Distancia y punto medio

¿Para qué sirve esto?

Imagina que el consejo estudiantil dibuja el barrio sobre una cuadrícula para planear una jornada de reciclaje. Cada casa, la tienda y el parque quedan marcados con un par de coordenadas. Enseguida aparecen preguntas como estas: ¿qué tan lejos queda la tienda del parque en línea recta? ¿Dónde conviene poner el punto de encuentro para que quede justo en la mitad entre dos casas? ¿Qué lugares están a la misma distancia de dos colegios?

Para responderlas no hace falta salir con una cinta métrica: basta con las coordenadas. En esta lección vas a calcular distancias y puntos medios con fórmulas que salen del teorema de Pitágoras, y vas a conocer una idea que te acompañará en toda la unidad: el lugar geométrico, el conjunto de puntos que cumplen una condición.

Antes de empezar repasa el teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$ en un triángulo rectángulo de hipotenusa $c$) y cómo se calcula la pendiente de una recta.

La distancia entre dos puntos

Toma dos puntos $A(x_1;\ y_1)$ y $B(x_2;\ y_2)$ que no estén en la misma recta horizontal ni en la misma vertical. Si desde $A$ te mueves en horizontal y desde $B$ en vertical, los dos caminos se encuentran en el punto $C(x_2;\ y_1)$, y se forma un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $C$.

• El cateto horizontal mide $|x_2 - x_1|$: lo que cambia la abscisa.
• El cateto vertical mide $|y_2 - y_1|$: lo que cambia la ordenada.
• La hipotenusa es justo el segmento $AB$.

Por el teorema de Pitágoras, y como un número al cuadrado no cambia si le quitas el valor absoluto,

$$d(A,\ B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

Tres observaciones que ahorran errores:

1. El orden no importa. $(x_2 - x_1)^2$ y $(x_1 - x_2)^2$ dan lo mismo, porque un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado.
2. Cuidado con los signos. Si una coordenada es negativa, la resta se vuelve suma: de $-3$ a $7$ hay $7 - (-3) = 10$ unidades.
3. La raíz no se reparte. $\sqrt{a^2 + b^2}$ no es $a + b$. Primero se suman los cuadrados y al final se saca la raíz.

Si los dos puntos están en la misma horizontal, la fórmula se reduce a $|x_2 - x_1|$, y si están en la misma vertical, a $|y_2 - y_1|$: la fórmula sirve en todos los casos.

El punto medio de un segmento

El punto medio $M$ del segmento $AB$ está en el segmento y a la misma distancia de los dos extremos. Sus coordenadas son los promedios de las coordenadas de $A$ y de $B$:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$$

Tiene sentido: para ir de $A$ a $B$ la abscisa cambia $x_2 - x_1$; a mitad de camino ha cambiado la mitad, y $x_1 + \dfrac{x_2 - x_1}{2} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. Lo mismo pasa con la ordenada. Un error frecuente es restar en lugar de sumar: la resta es para la distancia, la suma es para el punto medio.

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una condición, y solo de ellos. Por ejemplo, los puntos que están a distancia $3$ del origen forman una circunferencia; los puntos con ordenada igual a su abscisa forman la recta $y = x$. Para hallar la ecuación de un lugar geométrico se llama $P(x;\ y)$ a un punto cualquiera, se escribe la condición con coordenadas y se simplifica.

La mediatriz

La mediatriz del segmento $AB$ es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$. Resulta ser una recta: la perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio. Si escribes la condición $d(P,\ A) = d(P,\ B)$ y elevas al cuadrado los dos lados, los términos $x^2$ y $y^2$ se cancelan y queda la ecuación de una recta. Para comprobar el resultado hay dos pruebas rápidas: el punto medio tiene que estar sobre ella, y su pendiente multiplicada por la de $AB$ tiene que dar $-1$. La segunda prueba no sirve cuando $AB$ es horizontal o vertical, porque una de las dos pendientes no existe: si $AB$ es horizontal, la mediatriz es la recta vertical $x = $ abscisa del punto medio, y si $AB$ es vertical, es la horizontal $y = $ ordenada del punto medio.

En resumen

• La distancia entre (x₁; y₁) y (x₂; y₂) es √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); sale del teorema de Pitágoras y el orden de los puntos no importa.

• El punto medio de un segmento tiene por coordenadas los promedios de las coordenadas de los extremos.

• Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición; su ecuación sale de escribir esa condición con P(x; y).

• La mediatriz de AB es el lugar de los puntos que equidistan de A y de B; es la perpendicular a AB por su punto medio.

Vocabulario

Distancia entre dos puntos

Longitud del segmento que los une. Para (x₁; y₁) y (x₂; y₂) es √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Punto medio

Punto del segmento que está a la misma distancia de sus dos extremos. Sus coordenadas son los promedios de las coordenadas de los extremos.

Lugar geométrico

Conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una condición dada, y solo de ellos.

Mediatriz

Lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de los dos extremos de un segmento. Es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.