Identidades trigonométricas fundamentales
Lo que vas a aprender
- Deducir la identidad pitagórica sen²θ + cos²θ = 1 a partir del círculo unitario.
- Usar las identidades de cociente y recíprocas para expresar unas razones en términos de otras.
- Hallar las seis razones de un ángulo a partir de una de ellas y del cuadrante en que termina.
- Comprobar identidades sencillas transformando un lado hasta obtener el otro, y refutar con un contraejemplo una igualdad que no es identidad.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que un instrumento mide la inclinación de una rampa y solo te entrega el seno del ángulo. ¿Tienes que volver a medir para conocer el coseno o la tangente? No: el seno, el coseno y la tangente de un mismo ángulo están amarrados por unas pocas igualdades, y con una sola razón y el cuadrante se pueden sacar todas las demás.
Esas igualdades se llaman identidades trigonométricas. Además de ahorrar cálculos, sirven para simplificar expresiones largas, algo que vas a necesitar en física y en los cursos de cálculo. En esta lección aprenderás las fundamentales, de dónde salen y cómo se comprueba que una igualdad es, o no es, una identidad.
Antes de empezar repasa los signos de las razones en cada cuadrante, el cuadrado de un binomio y la suma de fracciones con el mismo denominador.
Explicación
Ecuación o identidad
Una ecuación como $2x + 1 = 7$ solo se cumple para algunos valores de $x$; resolverla es encontrarlos. Una identidad se cumple para todos los valores en los que sus dos lados tienen sentido. Por ejemplo, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ es una identidad: vale para cualquier par de números.
En trigonometría, las identidades relacionan las razones de un mismo ángulo. En las cuentas de esta lección el ángulo se escribe $x$ y en el texto, $\theta$; es lo mismo.
Una notación que conviene fijar: $\operatorname{sen}^2\theta$ quiere decir $(\operatorname{sen}\theta)^2$, el seno elevado al cuadrado. No es el seno de $\theta^2$.
La identidad pitagórica
El punto $P(\cos\theta;\ \operatorname{sen}\theta)$ está en el círculo unitario, y todos los puntos de ese círculo cumplen $x^2 + y^2 = 1$ (aquí $x$ e $y$ son las coordenadas del punto, no el ángulo). Al reemplazar la abscisa por el coseno y la ordenada por el seno se obtiene, para cualquier ángulo,
$$\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1.$$
Se llama pitagórica porque, para un ángulo agudo, es el teorema de Pitágoras en el triángulo de hipotenusa 1. De ella se despejan otras dos formas útiles: $\cos^2\theta = 1 - \operatorname{sen}^2\theta$ y $\operatorname{sen}^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
La identidad de cociente y las recíprocas
La tangente es el cociente entre la ordenada y la abscisa del punto:
$$\tan\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}, \qquad \text{donde } \cos\theta \neq 0.$$
Las tres razones recíprocas son los inversos de las tres principales:
$$\csc\theta = \frac{1}{\operatorname{sen}\theta}, \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}.$$
Cada una existe solo donde su denominador no es cero. Como un número y su inverso tienen el mismo signo, cada recíproca tiene el signo de la razón de la que sale: la secante, el del coseno; la cosecante, el del seno.
Una razón y el cuadrante bastan
Si conoces el seno, la identidad pitagórica te da $\cos^2\theta$. Pero un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, y la identidad sola no dice cuál es la del coseno. Lo decide el cuadrante: en el I y el IV el coseno es positivo; en el II y el III, negativo. Por eso un problema de este tipo siempre trae el cuadrante. Sin él habría dos respuestas posibles.
Con el seno y el coseno ya calculados, la tangente sale del cociente, y las recíprocas, de invertir.
Cómo se comprueba una identidad
Para comprobar que una igualdad es una identidad:
- Escoge un lado, de preferencia el más complicado.
- Transfórmalo con álgebra (desarrollar, factorizar, sumar fracciones) y con las identidades conocidas, paso a paso.
- Detente cuando llegues exactamente al otro lado.
Lo que no se vale es empezar suponiendo que la igualdad es cierta y operar con los dos lados a la vez: así se puede «demostrar» algo falso.
Probar con un ángulo no demuestra una identidad: que dos expresiones coincidan en un valor no garantiza que coincidan en todos. Pero sirve para lo contrario. Si encuentras un solo ángulo en el que los dos lados dan distinto, ese contraejemplo muestra que la igualdad no es una identidad.
Ejemplo resuelto
Las seis razones a partir del seno
Un ángulo θ termina en el II cuadrante y $\operatorname{sen}\theta = \tfrac{3}{5}$. Halla las otras cinco razones.
Ver la solución paso a paso
De la identidad pitagórica, $\cos^2\theta = 1 - \operatorname{sen}^2\theta$, y el coseno es una de sus dos raíces. En el II cuadrante el coseno es negativo, así que tomamos la raíz negativa: $-\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{2}}$
Calculamos el cuadrado: $-\sqrt{1 - \frac{9}{25}}$
Restamos: $-\sqrt{\frac{16}{25}}$
Y sacamos la raíz: $\cos\theta =$ $-\frac{4}{5}$
La tangente es el seno entre el coseno: $\tan\theta = \dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$. Un positivo entre un negativo da negativo, así que el signo menos queda delante: $-\frac{3}{5} \div \frac{4}{5}$
Así que $\tan\theta =$ $-\frac{3}{4}$
Las recíprocas se obtienen invirtiendo. La cosecante es el inverso del seno: $1 \div \frac{3}{5} = \frac{5}{3}$
La secante es el inverso del coseno, $\sec\theta = \dfrac{1}{-\frac{4}{5}}$; el inverso conserva el signo: $-1 \div \frac{4}{5} = -\frac{5}{4}$
Y la cotangente es el inverso de la tangente, $\cot\theta = \dfrac{1}{-\frac{3}{4}}$: $-1 \div \frac{3}{4} = -\frac{4}{3}$
Respuesta: $\cos\theta = -\tfrac{4}{5}$, $\tan\theta = -\tfrac{3}{4}$, $\csc\theta = \tfrac{5}{3}$, $\sec\theta = -\tfrac{5}{4}$ y $\cot\theta = -\tfrac{4}{3}$.
Gira P a cualquier ángulo: sen²θ + cos²θ siempre da 1. Llévalo a 143°, en el II cuadrante: el seno queda en 0,6 = 3/5 y el coseno en −0,8 = −4/5, como en el ejemplo.
Ejemplo resuelto
Comprobar una identidad y refutar otra
Comprueba que $\left(\operatorname{sen} x + \operatorname{cos} x\right)^{2}$ es igual a $1 + 2\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cos} x$ para todo ángulo x. Después, muestra que $\operatorname{sen} x + \cos x = 1$ no es una identidad.
Ver la solución paso a paso
Partimos del lado izquierdo, que es el más complicado: $\left(\operatorname{sen} x + \operatorname{cos} x\right)^{2}$
Desarrollamos el cuadrado de un binomio: $\operatorname{sen}^{2} x + 2\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cos} x + \operatorname{cos}^{2} x$
Agrupamos el primer y el último término: $\operatorname{sen}^{2} x + \operatorname{cos}^{2} x + 2\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cos} x$
Por la identidad pitagórica, los dos primeros términos suman 1: $1 + 2\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cos} x$. Llegamos al lado derecho, así que la igualdad es una identidad.
Para la segunda igualdad buscamos un contraejemplo. En 45°, el lado izquierdo da $\operatorname{sen} 45^{\circ} + \operatorname{cos} 45^{\circ} = \sqrt{2}$
y $\sqrt{2}$ no es 1: $\operatorname{sen} 45^{\circ} + \operatorname{cos} 45^{\circ} \ne 1$. Un solo ángulo en que falla basta para saber que no es una identidad, aunque se cumpla en 0° y en 90°.
En 0° sí da 1: $\operatorname{sen} 0^{\circ} + \operatorname{cos} 0^{\circ} = 1$
Y en 90° también: $\operatorname{sen} 90^{\circ} + \operatorname{cos} 90^{\circ} = 1$. Por eso probar con 0° y 90° no bastaba para decidir.
Respuesta: $(\operatorname{sen} x + \cos x)^2 = 1 + 2\operatorname{sen} x \cos x$ es una identidad; $\operatorname{sen} x + \cos x = 1$ no lo es, porque falla en 45°.
Ejemplo resuelto
Una identidad nueva con la tangente
Comprueba que $1 + \operatorname{tan}^{2} x$ es igual a $\operatorname{sec}^{2} x$ para los valores de x en los que la tangente está definida.
Ver la solución paso a paso
Partimos del lado izquierdo: $1 + \operatorname{tan}^{2} x$
Escribimos la tangente como seno entre coseno: $1 + \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{\operatorname{cos}^{2} x}$
Escribimos el 1 con el mismo denominador: $\frac{\operatorname{cos}^{2} x}{\operatorname{cos}^{2} x} + \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{\operatorname{cos}^{2} x}$
Sumamos las fracciones: $\frac{\operatorname{cos}^{2} x + \operatorname{sen}^{2} x}{\operatorname{cos}^{2} x}$
El numerador es 1 por la identidad pitagórica: $\frac{1}{\operatorname{cos}^{2} x}$
Y el inverso del coseno es la secante: $\operatorname{sec}^{2} x$
Respuesta: $\operatorname{sec}^{2} x$
Ejemplo resuelto
Seno y coseno a partir de la tangente
Un ángulo θ termina en el III cuadrante y $\tan\theta = 2$. Halla $\cos\theta$ y $\operatorname{sen}\theta$.
Ver la solución paso a paso
Por el ejemplo anterior, $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$. En el III cuadrante el coseno es negativo y la secante también, así que tomamos la raíz negativa: $-\sqrt{1 + 2^{2}}$
Es decir, $\sec\theta =$ $-\sqrt{5}$
El coseno es el inverso de la secante: $\frac{1}{-\sqrt{5}}$
Racionalizamos: $\cos\theta =$ $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
De $\tan\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}$ sale $\operatorname{sen}\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$: $-\frac{2}{\sqrt{5}}$
Racionalizamos: $\operatorname{sen}\theta =$ $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Comprobamos con la identidad pitagórica: $\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2} + \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2} = 1$. Los dos valores son negativos, como corresponde al III cuadrante.
Respuesta: $\cos\theta = -\tfrac{\sqrt{5}}{5}$ y $\operatorname{sen}\theta = -\tfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Práctica
Si sen θ = $0{,}6$ y θ termina en el I cuadrante, ¿cuánto vale cos θ?
cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, así que cos θ es 0,8 o −0,8. En el I cuadrante el coseno es positivo: cos θ = 0,8.
Si cos θ = $-\frac{5}{13}$ y θ termina en el III cuadrante, ¿cuánto vale sen θ?
sen²θ = 1 − 25/169 = 144/169, y la raíz es 12/13. En el III cuadrante el seno es negativo: sen θ = −12/13. El −8/13 sale de restar 1 − 5/13 sin elevar al cuadrado.
Si sen θ = $-\frac{3}{5}$ y cos θ = $\frac{4}{5}$, ¿cuánto vale tan θ?
tan θ = sen θ / cos θ = (−3/5) ÷ (4/5) = −3/4. El −4/3 es la cotangente, el cociente al revés.
¿Verdadero o falso? La igualdad $\operatorname{sen} x + \operatorname{cos} x = 1$ es una identidad.
Se cumple en 0° y en 90°, pero no siempre: en 45° el lado izquierdo vale √2/2 + √2/2 = √2. La identidad verdadera tiene cuadrados: sen²x + cos²x = 1.
¿Verdadero o falso? La igualdad $\operatorname{sen}^{4} x - \operatorname{cos}^{4} x = \operatorname{sen}^{2} x - \operatorname{cos}^{2} x$ es una identidad.
El lado izquierdo es una diferencia de cuadrados: (sen²x + cos²x)(sen²x − cos²x). El primer factor vale 1, así que queda sen²x − cos²x.
¿Verdadero o falso? Para los valores de x en los que la tangente está definida, $\operatorname{tan} x \cdot \operatorname{cos} x = \operatorname{sen} x$
tan x · cos x = (sen x / cos x) · cos x = sen x, porque el coseno se cancela. Hace falta que cos x ≠ 0, que es justo donde la tangente está definida.
Si cos θ = $0{,}25$, ¿cuánto vale sec θ?
La secante es el inverso del coseno: 1 ÷ 0,25 = 4. Tiene el mismo signo que el coseno.
Si tan θ = $\frac{3}{4}$ y θ termina en el III cuadrante, ¿cuánto vale cos θ?
sec²θ = 1 + 9/16 = 25/16. En el III cuadrante la secante es negativa, así que sec θ = −5/4 y cos θ = −4/5. El −5/4 es la secante, no el coseno; el −3/5 es el seno.
Se sabe que cos θ = $0{,}8$, pero no se sabe en qué cuadrante termina θ. Marca todos los valores posibles de sen θ.
Marca todas las que apliquen.
sen²θ = 1 − 0,64 = 0,36, y las dos raíces son 0,6 y −0,6. Con coseno positivo, θ puede estar en el I cuadrante (seno 0,6) o en el IV (seno −0,6). 0,2 sale de restar 1 − 0,8 sin elevar al cuadrado, y 0,36 es sen²θ, no sen θ.
¿A qué expresión es igual $\frac{1 - \operatorname{cos}^{2} x}{\operatorname{sen} x}$, para los valores de x en los que está definida?
Por la identidad pitagórica, 1 − cos²x = sen²x. Entonces la expresión es sen²x / sen x = sen x, siempre que sen x ≠ 0.
¿Qué quiere decir sen²θ?
El exponente escrito junto a «sen» afecta al valor del seno, no al ángulo: sen²θ = (sen θ)². Por eso sen²θ + cos²θ = 1 es la suma de los cuadrados de las dos coordenadas del punto.
Reto
Une cada expresión con otra equivalente.
Usa la identidad pitagórica, la de cociente y las recíprocas.
Reto
Completa las razones del ángulo.
Elige en cada hueco el valor correcto. Fíjate en el cuadrante.
Reto
Abre el candado con las identidades.
Cada pista da un dígito de la clave.
Cierre
En resumen
Una identidad se cumple para todos los valores en los que sus dos lados están definidos; una ecuación, solo para algunos.
La identidad pitagórica sen²θ + cos²θ = 1 sale de que (cos θ; sen θ) está en el círculo unitario, y vale para todo ángulo.
tan θ = sen θ / cos θ, y las recíprocas son csc θ = 1/sen θ, sec θ = 1/cos θ y cot θ = cos θ / sen θ, cada una donde su denominador no es cero.
Con una razón y el cuadrante se hallan las demás; la identidad da el valor absoluto y el cuadrante da el signo.
Una identidad se comprueba transformando un lado hasta llegar al otro; un solo contraejemplo basta para mostrar que una igualdad no es identidad.
Vocabulario
- Identidad
Igualdad que se cumple para todos los valores de la variable en los que sus dos lados están definidos.
- Identidad pitagórica
sen²θ + cos²θ = 1, que vale para todo ángulo θ porque (cos θ; sen θ) está en el círculo unitario.
- Razones recíprocas
Cosecante, secante y cotangente: csc θ = 1/sen θ, sec θ = 1/cos θ y cot θ = cos θ / sen θ, donde el denominador no es cero.
- Contraejemplo
Un valor concreto en el que una afirmación general falla. Basta uno para mostrar que una igualdad no es identidad.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a cada estudiante que calcule con la calculadora sen²θ + cos²θ para un ángulo distinto y que comparen los resultados en voz alta.
- Explicación · 20 min — Deduzca la identidad pitagórica en el círculo unitario y presente las de cociente y recíprocas. Resuelva el primer ejemplo y el de comprobar y refutar en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el dominó y los huecos se pueden proyectar. Pida que justifiquen el signo de cada razón con el cuadrante.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una igualdad que parezca identidad y no lo sea, y un compañero busca el contraejemplo.
Preguntas para el salón
- Si me dicen solo que sen θ = 3/5, ¿cuántos valores puede tener cos θ? ¿Qué dato falta para decidir?
- ¿Por qué la secante tiene siempre el mismo signo que el coseno?
- Si una igualdad se cumple en 0°, en 90° y en 180°, ¿ya es una identidad? ¿Qué haría falta?
- ¿Puede el seno de un ángulo valer 0,6 y su coseno valer 0,6 al mismo tiempo?
Errores típicos
- Tomar siempre la raíz positiva al despejar el coseno o el seno. Antes de calcular, que escriban el cuadrante y el signo que debe tener cada razón.
- Leer sen²θ como sen(θ²). Escriba (sen θ)² junto a sen²θ durante toda la clase y compare con la calculadora en 30°.
- Creer que sen θ + cos θ = 1 porque sen²θ + cos²θ = 1. Pida el contraejemplo de 45° con la calculadora: la suma da cerca de 1,41.
- Operar con los dos lados de la igualdad a la vez para «demostrarla». Muestre que elevando al cuadrado los dos lados de −1 = 1 se llega a 1 = 1, algo cierto a partir de algo falso; por eso se transforma un solo lado.
Tarea sugerida
Hallar las seis razones de θ si cos θ = −8/17 y θ termina en el II cuadrante, y comprobar que sen θ · csc θ = 1 y que (1 − cos θ)(1 + cos θ) = sen²θ con los valores obtenidos.