Modelar fenómenos periódicos

¿Para qué sirve esto?

La onda de $y = \operatorname{sen} x$ sube hasta $1$, baja hasta $-1$ y se repite cada $2\pi$. Pero una silla de una rueda de feria no sube hasta $1$ metro, la marea de un puerto no se repite cada $6{,}28$ horas y la temperatura de una ciudad no oscila alrededor de $0\ ^\circ\mathrm{C}$. Para describir esas situaciones hace falta ajustar la onda: hacerla más alta o más baja, más rápida o más lenta, y subirla o bajarla.

En esta lección vas a ver que tres números bastan para eso. Con ellos podrás escribir un modelo de un fenómeno que se repite, calcular qué pasará en un momento dado y tomar decisiones, por ejemplo, saber a qué hora puede entrar un barco a un puerto.

Todas las situaciones de esta lección usan datos inventados: sirven para practicar, no describen ningún lugar real.

Antes de empezar necesitas conocer las gráficas de $y = \operatorname{sen} x$ y $y = \cos x$, y saber qué le hacen a una gráfica las transformaciones $y = a\,f(x)$ y $y = f(x) + k$.

Tres números que cambian la onda

Vamos a trabajar con funciones de la forma

$$y = A\operatorname{sen}(Bx) + D.$$

Cada uno de los tres números cambia la onda de una manera distinta.

El número $A$ estira la onda en vertical. Cada valor del seno se multiplica por $A$. Si $A = 3$, la onda oscila entre $-3$ y $3$ en lugar de hacerlo entre $-1$ y $1$. La amplitud es $|A|$, el valor absoluto, porque es una distancia. Si $A$ es negativo, la onda además se voltea: donde $y = \operatorname{sen} x$ sube, $y = -\operatorname{sen} x$ baja. La amplitud de $y = -4\operatorname{sen} x$ es $4$, no $-4$.

El número $B$ cambia la rapidez de la onda. El seno completa un ciclo cuando lo que está dentro del paréntesis recorre de $0$ a $2\pi$. Si dentro hay $Bx$, con $B$ positivo, eso ocurre cuando $x$ va de $0$ a $\tfrac{2\pi}{B}$. Por eso el periodo es

$$T = \frac{2\pi}{|B|}.$$

Con $B = 2$ la onda va al doble de rápido y su periodo es $\pi$: caben dos ondas donde antes cabía una. Con $B = \tfrac{1}{2}$ la onda va a la mitad de la rapidez y su periodo es $4\pi$. Cuidado: un $B$ más grande da un periodo más corto. El periodo no es $B$, ni $2\pi$ por $B$.

El número $D$ sube o baja toda la onda. La recta $y = D$ es la línea media: la onda queda la mitad del tiempo por encima y la mitad por debajo. El valor máximo es $D + |A|$ y el valor mínimo es $D - |A|$.

Una advertencia importante: ni $A$ ni $D$ cambian el periodo, y $B$ no cambia la amplitud. Cada número controla una sola característica.

Del fenómeno a la fórmula

Para modelar un fenómeno que se repite con $y = A\operatorname{sen}(Bx) + D$ se necesitan tres datos: el valor más alto, el valor más bajo y el tiempo que tarda un ciclo completo.

1. La línea media está en la mitad: $D = \dfrac{\text{máximo} + \text{mínimo}}{2}$.
2. La amplitud es la mitad de la diferencia: $|A| = \dfrac{\text{máximo} - \text{mínimo}}{2}$.
3. De $T = \dfrac{2\pi}{B}$ se despeja $B = \dfrac{2\pi}{T}$.

Falta el signo de $A$. La función $\operatorname{sen}$ empieza en su línea media y subiendo. Si en el instante $x = 0$ el fenómeno está en la línea media y subiendo, $A$ es positivo; si está en la línea media y bajando, $A$ es negativo. Por eso este modelo solo sirve si en $x = 0$ el fenómeno está en su línea media: si empieza en el máximo o en el mínimo, ningún signo de $A$ lo describe, y hace falta otra forma (por ejemplo, con el coseno) que no se trabaja en esta lección.

Un modelo es una simplificación. Una marea de verdad no tiene siempre la misma altura ni repite su ciclo con exactitud; por eso un modelo sirve para estimar y decidir, y se revisa cuando llegan datos nuevos.

En resumen

• En y = A·sen(Bx) + D, la amplitud es |A|, el periodo es 2π/|B| y la línea media es la recta y = D.

• El valor máximo es D + |A| y el mínimo es D − |A|.

• Un B más grande hace la onda más rápida y su periodo más corto; un A negativo voltea la onda sin cambiar la amplitud.

• Para modelar se usa D = (máximo + mínimo)/2, |A| = (máximo − mínimo)/2 y B = 2π/T, y, si en x = 0 la cantidad está en su línea media, el signo de A según si sube o baja.

• Un modelo permite calcular valores y tomar decisiones, pero es una simplificación de la situación.

Vocabulario

Amplitud

En y = A·sen(Bx) + D es |A|: la distancia entre la línea media y el punto más alto (o el más bajo) de la onda.

Periodo

En y = A·sen(Bx) + D es 2π/|B|: lo que tiene que avanzar x para que la onda complete un ciclo.

Línea media

La recta horizontal y = D, que queda exactamente en la mitad entre el máximo y el mínimo.

Modelo

Una fórmula que describe, de manera aproximada y simplificada, cómo cambia una cantidad en una situación.