La circunferencia
Lo que vas a aprender
- Escribir la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio.
- Pasar de la forma general a la forma canónica completando cuadrados, y leer el centro y el radio.
- Decidir si un punto está dentro, sobre o fuera de una circunferencia.
- Dibujar una circunferencia como dos semicircunferencias, con el intervalo de valores de x que le corresponde.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una emisora escolar instala una antena en el patio y quiere saber qué casas del barrio alcanzan a oír la señal, que llega hasta cierta distancia. Una regadora giratoria moja el césped hasta cierto alcance: ¿qué plantas quedan mojadas y cuáles se quedan secas? En los dos casos, la frontera entre «sí llega» y «no llega» es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo: una circunferencia.
En esta lección vas a convertir esa idea en una ecuación. Con ella podrás decidir, haciendo una cuenta, si un punto queda dentro, sobre o fuera; podrás reconocer una circunferencia aunque su ecuación venga «desordenada», y podrás dibujarla en un graficador.
Antes de empezar recuerda la fórmula de la distancia entre dos puntos y el cuadrado de un binomio: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Explicación
La circunferencia como lugar geométrico
La circunferencia de centro $C(h;\ k)$ y radio $r > 0$ es el lugar geométrico de los puntos $P(x;\ y)$ del plano cuya distancia a $C$ es exactamente $r$. Escribimos esa condición con la fórmula de la distancia:
$$\sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r.$$
Como los dos lados son positivos, podemos elevar al cuadrado sin ganar ni perder puntos, y llegamos a la forma canónica:
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$$
Cuando el centro es el origen queda $x^2 + y^2 = r^2$. Fíjate en los signos: en $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ el centro es $(3;\ -2)$, porque $y + 2 = y - (-2)$. Y el número de la derecha es $r^2$, no $r$: aquí el radio es $5$.
La forma general y cómo volver
Si desarrollamos los cuadrados de la forma canónica y pasamos todo a la izquierda, queda la forma general
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0.$$
En ella ya no se ven el centro ni el radio. Para recuperarlos se completan cuadrados: se agrupan los términos en $x$ y los términos en $y$, y a cada grupo se le suma el cuadrado de la mitad de su coeficiente (y se resta ese mismo número para no cambiar la expresión). Por ejemplo, $x^2 - 6x$ se completa con $9$, porque $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Dos señales de que una ecuación de segundo grado puede ser una circunferencia: $x^2$ y $y^2$ tienen el mismo coeficiente y no aparece el término $xy$. Pero eso no basta. Al completar cuadrados puede quedar a la derecha un número negativo, y como una suma de cuadrados nunca es negativa, ningún punto cumple la ecuación. Si queda cero, solo la cumple el centro. Solo hay circunferencia cuando lo de la derecha es positivo.
Dentro, sobre o fuera
Para saber dónde queda un punto $P(x_0;\ y_0)$ basta con comparar su distancia al centro con el radio, o, lo que es lo mismo y más rápido, comparar $(x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2$ con $r^2$:
- si es menor que $r^2$, el punto está dentro;
- si es igual, está sobre la circunferencia;
- si es mayor, está fuera.
Dibujarla en un graficador
Una circunferencia no es la gráfica de una función: a un mismo valor de $x$ le corresponden dos puntos, uno arriba y otro abajo. Si despejas $y$ en la forma canónica, obtienes dos funciones, la semicircunferencia superior y la inferior:
$$y = k + \sqrt{r^2 - (x - h)^2} \qquad\text{y}\qquad y = k - \sqrt{r^2 - (x - h)^2}.$$
Las dos solo existen cuando lo de dentro de la raíz no es negativo, es decir, para $h - r \le x \le h + r$. Ese es el rango de variación que hay que darle a $x$ para que el graficador dibuje la circunferencia completa.
Ejemplo resuelto
La ecuación a partir del centro y un punto
Una circunferencia tiene centro $C(2;\ -1)$ y pasa por el punto $P(5;\ 3)$. Escribe su ecuación en forma canónica y en forma general.
Ver la solución paso a paso
El radio es la distancia del centro al punto:
$$\sqrt{\left(5 - 2\right)^{2} + \left(3 - \left(-1\right)\right)^{2}}$$
Calculamos los cuadrados.
$$\sqrt{9 + 16}$$
Sumamos.
$$\sqrt{25}$$
El radio es $5$, y por tanto $r^2 = 25$.
$$5$$
Con h = 2, k = −1 y r² = 25, la forma canónica es:
$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = 25$$
Para la forma general pasamos el 25 a la izquierda, y la ecuación queda $\left(x - 2\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} - 25$ $= 0$. Trabajamos con ese lado izquierdo, que vale 0, y desarrollamos los cuadrados.
Cada binomio al cuadrado da un trinomio: $x^{2} - 4x + 4 + y^{2} + 2y + 1 - 25$ $= 0$.
Ordenamos y reducimos los números: $x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 20$ $= 0$.
Comprobación: el punto P cumple la forma general.
$$5^{2} + 3^{2} - 4 \cdot 5 + 2 \cdot 3 - 20 = 0$$
Respuesta: Forma canónica: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$. Forma general: $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$.
Ejemplo resuelto
Completar cuadrados para hallar centro y radio
Halla el centro y el radio de la circunferencia $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la forma general:
$$x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$$
Trabajamos con el lado izquierdo, que vale 0, y agrupamos primero los términos en x y luego los términos en y:
$$x^{2} - 6x + y^{2} + 4y - 12$$
La mitad de $-6$ es $-3$, y su cuadrado es $9$; la mitad de $4$ es $2$, y su cuadrado es $4$. Sumamos y restamos esos números para no cambiar la expresión:
$$x^{2} - 6x + 9 - 9 + y^{2} + 4y + 4 - 4 - 12$$
Cada trinomio es un cuadrado perfecto, y $-9 - 4 - 12 = -25$:
$$\left(x - 3\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} - 25$$
Como esa expresión vale 0, pasamos el 25 al otro lado y queda la forma canónica:
$$\left(x - 3\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} = 25$$
El centro es $(3;\ -2)$ y el radio es $\sqrt{25} = 5$. Comprobación: el punto $(6;\ 2)$ cumple la forma canónica,
$$\left(6 - 3\right)^{2} + \left(2 + 2\right)^{2} = 25$$
y también la ecuación del enunciado:
$$6^{2} + 2^{2} - 6 \cdot 6 + 4 \cdot 2 - 12 = 0$$
Respuesta: Centro $(3;\ -2)$ y radio $5$.
Ejemplo resuelto
¿Dentro, sobre o fuera?
Para la circunferencia $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, decide si los puntos $A(1;\ 0)$, $B(6;\ 2)$ y $D(8;\ 3)$ están dentro, sobre o fuera.
Ver la solución paso a paso
Para $A$: $(1 - 3)^2 + (0 + 2)^2 = 4 + 4 = 8$, que es menor que $25$. El punto $A$ está dentro.
$$\left(1 - 3\right)^{2} + \left(0 + 2\right)^{2} < 25$$
Para $B$: $9 + 16 = 25$. El punto $B$ está sobre la circunferencia.
$$\left(6 - 3\right)^{2} + \left(2 + 2\right)^{2} = 25$$
Para $D$: $25 + 25 = 50$, que es mayor que $25$. El punto $D$ está fuera.
$$\left(8 - 3\right)^{2} + \left(3 + 2\right)^{2} > 25$$
Respuesta: $A$ está dentro, $B$ está sobre la circunferencia y $D$ está fuera.
La circunferencia (x − 3)² + (y + 2)² = 25, de centro (3; −2) y radio 5, dibujada como dos semicircunferencias con x entre −2 y 8. El punto (1; 0) queda dentro, (6; 2) sobre la curva y (8; 3) fuera.
Ejemplo resuelto
Una ecuación que no es una circunferencia
¿Representa una circunferencia la ecuación $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 9 = 0$?
Ver la solución paso a paso
Tiene el mismo coeficiente en x² y en y², y no tiene término xy. Parece una circunferencia, pero hay que completar cuadrados:
$$x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 9 = 0$$
Tomamos el lado izquierdo y agrupamos.
$$x^{2} - 2x + y^{2} + 4y + 9$$
Sumamos y restamos 1 para la x y 4 para la y.
$$x^{2} - 2x + 1 - 1 + y^{2} + 4y + 4 - 4 + 9$$
Factorizamos los trinomios; los números quedan en $-1 - 4 + 9 = 4$.
$$\left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} + 4$$
Igualar a 0 esta expresión es pedir que $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = -4$. Una suma de cuadrados nunca es negativa, así que ningún punto cumple la ecuación: no es una circunferencia.
Respuesta: No. Equivale a $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = -4$, que no tiene ningún punto.
Práctica
¿Cuál es el centro de la circunferencia $\left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 4\right)^{2} = 9$?
x + 1 = x − (−1) y y − 4 = y − 4, así que h = −1 y k = 4. El centro es (−1; 4): los signos del centro son los contrarios de los que se ven en los paréntesis.
¿Cuál es el radio de la circunferencia $\left(x - 5\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} = 49$?
El número de la derecha es r² = 49, así que r = √49 = 7. Responder 49 es confundir r² con r.
¿Cuál es el centro de la circunferencia $x^{2} + y^{2} - 10x + 6y + 18 = 0$?
x² − 10x se completa con 25 y y² + 6y con 9: (x − 5)² + (y + 3)² = 25 + 9 − 18 = 16. El centro es (5; −3) y el radio 4. El centro es la mitad de los coeficientes con el signo cambiado.
¿Cuál es el radio de la circunferencia $x^{2} + y^{2} + 8x - 2y - 8 = 0$?
Completamos: x² + 8x + 16 y y² − 2y + 1. Queda (x + 4)² + (y − 1)² = 8 + 16 + 1 = 25, así que el radio es 5.
¿Verdadero o falso? El punto $\left(4;\ 1\right)$ está sobre la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 17$.
4² + 1² = 16 + 1 = 17. El punto cumple la ecuación, así que está a distancia √17 del origen, sobre la circunferencia.
¿Verdadero o falso? El punto $\left(-1;\ 2\right)$ está dentro de la circunferencia $\left(x - 3\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} = 25$.
(−1 − 3)² + (2 + 2)² = 16 + 16 = 32, que es mayor que 25. La distancia al centro es √32 ≈ 5,66, más que el radio 5: el punto está fuera.
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro $\left(2;\ -5\right)$ y radio 4?
Con h = 2 y k = −5: (x − 2)² + (y − (−5))² = 4², es decir, (x − 2)² + (y + 5)² = 16. A la derecha va r², no r.
Los puntos $\left(-1;\ 2\right)$ y $\left(7;\ 8\right)$ son los extremos de un diámetro de una circunferencia. ¿Cuál es su radio?
El diámetro mide √(8² + 6²) = √100 = 10, y el radio es la mitad: 5. El centro es el punto medio del diámetro, (3; 5).
Una circunferencia tiene centro $\left(-3;\ 1\right)$ y pasa por $\left(3;\ 9\right)$. En su ecuación (x − h)² + (y − k)² = r², ¿cuánto vale r²?
r² = (3 − (−3))² + (9 − 1)² = 36 + 64 = 100. No hace falta sacar la raíz: en la ecuación va r² = 100 (el radio es 10).
Para dibujar la circunferencia $\left(x + 4\right)^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = 36$ con dos semicircunferencias, hay que darle a x valores entre h − r y h + r. ¿Cuál es el mayor valor de x?
El centro es (−4; 1) y el radio √36 = 6. La x va de −4 − 6 = −10 a −4 + 6 = 2. Fuera de ese intervalo, r² − (x − h)² es negativo y la raíz no existe.
Al completar cuadrados en una ecuación se llega a (x − 1)² + (y + 2)² = −4. ¿Qué representa esa ecuación?
La suma de dos cuadrados nunca es negativa, así que no hay ningún par (x; y) que la haga igual a −4. Si a la derecha quedara 0, solo la cumpliría el centro (1; −2).
Reto
Une cada forma general con la misma expresión con los cuadrados completos.
Completa cuadrados en la expresión de la izquierda y busca su pareja. Cada pareja es la misma expresión escrita de dos formas.
Reto
Abre el candado de las circunferencias.
Cada respuesta es una cifra del código.
Cierre
En resumen
La circunferencia de centro (h; k) y radio r es el lugar de los puntos a distancia r del centro, y su ecuación es (x − h)² + (y − k)² = r².
Al desarrollar se obtiene la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0; completando cuadrados se vuelve a la forma canónica.
Si al completar cuadrados queda a la derecha un número negativo no hay ningún punto, y si queda cero solo está el centro.
Un punto está dentro, sobre o fuera según (x₀ − h)² + (y₀ − k)² sea menor, igual o mayor que r².
En un graficador se dibuja con las semicircunferencias y = k ± √(r² − (x − h)²), con x entre h − r y h + r.
Vocabulario
- Circunferencia
Lugar geométrico de los puntos del plano que están a una misma distancia r > 0 de un punto fijo, el centro.
- Radio
La distancia fija r entre el centro y cada punto de la circunferencia.
- Forma canónica
La ecuación (x − h)² + (y − k)² = r², en la que se leen el centro (h; k) y el radio r.
- Forma general
La ecuación x² + y² + Dx + Ey + F = 0, que se obtiene al desarrollar la forma canónica.
- Completar cuadrados
Sumar y restar el número que convierte una expresión como x² + bx en un trinomio cuadrado perfecto: x² + bx + (b/2)².
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué puntos del patio están a 3 m de un poste y pida a varios estudiantes que se ubiquen así; el grupo verá que forman una circunferencia.
- Explicación · 15 min — Deduzca la forma canónica con la fórmula de la distancia; luego el paso a la forma general y el regreso completando cuadrados con el segundo ejemplo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El dominó y el candado se pueden resolver en grupo; en el dominó, pida que cada pareja complete los cuadrados en el tablero.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante invente una circunferencia, escriba su forma general y se la pase a un compañero para que halle el centro y el radio.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el centro de (x + 1)² + (y − 4)² = 9 tiene abscisa −1 y no 1?
- ¿Qué pasa con la ecuación si el radio fuera 0? ¿Sigue siendo una circunferencia?
- ¿Por qué una circunferencia no es la gráfica de una función? ¿Cómo lo resuelve el graficador?
Errores típicos
- Tomar como radio el número de la derecha sin sacarle la raíz. Pida escribir siempre «r² = …» antes de dar el radio.
- Leer el centro con los signos que se ven: en (x + 1)² tomar h = 1. Pida reescribir cada paréntesis como x − h: x + 1 = x − (−1).
- Al completar cuadrados, sumar el número sin restarlo, o sumarlo solo a un lado. Insista en que sumar y restar el mismo número no cambia la expresión, y pida comprobar con un punto que cumpla las dos ecuaciones.
Tarea sugerida
Hallar el centro y el radio de x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0 y de x² + y² − 8y = 0, dibujar las dos con sus semicircunferencias y decidir si el punto (1; 1) está dentro, sobre o fuera de cada una.