Las leyes del seno y del coseno
Lo que vas a aprender
- Enunciar la ley del seno y la ley del coseno, y justificarlas con la altura de un triángulo y con el círculo de radio b.
- Elegir la ley adecuada según los datos (ALA, AAL, LAL, LLL o LLA).
- Resolver triángulos no rectángulos, con resultados exactos o redondeados.
- Reconocer cuándo dos lados y un ángulo opuesto dan dos triángulos, uno o ninguno.
- Calcular distancias inaccesibles a partir de una base medida y dos ángulos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
¿Cómo se mide el ancho de un río sin cruzarlo, o la distancia hasta una isla sin ir en lancha? Desde hace siglos, los topógrafos lo resuelven igual: miden con cuidado una distancia en terreno firme, la base, y desde sus extremos miden los ángulos hacia el punto al que no pueden llegar. El resto lo hace la trigonometría.
El triángulo que forman casi nunca es rectángulo, así que las razones de la unidad anterior no alcanzan. En esta lección vas a conocer dos herramientas que sirven para cualquier triángulo, la ley del seno y la ley del coseno, y vas a aprender a escoger la que conviene según los datos que tengas.
Antes de empezar repasa que los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$ y que $\operatorname{sen}(180^\circ - \theta) = \operatorname{sen}\theta$, mientras que el coseno de un ángulo obtuso es negativo.
Explicación
La notación
En un triángulo $ABC$, la letra mayúscula nombra el vértice y su ángulo, y la minúscula nombra el lado opuesto: $a$ está enfrente de $A$, $b$ enfrente de $B$ y $c$ enfrente de $C$. Con esa costumbre, las fórmulas se leen solas.
La ley del seno
En todo triángulo,
$$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C}.$$
De dónde sale. Traza la altura $h$ desde $C$ hasta la recta $AB$. Se forman dos triángulos rectángulos que comparten $h$. En el que contiene a $A$, la hipotenusa es $b$, así que $h = b\operatorname{sen} A$. En el que contiene a $B$, la hipotenusa es $a$, así que $h = a\operatorname{sen} B$. Si $A$ o $B$ es obtuso, la altura cae por fuera del triángulo y en el triángulo rectángulo aparece su suplemento, que tiene el mismo seno. En todos los casos $b\operatorname{sen} A = a\operatorname{sen} B$, y al dividir entre $\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B$ queda la primera igualdad. Con la altura desde otro vértice sale la segunda.
La ley del seno sirve cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, más otro dato.
La ley del coseno
En todo triángulo,
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C,$$
y de la misma forma $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ y $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$. El lado de la izquierda está enfrente del ángulo de la derecha.
Si $C = 90^\circ$, entonces $\cos C = 0$ y la ley se vuelve el teorema de Pitágoras: la ley del coseno es un Pitágoras con corrección. Si $C$ es obtuso, su coseno es negativo, el término $-2ab\cos C$ suma, y $c^2$ queda mayor que $a^2 + b^2$.
Para hallar un ángulo cuando conoces los tres lados, se despeja el coseno:
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$$
¿Cuál ley uso?
| Lo que conoces | Primer paso |
|---|---|
| Dos ángulos y un lado (ALA o AAL) | El tercer ángulo, con la suma de $180^\circ$; luego, ley del seno |
| Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) | Ley del coseno, para el tercer lado |
| Los tres lados (LLL) | Ley del coseno, para un ángulo |
| Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) | Ley del seno, con cuidado |
Un consejo para LLL: halla primero el ángulo mayor, el opuesto al lado mayor, con la ley del coseno. Es el único que puede ser obtuso, y la tecla $\cos^{-1}$ lo dice bien porque da ángulos entre $0^\circ$ y $180^\circ$. Los otros dos ya son agudos con seguridad: si después los sacas con la ley del seno, la tecla $\operatorname{sen}^{-1}$, que solo da agudos, no te engaña.
El caso ambiguo
Con la ley del seno se halla el seno de un ángulo, y aquí está la trampa: entre $0^\circ$ y $180^\circ$ hay dos ángulos con el mismo seno, uno agudo $B_1$ y su suplemento $B_2 = 180^\circ - B_1$. La tecla $\operatorname{sen}^{-1}$ solo te da el agudo.
Cuando conoces $a$, $b$ y el ángulo $A$ (opuesto a $a$), calculas $\operatorname{sen} B = \dfrac{b\operatorname{sen} A}{a}$ y revisas:
- si da más de 1, no hay ningún triángulo con esos datos;
- si da exactamente 1, $B = 90^\circ$ y hay un solo triángulo, rectángulo;
- si da menos de 1, cada candidato, $B_1$ o $B_2$, sirve solo si al sumarlo con $A$ da menos de $180^\circ$. Pueden servir los dos, solo uno o ninguno.
Una regla rápida: si el lado opuesto al ángulo conocido es mayor que el otro lado conocido ($a > b$), hay exactamente un triángulo. Los dos triángulos solo pueden aparecer cuando ese lado es el menor.
Triángulo ABC. El lado a es BC, enfrente del vértice A; el lado b es AC, enfrente de B; y el lado c es AB, enfrente de C. El segmento punteado es la altura desde C.
Ejemplo resuelto
El ancho de un río (ALA)
Dos topógrafas están en los puntos A y B de una orilla recta de un río, separados 120 m. Desde A, el ángulo entre AB y la visual a un árbol C de la otra orilla mide 72°; desde B, mide 58°. ¿A qué distancia de A está el árbol? ¿Cuánto mide el ancho del río?
Ver la solución paso a paso
Los ángulos de un triángulo suman 180°, así que el ángulo en C, en grados, es $180 - 72 - 58$
Es decir, $C =$ $50$°.
Conocemos dos ángulos y el lado entre ellos. El lado AC es $b$, enfrente de $B$; el lado conocido AB es $c$, enfrente de $C$. De $\dfrac{b}{\operatorname{sen} B} = \dfrac{c}{\operatorname{sen} C}$ se despeja $b$: $\frac{120\operatorname{sen} 58^{\circ}}{\operatorname{sen} 50^{\circ}}$
Con la calculadora: $132{,}8 < \frac{120\operatorname{sen} 58^{\circ}}{\operatorname{sen} 50^{\circ}} < 132{,}9$. El árbol está a unos 132,8 m de A.
El ancho del río es la altura CH del triángulo. En el triángulo rectángulo AHC, la hipotenusa es AC y el ángulo en A mide 72°, así que $CH = AC\cdot\operatorname{sen} 72^\circ$: $126{,}3 < \frac{120\operatorname{sen} 58^{\circ} \cdot \operatorname{sen} 72^{\circ}}{\operatorname{sen} 50^{\circ}} < 126{,}4$
Respuesta: El árbol está a unos 132,8 m de A, y el río mide unos 126,3 m de ancho.
Las topógrafas en A y B, a 120 m una de la otra, y el árbol C en la otra orilla. CH es el ancho del río. La figura se dibuja con las medidas calculadas en el ejemplo.
Ejemplo resuelto
De dónde sale la ley del coseno, y un problema LAL
Pon el vértice C en el origen, B en el punto (a; 0) y A a distancia b de C, en el punto (b cos C; b sen C). Comprueba que $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Después, resuelve: dos senderos salen de un mismo punto y forman un ángulo de 60°; Ana camina 8 km por uno y Beto 5 km por el otro. ¿Qué distancia los separa en línea recta?
Ver la solución paso a paso
El lado $c$ es la distancia de A a B. Por la fórmula de distancia, $c^2$ es $\left(b \cdot \operatorname{cos} C - a\right)^{2} + \left(b \cdot \operatorname{sen} C\right)^{2}$
Desarrollamos los dos cuadrados: $b^{2} \cdot \operatorname{cos}^{2} C - 2a b \cdot \operatorname{cos} C + a^{2} + b^{2} \cdot \operatorname{sen}^{2} C$
Sacamos $b^2$ como factor común de los términos con cuadrados de seno y coseno: $a^{2} + b^{2} \cdot \left(\operatorname{cos}^{2} C + \operatorname{sen}^{2} C\right) - 2a b \cdot \operatorname{cos} C$
Por la identidad pitagórica, el paréntesis vale 1: $a^{2} + b^{2} - 2a b \cdot \operatorname{cos} C$. Esa es la ley del coseno, y vale para cualquier ángulo C, agudo u obtuso.
Ahora el problema. Conocemos dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), así que la distancia pedida es $\sqrt{8^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 5\operatorname{cos} 60^{\circ}}$
Como $\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$: $\sqrt{64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}}$
Operamos: $\sqrt{49}$
Y la raíz es exacta: $7$
Respuesta: La ley del coseno queda comprobada, y Ana y Beto quedan a 7 km uno del otro.
Ejemplo resuelto
Los ángulos a partir de los tres lados (LLL)
Un triángulo tiene lados a = 5, b = 7 y c = 8. Halla sus tres ángulos.
Ver la solución paso a paso
Empezamos por el ángulo mayor, C, opuesto al lado mayor, 8. Despejamos su coseno: $\frac{5^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 7}$
Operamos: $\frac{10}{70}$
Simplificamos: $\cos C =$ $\frac{1}{7}$. Es positivo, así que C es agudo; y como C es el mayor, el triángulo es acutángulo.
Con la tecla $\cos^{-1}$, $C \approx 81{,}8^\circ$. Lo comprobamos: como el coseno disminuye de 0° a 180°, basta ver que $\operatorname{cos} 81{,}8^{\circ} < \frac{1}{7} < \operatorname{cos} 81{,}7^{\circ}$
Ahora el ángulo B, opuesto al lado 7: $\frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}$
Operamos: $\frac{40}{80}$
Simplificamos: $\cos B =$ $\frac{1}{2}$
El único ángulo entre 0° y 180° con coseno $\tfrac{1}{2}$ es 60°: $\operatorname{cos} 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
El ángulo A completa los 180°, con el valor redondeado de C: $180 - 60 - 81{,}8$
Es decir, $A \approx$ $38{,}2$°.
Respuesta: $A \approx 38{,}2^\circ$, $B = 60^\circ$ y $C \approx 81{,}8^\circ$.
Ejemplo resuelto
Dos triángulos con los mismos datos (LLA)
En un triángulo, a = 6, b = 8 y A = 40°. Halla el ángulo B.
Ver la solución paso a paso
De $\dfrac{\operatorname{sen} B}{b} = \dfrac{\operatorname{sen} A}{a}$ sale $\frac{8\operatorname{sen} 40^{\circ}}{6}$
Con la calculadora: $0{,}85 < \frac{8\operatorname{sen} 40^{\circ}}{6} < 0{,}86$. Es menor que 1, así que hay al menos un candidato.
La tecla $\operatorname{sen}^{-1}$ da $B_1 \approx 59{,}0^\circ$. Lo comprobamos: como el seno crece de 0° a 90°, basta ver que $\operatorname{sen} 58{,}9^{\circ} < \frac{8\operatorname{sen} 40^{\circ}}{6} < \operatorname{sen} 59{,}1^{\circ}$
Pero $B_2 = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$ tiene el mismo seno: $\operatorname{sen} 121^{\circ} = \operatorname{sen} 59^{\circ}$
Revisamos si cada candidato cabe. Con $B_1$, el tercer ángulo, en grados, es $180 - 40 - 59$
es decir, $C_1 \approx$ $81$°: sirve.
Con $B_2$, el tercer ángulo es $180 - 40 - 121$
es decir, $C_2 \approx$ $19$°, que también es positivo: sirve. Aquí el lado opuesto al ángulo conocido, 6, es menor que el otro lado, 8, y por eso aparecen dos triángulos.
Respuesta: Hay dos triángulos: uno con $B \approx 59^\circ$ y $C \approx 81^\circ$, y otro con $B \approx 121^\circ$ y $C \approx 19^\circ$.
Práctica
Dos lados de un triángulo miden 10 cm y 7 cm, y el ángulo entre ellos mide 50°. ¿Cuánto mide el tercer lado, en centímetros? Escribe el resultado redondeado a la décima.
Es un caso LAL: c² = 100 + 49 − 140·cos 50° ≈ 149 − 89,99 = 59,01, y c ≈ 7,68, que redondeado a la décima es 7,7.
En un triángulo ABC, A = 35°, B = 80° y el lado a mide 9 cm. ¿Cuánto mide el lado b, en centímetros? Escribe el resultado redondeado a la décima.
Conocemos a y su ángulo opuesto, así que sirve la ley del seno: b = 9·sen 80° / sen 35° ≈ 9 · 0,9848 / 0,5736 ≈ 15,45, que redondeado es 15,5.
Conoces dos lados de un triángulo y el ángulo que forman entre ellos. ¿Qué te conviene usar primero?
En el caso LAL no conoces ningún lado junto con su ángulo opuesto, así que la ley del seno no arranca. La ley del coseno da el tercer lado de una vez. Pitágoras solo vale si el ángulo es recto, y con un solo ángulo no se puede usar la suma de 180°.
Un triángulo tiene lados de 4 cm, 5 cm y 6 cm. ¿Cuánto mide su ángulo mayor, en grados? Escribe el resultado redondeado a la décima.
El ángulo mayor está enfrente del lado de 6 cm: cos C = (16 + 25 − 36)/40 = 5/40 = 1/8. Con la tecla cos⁻¹, C ≈ 82,8°.
Un triángulo tiene lados de 3 m, 5 m y 7 m. ¿Cuánto mide su ángulo mayor, en grados?
cos C = (9 + 25 − 49)/30 = −15/30 = −1/2. El coseno es negativo, así que el ángulo es obtuso: C = 120°, porque cos 120° = −cos 60° = −1/2.
¿Verdadero o falso? Si dos lados de 8 cm y 6 cm forman un ángulo de 90°, la ley del coseno da $8^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 6\operatorname{cos} 90^{\circ} = 10^{2}$
cos 90° = 0, así que el último término desaparece: 64 + 36 = 100 = 10². Con un ángulo recto, la ley del coseno es el teorema de Pitágoras, y el tercer lado mide 10 cm.
Desde dos puntos P y Q de una orilla, separados 80 m, se ve una piedra R en la otra orilla. El ángulo en P mide 70° y el ángulo en Q mide 60°. ¿Cuánto mide la distancia PR, en metros? Escribe el resultado redondeado a la unidad.
El ángulo en R mide 180° − 70° − 60° = 50°. PR está enfrente de Q y PQ = 80 m está enfrente de R, así que PR = 80·sen 60° / sen 50° ≈ 90,4, que redondeado es 90 m.
¿Verdadero o falso? Con a = 3, b = 8 y A = 40° se cumple $\frac{8\operatorname{sen} 40^{\circ}}{3} \le 1$, así que existe un triángulo con esos datos.
La ley del seno da sen B = 8·sen 40° / 3 ≈ 1,71, que es mayor que 1. Ningún ángulo tiene un seno mayor que 1, así que no existe un triángulo con esos datos: el lado a es demasiado corto para alcanzar el otro lado.
En un triángulo, a = 10, b = 12 y A = 30°. ¿Cuánto vale sen B?
sen B = b·sen A / a = 12 · 0,5 / 10 = 0,6. El 5/12 sale de invertir los lados (10 · 0,5 / 12); 0,5 es el seno de A, y 1,2 olvida multiplicar por sen A.
Con a = 10, b = 12 y A = 30° hay dos triángulos posibles. ¿Cuánto mide B en el triángulo en que B es obtuso, en grados? Escribe el resultado redondeado a la décima.
sen B = 0,6 y la tecla sen⁻¹ da B₁ ≈ 36,9°. El obtuso es B₂ = 180° − 36,9° = 143,1°. Cabe en el triángulo porque 30° + 143,1° es menos de 180°.
Un terreno triangular tiene dos lados de 30 m y 45 m que forman un ángulo de 110°. ¿Cuánto mide el tercer lado, en metros? Escribe el resultado redondeado a la unidad.
c² = 900 + 2.025 − 2.700·cos 110°. Como 110° es obtuso, cos 110° ≈ −0,342 y el término suma: c² ≈ 2.925 + 923,4 = 3.848,4, y c ≈ 62 m. Es mayor que si el ángulo fuera recto, como debe ser.
En un triángulo, a = 10, A = 45° y B = 60°. Por la ley del seno, b = $\frac{10\operatorname{sen} 60^{\circ}}{\operatorname{sen} 45^{\circ}}$. ¿Cuál es su valor exacto?
b = 10·(√3/2) ÷ (√2/2) = 10√3/√2 = 10√6/2 = 5√6. El 10√6/3 sale de poner los senos al revés, sen 45° / sen 60°.
Reto
¿Con qué ley empiezas?
Lleva cada caso a la ley que usarías primero para resolver el triángulo.
Reto
Abre el candado con tres triángulos.
Cada pista da un dígito de la clave. Ninguna necesita calculadora.
Cierre
En resumen
En un triángulo ABC, cada lado se nombra con la minúscula del vértice opuesto.
Ley del seno: a/sen A = b/sen B = c/sen C. Sirve cuando se conoce un lado con su ángulo opuesto: en LLA, directamente; en ALA y AAL, después de hallar el tercer ángulo.
Ley del coseno: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Sirve para LAL y LLL; con C = 90° es el teorema de Pitágoras.
Con los tres lados, conviene hallar primero el ángulo mayor con la ley del coseno, que distingue agudos de obtusos.
En el caso LLA, sen B puede dar dos ángulos, B y 180° − B; cada uno sirve solo si, sumado con el ángulo conocido, da menos de 180°.
Vocabulario
- Resolver un triángulo
Hallar las medidas de los tres lados y los tres ángulos a partir de las que se conocen.
- Ley del seno
En todo triángulo, a/sen A = b/sen B = c/sen C: cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto.
- Ley del coseno
En todo triángulo, c² = a² + b² − 2ab·cos C, y lo mismo para los otros dos lados.
- Caso ambiguo
Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA): los datos pueden dar dos triángulos, uno o ninguno.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el problema del río y pregunte qué se podría medir desde una sola orilla. Deje que propongan antes de mostrar la figura.
- Explicación · 25 min — Notación, ley del seno con la altura, ley del coseno con el ejemplo de la deducción y la tabla de cuándo usar cada una. Resuelva en el tablero el ejemplo del río y el de los tres lados.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas con calculadora. Las canastas se discuten en grupo: pida que cada pareja justifique por qué la ley del seno no arranca en el caso LAL.
- Cierre · 5 min — Revise el caso ambiguo con el ejemplo de dos triángulos: dibuje los dos en el tablero con regla y compás.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la ley del coseno con un ángulo de 90° se vuelve el teorema de Pitágoras?
- Si en un triángulo c² es mayor que a² + b², ¿qué pueden decir del ángulo C?
- ¿Por qué con dos ángulos y un lado nunca hay caso ambiguo?
- Con a = 6, b = 8 y A = 40° salieron dos triángulos. ¿Qué pasaría si a midiera 10?
Errores típicos
- Emparejar en la ley del seno un lado con un ángulo que no es su opuesto. Antes de escribir la proporción, que marquen en el dibujo cada lado con el mismo color de su ángulo opuesto.
- Usar la ley del seno en un caso LAL, donde no se conoce ninguna pareja lado-ángulo opuesto. Pida que busquen en los datos un lado y su ángulo opuesto; si no lo hay, la ley del seno no arranca.
- Aceptar sin revisar el ángulo agudo que da la tecla sen⁻¹ en el caso LLA. Que siempre calculen también 180° menos ese ángulo y comprueben si cabe con el ángulo conocido.
- Tener la calculadora en radianes y obtener resultados sin sentido. Pida que calculen sen 30° al empezar la clase: si no da 0,5, la calculadora no está en grados.
- Olvidar que el coseno de un ángulo obtuso es negativo y restar donde hay que sumar. Compare con el caso de 90°: si el ángulo es mayor que recto, el tercer lado tiene que salir mayor que el de Pitágoras.
Tarea sugerida
Medir en el patio o en la cancha una base de 10 m entre dos marcas, medir con un transportador grande los ángulos desde cada marca hacia un objeto lejano (un poste o un árbol) y calcular su distancia con la ley del seno. Comparar con una medición directa, si se puede, y explicar por escrito de dónde salen las diferencias.