Ecuaciones trigonométricas
Lo que vas a aprender
- Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas en el intervalo [0; 2π) y entre 0° y 360°.
- Usar el ángulo de referencia y el signo de la razón para ubicar todas las soluciones de una vuelta.
- Escribir todas las soluciones reales de una ecuación usando el periodo.
- Reconocer cuándo una ecuación con seno o coseno no tiene solución.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección de modelos usaste una fórmula para calcular el nivel del agua de un puerto inventado a una hora dada. Muchas veces la pregunta es la contraria: ¿a qué hora el agua llega a cierto nivel? ¿En qué momentos una silla de la rueda de feria está a una altura dada? Responder esas preguntas es resolver una ecuación trigonométrica.
Estas ecuaciones tienen una sorpresa: como las funciones trigonométricas se repiten, si una ecuación tiene una solución, en general tiene infinitas. Aprender a encontrarlas todas sin perder ninguna es el objetivo de esta lección.
Antes de empezar necesitas tener a mano los valores de seno, coseno y tangente de $30°$, $45°$ y $60°$, y el signo de cada razón en los cuatro cuadrantes.
Explicación
Muchas soluciones
Piensa en la ecuación $\operatorname{sen} x = \tfrac{1}{2}$. En la gráfica, sus soluciones son los puntos donde la onda $y = \operatorname{sen} x$ corta la recta horizontal $y = \tfrac{1}{2}$. En una vuelta, de $0$ a $2\pi$, la onda la corta dos veces: una al subir y otra al bajar. Y como la onda se repite cada $2\pi$, los cortes se repiten en cada vuelta, hacia la derecha y hacia la izquierda. Por eso casi siempre se pide primero resolver la ecuación en una vuelta, en el intervalo $[0;\ 2\pi)$ o entre $0°$ y $360°$, y después, si hace falta, se escriben todas.
El método, paso a paso
- Despeja la razón. Con las operaciones de siempre, deja sola la razón: $\operatorname{sen} x = c$, $\cos x = c$ o $\tan x = c$.
- Revisa si hay solución. El seno y el coseno solo toman valores entre $-1$ y $1$. Si $c$ está fuera de ese intervalo, la ecuación no tiene solución. La tangente toma cualquier valor, así que con ella siempre hay solución.
- Busca el ángulo de referencia $\alpha$: el ángulo agudo cuya razón vale $|c|$, sin el signo. Con los valores de esta lección, es uno de los ángulos notables.
- Usa el signo para elegir los cuadrantes. El seno es positivo en el I y el II; el coseno, en el I y el IV; la tangente, en el I y el III. Con $c$ negativo se usan los otros dos cuadrantes.
- Escribe el ángulo de cada cuadrante a partir de $\alpha$:
| Cuadrante | En radianes | En grados |
|---|---|---|
| I | $\alpha$ | $\alpha$ |
| II | $\pi - \alpha$ | $180° - \alpha$ |
| III | $\pi + \alpha$ | $180° + \alpha$ |
| IV | $2\pi - \alpha$ | $360° - \alpha$ |
Con el seno o el coseno, si $c$ es $0$, $1$ o $-1$, el punto está sobre un eje y no hay ángulo de referencia: se lee directamente en el círculo. Por ejemplo, $\operatorname{sen} x = 1$ tiene una sola solución en una vuelta, $x = \tfrac{\pi}{2}$, porque el punto más alto del círculo es uno solo. Con la tangente, solo $c = 0$ cae sobre un eje ($x = 0$ y $x = \pi$); $\tan x = 1$ y $\tan x = -1$ tienen ángulo de referencia $\tfrac{\pi}{4}$, como cualquier otro valor.
Una buena costumbre es comprobar cada solución reemplazándola en la ecuación original: un error de cuadrante se descubre enseguida.
Ejemplo resuelto
Resolver 2 sen x = 1 en una vuelta
Resuelve $2\operatorname{sen} x = 1$ en el intervalo $[0;\ 2\pi)$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación.
$$2\operatorname{sen} x = 1$$
Despejamos el seno dividiendo entre 2. El valor está entre $-1$ y $1$, así que hay solución.
$$\operatorname{sen} x = \frac{1}{2}$$
El ángulo de referencia es $\tfrac{\pi}{6}$, porque $\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}$. El seno es positivo, así que buscamos en el I y en el II cuadrante: $x = \tfrac{\pi}{6}$ y $x = \pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}$.
En $[0;\ 2\pi)$ no hay más ángulos con seno $\tfrac{1}{2}$, así que la ecuación dice lo mismo que $\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) = 0$
Comprobamos la segunda solución en la ecuación original:
$$2\operatorname{sen}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 1$$
Conclusión: en una vuelta hay dos soluciones, $x = \tfrac{\pi}{6}$ y $x = \tfrac{5\pi}{6}$. Son los dos cortes de la onda con la recta $y = \tfrac{1}{2}$ que muestra la figura.
Respuesta: x = π/6 o x = 5π/6
La onda y = sen x corta la recta y = 1/2 dos veces en cada vuelta. En la primera vuelta, en π/6 y 5π/6; en la segunda, en 13π/6 y 17π/6, que son las anteriores más 2π.
La recta y = 1/2 corta el círculo en dos puntos. Gira P hasta cada uno: 30° y 150°, es decir π/6 y 5π/6, las dos soluciones de sen x = 1/2 en una vuelta.
Ejemplo resuelto
Una ecuación en grados
Resuelve $\operatorname{cos} x^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ para $x$ entre $0°$ y $360°$ (sin incluir $360°$).
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación. Ya está despejada.
$$\operatorname{cos} x^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
El ángulo de referencia es $45°$, porque $\cos 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$. El coseno es negativo, así que buscamos en el II y en el III cuadrante: $180° - 45° = 135°$ y $180° + 45° = 225°$. Así, entre $0°$ y $360°$, la ecuación dice lo mismo que $\left(x - 135\right)\left(x - 225\right) = 0$
Comprobamos el primero:
$$\operatorname{cos} 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Y el segundo:
$$\operatorname{cos} 225^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Cuidado: $315°$ tiene el mismo ángulo de referencia, pero está en el IV cuadrante, donde el coseno es positivo. No es solución.
$$\operatorname{cos} 315^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Respuesta: x = 135° o x = 225°
Todas las soluciones
Cuando se piden todas las soluciones reales, se toman las de una vuelta y se les suma el periodo tantas veces como se quiera, hacia adelante o hacia atrás. Con el seno y el coseno el periodo es $2\pi$, así que las soluciones de $2\operatorname{sen} x = 1$ son
$$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \qquad k \text{ entero}.$$
Con la tangente el periodo es $\pi$, y entonces las dos soluciones de una vuelta resultan ser una misma familia: la del III cuadrante es la del I más $\pi$. El siguiente ejemplo lo muestra.
Ejemplo resuelto
La tangente y la solución general
Resuelve $\operatorname{tan} x = \sqrt{3}$ en $[0;\ 2\pi)$ y escribe todas sus soluciones reales.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación.
$$\operatorname{tan} x = \sqrt{3}$$
El ángulo de referencia es $\tfrac{\pi}{3}$. La tangente es positiva en el I y en el III cuadrante: $\tfrac{\pi}{3}$ y $\pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3}$. En una vuelta, la ecuación equivale a $\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\left(x - \frac{4\pi}{3}\right) = 0$
Comprobamos la solución del III cuadrante:
$$\operatorname{tan}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$
Las dos soluciones se diferencian exactamente en $\pi$, el periodo de la tangente. Por eso todas las soluciones se escriben con una sola fórmula: $x = \tfrac{\pi}{3} + k\pi$, con $k$ entero. Por ejemplo, con $k = 5$:
$$\operatorname{tan}\left(\frac{\pi}{3} + 5\pi\right) = \sqrt{3}$$
Respuesta: En [0; 2π): x = π/3 o x = 4π/3. Todas: x = π/3 + kπ, con k entero.
La gráfica de y = tan x corta la recta y = √3 una vez en cada tramo entre asíntotas: en π/3 y en 4π/3 dentro de la primera vuelta. Los cortes están separados π.
Práctica
Resuelve $2\operatorname{cos} x + 1 = 0$ en $\left[0;\ 2\pi\right)$.
Despejando, cos x = −1/2. El ángulo de referencia es π/3 y el coseno es negativo en el II y el III cuadrante: π − π/3 = 2π/3 y π + π/3 = 4π/3. Las soluciones π/3 y 5π/3 serían las de cos x = 1/2.
Resuelve $\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$ en $\left[0;\ 2\pi\right)$.
El ángulo de referencia es π/6 y el seno es negativo en el III y el IV cuadrante: π + π/6 = 7π/6 y 2π − π/6 = 11π/6. 4π/3 y 5π/3 tienen seno −√3/2, no −1/2.
Resuelve $\operatorname{tan} x^{\circ} = 1$ para x entre 0° y 360°, sin incluir 360°.
La tangente es positiva en el I y el III cuadrante: 45° y 180° + 45° = 225°. Quedarse solo con 45° es olvidar que en una vuelta hay dos soluciones; 135° y 315° tienen tangente −1.
Resuelve $\operatorname{sen} x^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para x entre 0° y 360°, sin incluir 360°.
sen 60° = √3/2 y el seno es positivo en el I y el II cuadrante: 60° y 180° − 60° = 120°. 30° y 150° son las soluciones de sen x = 1/2; 300° y 240° tienen seno negativo.
¿Cuáles son las soluciones de $\operatorname{sen} x = 1$ en $\left[0;\ 2\pi\right)$?
El seno vale 1 solo en el punto más alto del círculo, que en una vuelta se alcanza una sola vez, en π/2. En 3π/2 el seno vale −1, y 5π/2 ya está en la segunda vuelta.
¿Qué valor de x en el intervalo $\left(0;\ \pi\right)$ cumple $\operatorname{tan} x = -1$?
La tangente es negativa en el II y el IV cuadrante. Entre 0 y π solo está el II: π − π/4 = 3π/4. Los ángulos −π/4 y 7π/4 también tienen tangente −1, pero no están en el intervalo.
¿Cuáles son las soluciones reales de $2\operatorname{cos} x = 3$?
Despejando, cos x = 3/2, que es mayor que 1. El coseno nunca pasa de 1, así que ningún ángulo cumple la ecuación.
Marca todas las opciones que son soluciones reales de $2\operatorname{sen} x$ = 1, aunque estén fuera de la primera vuelta.
Marca todas las que apliquen.
Las soluciones son π/6 + 2kπ y 5π/6 + 2kπ. 13π/6 = π/6 + 2π y 17π/6 = 5π/6 + 2π. Los ángulos 7π/6, −π/6 y 11π/6 tienen seno −1/2.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{cos}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
5π/4 está en el III cuadrante, con ángulo de referencia π/4, y allí el coseno es negativo. Por eso 5π/4 es una de las soluciones de cos x = −√2/2 en [0; 2π); la otra es 3π/4.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) = \frac{1}{2}$
Sumar π lleva al lado opuesto del círculo y cambia el signo del seno: sen(7π/6) = −1/2. Para repetir las soluciones del seno hay que sumar 2π, no π.
¿Por qué la ecuación sen x = 1/2 tiene infinitas soluciones reales?
La onda del seno se repite cada 2π, así que los dos cortes con la recta y = 1/2 de la primera vuelta se repiten en todas las demás. El seno solo toma valores entre −1 y 1. Las dos soluciones π/6 y 5π/6 son las de una sola vuelta.
Reto
Completa la resolución.
Primero despeja el coseno; luego usa el ángulo de referencia y los cuadrantes donde el coseno es positivo.
Reto
El signo decide el cuadrante.
En cada ronda, tres valores tienen el mismo signo y uno no. Ubica cada ángulo en su cuadrante: eso es lo que dice dónde buscar las soluciones de una ecuación.
Cierre
En resumen
Para resolver una ecuación trigonométrica se despeja la razón, se busca el ángulo de referencia y se usan los cuadrantes que corresponden al signo.
En una vuelta, los ángulos con referencia α son α, π − α, π + α y 2π − α (en grados, α, 180° − α, 180° + α y 360° − α).
Si sen x o cos x tienen que valer más de 1 o menos de −1, la ecuación no tiene solución.
Todas las soluciones reales se obtienen sumando múltiplos del periodo, 2π para el seno y el coseno, y π para la tangente.
Comprobar cada solución en la ecuación original descubre los errores de cuadrante.
Vocabulario
- Ecuación trigonométrica
Una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una razón trigonométrica, como 2 sen x = 1.
- Ángulo de referencia
El ángulo agudo que forma el lado terminal de un ángulo con el eje x. Ángulos con el mismo ángulo de referencia tienen razones iguales salvo por el signo.
- Solución general
La expresión que da todas las soluciones reales de una ecuación periódica, sumando múltiplos enteros del periodo a las soluciones de una vuelta.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte la gráfica de y = sen x con la recta y = 1/2 y pregunte cuántos cortes ven en una vuelta y cuántos habría si la gráfica siguiera.
- Explicación · 20 min — El método paso a paso con el círculo unitario dibujado; los tres ejemplos en el tablero, insistiendo en el paso de los cuadrantes. Luego la solución general.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas, una en radianes y otra en grados por turno. Los huecos y el intruso al final, en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una ecuación con seno que no tenga solución y otra que tenga exactamente una solución en [0; 2π).
Preguntas para el salón
- ¿Por qué sen x = 1/2 tiene dos soluciones en una vuelta, pero sen x = 1 tiene solo una?
- Si conocen una solución de cos x = c en el primer cuadrante, ¿cómo encuentran la otra sin calculadora?
- ¿Por qué con la tangente basta sumar π para obtener todas las soluciones?
Errores típicos
- Dar una sola solución por vuelta, la del primer cuadrante o la de la calculadora. Pida que señalen en la gráfica todos los cortes de la onda con la recta horizontal en [0; 2π).
- Elegir cuadrantes que no corresponden al signo, por ejemplo el IV para un seno positivo. Exija comprobar cada solución reemplazándola en la ecuación original.
- Sumar π a las soluciones del seno o del coseno para obtener las demás. Calcule sen(π/6 + π) y muestre que da −1/2, no 1/2.
- Mezclar grados y radianes en la misma respuesta. Pida que escriban primero en qué unidad está el intervalo pedido y que respondan en esa unidad.
Tarea sugerida
Resolver en [0; 2π) las ecuaciones 2 sen x = −√3, √2 cos x = 1 y tan x = −√3/3; resolver entre 0° y 360° la ecuación 2 cos x = −1, y escribir la solución general de una de ellas.