La función tangente
Lo que vas a aprender
- Construir la tabla de valores y la gráfica de y = tan x con x en radianes.
- Explicar por qué la tangente tiene periodo π y asíntotas verticales en x = π/2 + kπ.
- Dar el dominio, el rango y los ceros de la función tangente.
- Relacionar la pendiente de una recta con la tangente del ángulo que forma con el eje x.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una rampa para sillas de ruedas, un tejado o una calle empinada tienen algo en común: se puede decir qué tan inclinados están de dos maneras. Una es con el ángulo que forman con el piso; otra es con la pendiente, cuánto suben por cada metro que avanzan. La función tangente es el puente entre las dos: convierte un ángulo en una pendiente.
Además, la tangente es la tercera función trigonométrica, y su gráfica es muy distinta de las ondas del seno y del coseno: no tiene techo ni piso, se rompe en algunos puntos y se repite el doble de seguido. Entender por qué pasa eso te ayudará a leer cualquier gráfica que tenga rupturas.
Antes de empezar necesitas recordar los valores de seno y coseno de los ángulos notables y la pendiente de una recta $y = mx + b$.
Explicación
La tangente como función
En un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo es el cateto opuesto dividido entre el cateto adyacente. En el círculo unitario esa idea se extiende a cualquier ángulo: si el ángulo $x$ determina el punto $(\cos x;\ \operatorname{sen} x)$, la tangente es
$$\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, \qquad \text{siempre que } \cos x \neq 0.$$
Ese cociente tiene un significado geométrico sencillo: es la altura dividida entre el avance horizontal del punto, o sea, la pendiente del radio que va del origen al punto del círculo.
Donde la tangente no existe
Cuando $\cos x = 0$ el cociente no se puede calcular. Eso pasa en $x = \tfrac{\pi}{2}$, en $x = \tfrac{3\pi}{2}$ y, en general, en $\tfrac{\pi}{2}$ más cualquier múltiplo entero de $\pi$. En esos ángulos el radio es vertical, y una recta vertical no tiene pendiente.
¿Qué pasa cerca de esos valores? Si $x$ se acerca a $\tfrac{\pi}{2}$ por la izquierda, el seno está casi en $1$ y el coseno es positivo y cada vez más pequeño: el cociente crece sin límite. Si se acerca por la derecha, el coseno es negativo y pequeño, y el cociente se hace negativo y enorme. La gráfica sube y sube, y reaparece desde abajo al otro lado. La recta vertical $x = \tfrac{\pi}{2}$ es una asíntota vertical: la curva se le acerca tanto como se quiera pero nunca la toca.
Ejemplo resuelto
La tabla de y = tan x
Calcula $\tan x$ en algunos valores entre $0$ y $\pi$ y observa qué pasa cerca de $\tfrac{\pi}{2} \approx 1{,}5708$.
Ver la solución paso a paso
En $x = 0$ el punto es $(1;\ 0)$ y el radio es horizontal:
$$\operatorname{tan} 0 = 0$$
Los ángulos notables del primer cuadrante:
$$\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
A $45°$ el cateto opuesto y el adyacente son iguales:
$$\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$
Y a $60°$:
$$\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$
Muy cerca de $\tfrac{\pi}{2}$, por la izquierda, la tangente ya es grande:
$$\operatorname{tan}\left(1{,}5\right) > 14$$
Y todavía más cerca, enorme:
$$\operatorname{tan}\left(1{,}57\right) > 1000$$
En $\tfrac{\pi}{2}$ mismo, el coseno es cero y la tangente no existe:
$$\operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$
Apenas pasado $\tfrac{\pi}{2}$, el coseno es negativo y la tangente es negativa y grande:
$$\operatorname{tan}\left(1{,}58\right) < -100$$
En el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno negativo, así que la tangente es negativa:
$$\operatorname{tan}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$$
Y en $\pi$ vuelve a ser cero:
$$\operatorname{tan} \pi = 0$$
Lectura de la tabla. De $0$ a $\tfrac{\pi}{2}$ la tangente crece desde $0$ sin techo; de $\tfrac{\pi}{2}$ a $\pi$ viene desde valores negativos enormes y sube hasta $0$. En cada tramo la función es creciente.
Respuesta: La tangente crece en cada tramo y no existe en x = π/2, donde tiene una asíntota vertical.
La gráfica de y = tan x entre 0 y 2π. Las líneas punteadas son las asíntotas x = π/2 ≈ 1,57 y x = 3π/2 ≈ 4,71. El tramo entre ellas es una copia del tramo de −π/2 a π/2 corrida π. En la figura se ve en una parte: el trozo de π a 3π/2 repite el de 0 a π/2, y por eso la curva pasa por (π/4; 1) y por (5π/4; 1).
Periodo π
Si al ángulo $x$ le sumamos media vuelta, el punto del círculo pasa al lado opuesto: el seno y el coseno cambian de signo los dos. Al dividirlos, los dos signos menos se cancelan y el cociente queda igual:
$$\tan(x + \pi) = \frac{-\operatorname{sen} x}{-\cos x} = \tan x.$$
Por eso el periodo de la tangente es $\pi$, la mitad del periodo del seno y del coseno. En la gráfica, el tramo entre dos asíntotas seguidas se repite igualito cada $\pi$.
Por la misma razón, el periodo de $y = \tan(Bx)$ es $\dfrac{\pi}{|B|}$: lo de adentro tiene que avanzar $\pi$, y eso pasa cuando $x$ avanza $\tfrac{\pi}{|B|}$.
Dominio, rango y ceros
- Dominio: todos los números reales, menos $\tfrac{\pi}{2} + k\pi$, con $k$ entero.
- Rango: todos los números reales. A diferencia del seno y del coseno, la tangente no tiene valor máximo ni mínimo, y por eso no se habla de su amplitud.
- Ceros: donde el seno vale cero, es decir, en $x = k\pi$: $\ldots,\ -\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ \ldots$
La tangente y la pendiente
Toma una recta que pasa por el origen y forma un ángulo $\theta$ con la parte positiva del eje $x$. Corta el círculo unitario en el punto $(\cos\theta;\ \operatorname{sen}\theta)$, así que su pendiente, la subida dividida entre el avance, es
$$m = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.$$
Y como trasladar una recta no cambia su inclinación, lo mismo vale para cualquier recta no vertical: su pendiente es la tangente de su ángulo de inclinación. Si el ángulo es agudo la pendiente es positiva y la recta sube; si es obtuso, la pendiente es negativa y la recta baja; si es de $90°$ la recta es vertical y no tiene pendiente, igual que la tangente de $90°$ no existe.
Ejemplo resuelto
Usar el periodo π
Calcula $\tan\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)$ sin calculadora y compara con lo que les pasa al seno y al coseno.
Ver la solución paso a paso
Partimos del valor pedido.
$$\operatorname{tan}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$
Separamos media vuelta: $\tfrac{4\pi}{3} = \tfrac{\pi}{3} + \pi$.
$$\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right)$$
Como el periodo de la tangente es $\pi$, la media vuelta no cambia el valor.
$$\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{3}\right)$$
Y es un ángulo notable.
$$\sqrt{3}$$
En cambio, el seno sí cambia de signo con la media vuelta:
$$\operatorname{sen}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)$$
Y el coseno también. Por eso el cociente se mantiene:
$$\operatorname{cos}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{3}\right)$$
Respuesta: tan(4π/3) = √3, igual que tan(π/3), aunque el seno y el coseno de 4π/3 son negativos.
Gira P y mira el segmento de la tangente sobre la recta x = 1. En 45° vale 1 y en 60°, cerca de 1,73; en 90° no existe. En 240°, media vuelta después de 60°, vale otra vez lo mismo: el periodo de la tangente es π.
Ejemplo resuelto
Del ángulo a la pendiente y de la pendiente al ángulo
Halla la pendiente de la recta que pasa por el origen y forma un ángulo de $60°$ con el eje $x$. Luego halla el ángulo de inclinación de $y = -x$ y estima el de $y = 2x$.
Ver la solución paso a paso
La pendiente es la tangente del ángulo:
$$\operatorname{tan} 60^{\circ}$$
Es un ángulo notable. La recta es $y = \sqrt{3}\,x$.
$$\sqrt{3}$$
La recta $y = -x$ tiene pendiente $-1$. Buscamos un ángulo entre $0°$ y $180°$ con tangente $-1$: como es negativa, el ángulo es obtuso, y $135°$ sirve.
$$\operatorname{tan} 135^{\circ} = -1$$
Para $y = 2x$ la pendiente es $2$, que no es la tangente de un ángulo notable. Con la calculadora vemos que la tangente pasa de $2$ entre $63{,}4°$ y $63{,}5°$, porque la tangente es creciente:
$$\operatorname{tan} 63{,}4^{\circ} < 2 < \operatorname{tan} 63{,}5^{\circ}$$
Conclusión: la recta a $60°$ es $y = \sqrt{3}\,x$; $y = -x$ forma $135°$; y $y = 2x$ forma unos $63{,}4°$ con el eje $x$.
Respuesta: Pendiente √3; 135° para y = −x; unos 63,4° para y = 2x.
Tres rectas por el origen. y = x forma 45° con el eje x y tiene pendiente tan 45° = 1; y = √3·x forma 60° y tiene pendiente √3; y = −x forma 135° y tiene pendiente −1.
Práctica
¿Cuánto vale $\operatorname{tan}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$?
3π/4 está en el segundo cuadrante, con ángulo de referencia π/4. Allí el seno es positivo y el coseno negativo, así que tan(3π/4) = −tan(π/4) = −1.
¿Cuánto vale $\operatorname{tan} 225^{\circ}$?
225° = 45° + 180°. Como el periodo de la tangente es 180° (π radianes), tan 225° = tan 45° = 1.
Marca todos los valores de x en los que la gráfica de y = tan x tiene una asíntota vertical.
Marca todas las que apliquen.
Las asíntotas están donde cos x = 0: en π/2 más un múltiplo entero de π, como −π/2, π/2, 3π/2 y 5π/2. En 0 y en π la tangente vale 0: son ceros, no asíntotas.
¿Cuál es el periodo de $y =$ $\operatorname{tan}\left(2x\right)$?
La tangente repite sus valores cada vez que lo de adentro avanza π. Si adentro hay 2x, basta con que x avance π/2. Usar 2π/2 = π sería aplicar la regla del seno, que tiene periodo 2π.
Una recta pasa por el origen y forma un ángulo de 30° con la parte positiva del eje x. ¿Cuál es su pendiente?
La pendiente es tan 30° = sen 30° / cos 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = 1/√3 = √3/3. El valor 1/2 es el seno, √3/2 es el coseno y √3 es la tangente de 60°.
Una recta tiene un ángulo de inclinación de 120°. ¿Cuál es su pendiente? Redondea a la centésima.
120° es obtuso, así que la pendiente es negativa: tan 120° = −tan 60° = −√3 ≈ −1,73. La recta baja de izquierda a derecha.
La recta y = 3x forma un ángulo agudo con la parte positiva del eje x. ¿Cuánto mide ese ángulo, en grados? Redondea a la décima.
Buscamos el ángulo cuya tangente es 3. Con la calculadora en grados, la tecla tan⁻¹ da 71,565…°, que redondeado es 71,6°.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Un cuarto de vuelta no es el periodo de la tangente. tan(π/4 + π/2) = tan(3π/4) = −1, mientras que tan(π/4) = 1. El periodo es π.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) = \operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Sumar π es media vuelta: el seno y el coseno cambian de signo los dos y su cociente no cambia. Los dos valores son √3/3.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{tan} 89^{\circ} > 50$
A 89° el coseno es muy pequeño (cerca de 0,017) y el seno casi 1, así que la tangente es cerca de 57. Una recta de 89° es casi vertical: sube muchísimo por cada unidad que avanza.
¿Por qué la función tangente no está definida en x = π/2?
tan x = sen x / cos x, y en π/2 el denominador, cos(π/2), vale 0. El seno allí vale 1, no 0. La tangente sí está definida para ángulos no agudos, como 3π/4.
Reto
Une cada tangente con su valor.
Recuerda los ángulos notables y que en el segundo cuadrante la tangente es negativa.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda hay un valor distinto: por su signo o porque no es un número racional. Ubica cada ángulo en su cuadrante.
Cierre
En resumen
La tangente es tan x = sen x / cos x; en el círculo unitario es la pendiente del radio que llega al punto del ángulo x.
No está definida donde cos x = 0, en x = π/2 + kπ; allí la gráfica tiene asíntotas verticales.
Su periodo es π, porque media vuelta cambia el signo del seno y del coseno a la vez.
Su dominio son los reales menos π/2 + kπ, su rango son todos los reales y sus ceros están en x = kπ; no tiene amplitud.
La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ángulo de inclinación.
Vocabulario
- Tangente de x
El cociente sen x / cos x, definido cuando cos x es distinto de cero.
- Asíntota vertical
Recta vertical a la que la gráfica se acerca cada vez más sin tocarla nunca, mientras los valores de la función crecen o decrecen sin límite.
- Ángulo de inclinación
El ángulo que forma una recta con la parte positiva del eje x, medido en sentido contrario a las agujas del reloj, entre 0° y 180°.
- Periodo de la tangente
π: la tangente repite sus valores cada media vuelta.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre dos rampas dibujadas, una descrita por su ángulo y otra por su pendiente, y pregunte cuál es más empinada.
- Explicación · 15 min — La tangente como cociente y como pendiente del radio; la tabla con valores cerca de π/2 en la calculadora para que vean crecer la tangente. Luego el periodo y la relación con la pendiente.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el dominó y el intruso en grupo. Pida que justifiquen cada intruso con el cuadrante.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica en una frase por qué la gráfica de la tangente se rompe en π/2.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el periodo de la tangente es la mitad del periodo del seno?
- Si una calle tiene pendiente 1, ¿qué ángulo forma con la horizontal? ¿Y si la pendiente fuera 100?
- ¿Tiene amplitud la tangente? ¿Por qué no?
Errores típicos
- Creer que el periodo de la tangente es 2π, como el del seno. Compare en la gráfica el tramo de −π/2 a π/2 con el de π/2 a 3π/2.
- Unir los dos lados de una asíntota con una línea vertical. Calcule tan(1,57) y tan(1,58) para mostrar que la curva salta de valores muy grandes a muy negativos sin pasar por los intermedios.
- Confundir la pendiente con el ángulo, por ejemplo decir que una recta de 45° tiene pendiente 45. Dibuje la recta y = x y mida cuánto sube por cada unidad que avanza.
Tarea sugerida
Hacer la tabla de y = tan x para los ángulos notables entre −π/2 y π/2, dibujar la gráfica con sus asíntotas, y hallar el ángulo de inclinación de y = 0,5x y de y = −2x con la calculadora.