva;
- en el II, positivo entre negativo: negativa;
- en el III, negativo entre negativo: positiva;
- en el IV, negativo entre positivo: negativa.
En $90^\circ$ y en $270^\circ$ el punto está sobre el eje $y$ y su abscisa es $0$: la tangente no está definida, porque no se puede dividir entre cero. En $0^\circ$ y en $180^\circ$ la ordenada es $0$ y la tangente vale $0$. Para la tangente también sirve el ángulo de referencia: tiene el mismo valor absoluto que $\tan\theta'$ y el signo del cuadrante.
Ángulos en radianes y de más de una vuelta
El método no cambia si el ángulo viene en radianes; solo cambian los números de la tabla. Ayuda recordar que $\tfrac{\pi}{6}$, $\tfrac{\pi}{4}$ y $\tfrac{\pi}{3}$ son $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$, y que $\pi$ es media vuelta.
Si el ángulo es negativo o mayor que una vuelta, primero se busca su coterminal entre $0^\circ$ y $360^\circ$, que tiene el mismo punto en el círculo y, por tanto, las mismas razones.
Los ángulos de 60°, 120°, 240° y 300° tienen ángulo de referencia 60°. Sus puntos forman un rectángulo: tienen las coordenadas del mismo tamaño y solo cambian de signo.
Ejemplo resuelto
El coseno de 135°
Calcula el valor exacto de $\operatorname{cos} 135^{\circ}$.
Ver la solución paso a paso
135° está entre 90° y 180°: termina en el II cuadrante. Su ángulo de referencia, en grados, es $180 - 135$
Es decir, $45$. El ángulo de referencia es de 45°.
En el II cuadrante el coseno es negativo. Entonces $\operatorname{cos} 135^{\circ}$
es el opuesto del coseno del ángulo de referencia: $-\operatorname{cos} 45^{\circ}$
Y como $\cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Respuesta: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
El ángulo de 210° termina en el III cuadrante, en el punto P(−√3/2; −1/2). Entre el lado terminal OP y el semieje x negativo queda el ángulo de referencia, de 30°.
Ejemplo resuelto
Las tres razones de 210°
Halla el seno, el coseno y la tangente de 210°, con sus valores exactos.
Ver la solución paso a paso
210° está entre 180° y 270°: III cuadrante. El ángulo de referencia, en grados, es $210 - 180$
O sea, $30$. En el III cuadrante el seno y el coseno son negativos, y la tangente, cociente de dos negativos, es positiva.
El seno es el opuesto de $\operatorname{sen} 30^\circ$: $\operatorname{sen} 210^{\circ} = -\frac{1}{2}$
El coseno es el opuesto de $\cos 30^\circ$: $\operatorname{cos} 210^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno: $\frac{\operatorname{sen} 210^{\circ}}{\operatorname{cos} 210^{\circ}}$
Reemplazamos los dos valores: $\dfrac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Los signos menos se cancelan, y dividir entre $\frac{\sqrt{3}}{2}$ es multiplicar por $\frac{2}{\sqrt{3}}$: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} =$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Racionalizamos: $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Es el mismo valor de $\tan 30^\circ$, con signo positivo, como corresponde al III cuadrante.
Respuesta: $\operatorname{sen} 210^\circ = -\tfrac{1}{2}$, $\cos 210^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $\tan 210^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Lleva P a 30°, 150°, 210° y 330°. Los cuatro tienen ángulo de referencia 30°: el seno y el coseno valen lo mismo sin el signo (0,5 y 0,87), y el cuadrante decide el signo.
Ejemplo resuelto
Un ángulo en radianes
Calcula el valor exacto de $\operatorname{tan}\left(\frac{5\pi}{3}\right)$.
Ver la solución paso a paso
Como $\tfrac{5\pi}{3}$ está entre $\tfrac{3\pi}{2}$ y $2\pi$ (es decir, entre 270° y 360°), el ángulo termina en el IV cuadrante. Su ángulo de referencia es $2\pi - \frac{5\pi}{3}$
Eso da $\frac{\pi}{3}$, que son 60°.
En el IV cuadrante la tangente es negativa, así que $\operatorname{tan}\left(\frac{5\pi}{3}\right)$
es el opuesto de la tangente del ángulo de referencia: $-\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{3}\right)$
Y como $\tan\tfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$: $-\sqrt{3}$
Respuesta: $-\sqrt{3}$
Ejemplo resuelto
Un ángulo de más de una vuelta
Calcula el valor exacto de $\operatorname{sen} 480^{\circ}$.
Ver la solución paso a paso
480° es más de una vuelta. Le quitamos una vuelta completa, en grados: $480 - 360$
Queda $120$, del II cuadrante, con ángulo de referencia 180° − 120° = 60°.
Los ángulos coterminales tienen el mismo seno, y en el II cuadrante el seno es positivo: $\operatorname{sen} 480^{\circ}$
vale lo mismo que $\operatorname{sen} 120^{\circ}$
y lo mismo que $\operatorname{sen} 60^{\circ}$
Es decir, $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Respuesta: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Práctica
¿Cuál es el ángulo de referencia de $240^{\circ}$?
240° está en el III cuadrante, así que su ángulo de referencia es 240° − 180° = 60°. El 30° sale de medir contra el eje y (270° − 240°), y el ángulo de referencia siempre se mide contra el eje x.
¿Cuánto vale $\operatorname{sen} 150^{\circ}$? Escribe el valor exacto.
150° está en el II cuadrante y su ángulo de referencia es 30°. En el II cuadrante el seno es positivo, así que sen 150° = sen 30° = 1/2.
¿Cuál es el valor de $\operatorname{cos} 120^{\circ}$?
120° está en el II cuadrante, con ángulo de referencia 60°. El coseno es negativo allí, así que cos 120° = −cos 60° = −1/2. −√3/2 sería usar el coseno de 30°.
¿Cuál es el valor de $\operatorname{tan} 135^{\circ}$?
En el II cuadrante la tangente es negativa, y el ángulo de referencia es 45°, con tan 45° = 1. Por eso tan 135° = −1. −√2/2 es el coseno de 135°, no la tangente.
Calcula $\operatorname{cos}\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ y escribe el resultado redondeado a la centésima.
7π/6 = 210°, del III cuadrante, con ángulo de referencia π/6 = 30°. El coseno es negativo: cos(7π/6) = −√3/2 ≈ −0,866, que redondeado a la centésima es −0,87.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{sen} 210^{\circ} = \operatorname{sen} 30^{\circ}$
Tienen el mismo ángulo de referencia, pero 210° está en el III cuadrante, donde el seno es negativo: sen 210° = −1/2, mientras que sen 30° = 1/2.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{cos} 300^{\circ} = \operatorname{cos} 60^{\circ}$
300° está en el IV cuadrante, con ángulo de referencia 60°, y allí el coseno es positivo. Los dos valen 1/2: los puntos de 60° y de 300° son simétricos respecto al eje x.
Marca todas las expresiones que dan un número positivo.
Marca todas las que apliquen.
tan 210° es positiva (III cuadrante: negativo entre negativo); sen(3π/4) es positivo porque 3π/4 = 135° está en el II; cos(11π/6) es positivo porque 11π/6 = 330° está en el IV. tan 120° y tan 300° son negativas (II y IV), y cos(5π/4) es negativo porque 5π/4 = 225° está en el III.
¿Cuánto vale $\operatorname{tan} 315^{\circ}$?
315° está en el IV cuadrante, con ángulo de referencia 360° − 315° = 45°. La tangente es negativa en el IV, así que tan 315° = −tan 45° = −1.
¿Cuál es el valor de $\operatorname{sen}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$?
4π/3 = 240°, del III cuadrante, con ángulo de referencia π/3 = 60°. En el III el seno es negativo: sen(4π/3) = −sen(π/3) = −√3/2.
¿Cuál es el ángulo de referencia de $\frac{5\pi}{4}$?
5π/4 está entre π y 3π/2, en el III cuadrante. Su ángulo de referencia es 5π/4 − π = π/4, es decir, 45°. 3π/4 sale de restar 2π − 5π/4, que es la fórmula del IV cuadrante.
¿En cuál de estos ángulos la tangente no está definida?
El punto de 270° es (0; −1): su abscisa, que es el coseno, vale 0, y la tangente pediría dividir entre 0. En 180° y en 360° es la ordenada la que vale 0, así que la tangente vale 0; y tan 135° = −1.
Reto
Une cada expresión con su valor exacto.
Busca el ángulo de referencia y el signo del cuadrante antes de buscar la ficha.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En las dos primeras rondas, mira el signo. En la tercera, todos los valores son racionales menos uno.
Reto
Abre el candado con tres valores exactos.
Cada pista da un dígito de la clave.
Cierre
En resumen
El ángulo de referencia es el ángulo agudo entre el lado terminal y el eje x; en el II cuadrante es 180° − θ, en el III es θ − 180° y en el IV es 360° − θ.
Las razones de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que las de su ángulo de referencia; el signo lo decide el cuadrante del ángulo, no el ángulo de referencia.
La tangente es sen θ / cos θ; es positiva en los cuadrantes I y III, negativa en el II y el IV, y no está definida en 90° ni en 270°.
En radianes el método es el mismo, con π en lugar de 180° y 2π en lugar de 360°.
Un ángulo negativo o de más de una vuelta se reduce primero a su coterminal entre 0° y 360°.
Vocabulario
- Ángulo de referencia
El ángulo agudo que forma el lado terminal de un ángulo no cuadrantal con el eje x.
- Tangente de un ángulo
En el círculo unitario, el cociente entre la ordenada y la abscisa del punto, tan θ = sen θ / cos θ; solo existe cuando cos θ ≠ 0.
- Simetría respecto a un eje
Dos puntos son simétricos respecto al eje y si solo se diferencian en el signo de la abscisa, y respecto al eje x si solo se diferencian en el signo de la ordenada.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte la figura de los cuatro ángulos de referencia 60° y pregunte qué tienen en común las coordenadas de los cuatro puntos.
- Explicación · 20 min — La tabla del ángulo de referencia, el método de tres pasos y los cuatro ejemplos. Insista en que el signo sale del cuadrante de θ.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el dominó y el intruso se resuelven en grupo, pidiendo que cada pareja diga en voz alta cuadrante, ángulo de referencia y signo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante elija un ángulo de la forma 180° ± 30° o 360° − 45°, calcule sus tres razones y las compare con la calculadora.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el ángulo de referencia se mide contra el eje x y no contra el eje y?
- ¿Cuántos ángulos entre 0° y 360° tienen seno igual a 1/2? ¿Y tangente igual a 1?
- Si un ángulo tiene tangente positiva y seno negativo, ¿en qué cuadrante está?
- ¿Por qué la tangente de 90° no existe, si el seno y el coseno de 90° sí existen?
Errores típicos
- Calcular el ángulo de referencia contra el eje y (por ejemplo, 270° − 240° = 30°). Dibuje el ángulo en el círculo y marque el ángulo agudo que queda contra el eje x antes de calcular.
- Olvidar el signo del cuadrante y escribir sen 210° = 1/2. Pida que digan primero el cuadrante y el signo, y solo después el valor; compruebe con la calculadora.
- Confundir 180° − θ con θ − 180°. Recuerde que el ángulo de referencia es agudo y positivo: si sale negativo o mayor que 90°, la fórmula no era la del cuadrante.
- Creer que la tangente de 90° vale 0 o vale 1. Escriba tan 90° = sen 90° / cos 90° = 1/0 y pregunte qué número multiplicado por 0 da 1.
Tarea sugerida
Construir una tabla con el seno, el coseno y la tangente exactos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330° y 360°, y escribir debajo qué patrón observan en los signos.