Las funciones seno y coseno

¿Para qué sirve esto?

Piensa en una silla de una rueda de feria. Mientras la rueda gira, la silla sube, llega arriba, baja, pasa por abajo y vuelve a empezar. Si anotas su altura minuto a minuto, los números se repiten vuelta tras vuelta. Lo mismo pasa con el aspa de un ventilador, con la aguja de un reloj o con el péndulo de un columpio: son fenómenos periódicos.

En la unidad anterior aprendiste que, en el círculo unitario, un ángulo $x$ determina el punto $(\cos x;\ \operatorname{sen} x)$. Ahora vas a mirar ese mismo hecho como una función: cada número real $x$ tiene un seno y un coseno, y al graficarlos aparecen dos ondas que se repiten sin fin. Esas dos ondas son la base para describir con fórmulas cualquier cosa que gire u oscile.

Antes de empezar necesitas recordar los valores de seno y coseno de los ángulos notables ($\tfrac{\pi}{6}$, $\tfrac{\pi}{4}$, $\tfrac{\pi}{3}$, $\tfrac{\pi}{2}$) y el signo de cada razón en los cuatro cuadrantes.

Del círculo a la gráfica

Imagina un punto que recorre el círculo unitario en sentido contrario a las agujas del reloj, empezando en $(1;\ 0)$. Cuando ha girado un ángulo de $x$ radianes, su altura sobre el eje horizontal es $\operatorname{sen} x$ y su distancia horizontal al eje vertical, con signo, es $\cos x$.

Ahora pasamos esa información a un plano nuevo: en el eje horizontal ponemos el ángulo $x$ (en radianes, que es un número real) y en el eje vertical ponemos $\operatorname{sen} x$. Lo que se dibuja es la gráfica de la función $y = \operatorname{sen} x$. Si en el eje vertical ponemos $\cos x$, obtenemos la gráfica de $y = \cos x$.

Se usan radianes porque así los dos ejes miden con números reales comunes: una vuelta completa no es «360», sino $2\pi \approx 6{,}28$, y la gráfica tiene una forma natural, sin estirarse. Por eso, en esta lección, $x$ siempre está en radianes.

La onda del seno

Recorramos una vuelta. En $x = 0$ el punto está en $(1;\ 0)$, así que el seno vale $0$. Mientras $x$ avanza hasta $\tfrac{\pi}{2}$, el punto sube y el seno crece hasta $1$, su valor más alto. De $\tfrac{\pi}{2}$ a $\pi$ el punto baja y el seno vuelve a $0$. En el tercer y en el cuarto cuadrante el punto está por debajo del eje: el seno es negativo, llega a $-1$ en $x = \tfrac{3\pi}{2}$ y regresa a $0$ en $x = 2\pi$.

Fíjate en que la curva no está hecha de segmentos rectos: cerca de $\tfrac{\pi}{2}$ el seno cambia muy despacio (la curva se aplana arriba), y cerca de $0$ y de $\pi$ cambia rápido (la curva es más empinada).

La onda del coseno

Con el coseno hacemos lo mismo, pero mirando la coordenada horizontal del punto. En $x = 0$ el punto está en $(1;\ 0)$: el coseno vale $1$, su valor más alto. Llega a $0$ en $\tfrac{\pi}{2}$, a $-1$ en $\pi$, otra vez a $0$ en $\tfrac{3\pi}{2}$ y vuelve a $1$ en $2\pi$. La gráfica tiene exactamente la misma forma que la del seno, pero empieza arriba en lugar de empezar en el eje: es la onda del seno corrida $\tfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda. En fórmulas, $\cos x = \operatorname{sen}\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ para todo número real $x$.

Lo que tienen en común

• Dominio. Cualquier número real es un ángulo (se puede girar tanto como se quiera, y en los dos sentidos), así que el dominio de las dos funciones es $\mathbb{R}$.
• Rango. Los valores siempre quedan entre $-1$ y $1$, y los toman todos: el rango es $[-1;\ 1]$.
• Periodo. Al dar una vuelta completa el punto regresa al mismo lugar. Por eso $\operatorname{sen}(x + 2\pi) = \operatorname{sen} x$ y $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, y no hay un número positivo menor que $2\pi$ con esa propiedad. El periodo es $2\pi$: la gráfica de una vuelta se copia, igualita, a la derecha y a la izquierda.
• Amplitud. Es la mitad de la distancia entre el valor más alto y el más bajo. Las dos oscilan entre $-1$ y $1$, así que su amplitud es $1$.

Ceros, máximos y mínimos

Como la gráfica se repite cada $2\pi$, los puntos importantes también se repiten:

• $\operatorname{sen} x = 0$ cuando $x$ es un múltiplo entero de $\pi$: $\ldots,\ -\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ \ldots$
• $\operatorname{sen} x$ vale $1$ en $\tfrac{\pi}{2}$ y en todos los que se obtienen sumándole o restándole vueltas enteras.
• $\cos x = 0$ en $\tfrac{\pi}{2}$, $\tfrac{3\pi}{2}$ y, en general, en $\tfrac{\pi}{2}$ más un múltiplo entero de $\pi$.
• $\cos x$ vale $1$ en $0$, $2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$… y vale $-1$ en $\pi$, $3\pi$, $-\pi$…

Un error común es creer que el periodo es $\pi$ porque la curva corta el eje cada $\pi$. Pero después de media vuelta la curva está bajando donde antes estaba subiendo: los valores se repiten solo al completar la vuelta entera.

En resumen

• Al poner el ángulo x (en radianes) en el eje horizontal y sen x o cos x en el vertical, se obtienen dos ondas.

• Las dos funciones tienen dominio ℝ, rango [−1; 1], periodo 2π y amplitud 1.

• El seno vale 0 en los múltiplos de π, 1 en π/2 y −1 en 3π/2, más vueltas enteras.

• La onda del coseno es la del seno corrida π/2 hacia la izquierda; empieza arriba, en (0; 1).

• Para un ángulo mayor que 2π se le quitan vueltas enteras, porque el periodo no cambia el valor.

Vocabulario

Función periódica

Función cuyos valores se repiten cada vez que la variable aumenta en una cantidad fija.

Periodo

La menor cantidad positiva que hay que sumarle a x para que la función vuelva a tomar los mismos valores. Para el seno y el coseno es 2π.

Amplitud

La mitad de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de una función periódica. Para y = sen x y y = cos x es 1.

Cero de una función

Un valor de x en el que la función vale 0; en la gráfica, un punto de corte con el eje x.

Rango

El conjunto de todos los valores que toma la función. Para el seno y el coseno es el intervalo [−1; 1].