La parábola como lugar geométrico

¿Para qué sirve esto?

Las antenas de televisión satelital, los hornos solares de las ferias de ciencia y los reflectores de las linternas tienen algo en común: si los cortas por la mitad, el borde dibuja una parábola. No es por estética. La parábola tiene un punto especial, el foco, con una propiedad que parece magia: los rayos que llegan paralelos al eje rebotan en la superficie y pasan todos por el foco. Por eso el receptor de la antena va justo ahí, y por eso el bombillo de una linterna, puesto en el foco, produce un haz de rayos paralelos.

Ya conoces la parábola como la gráfica de $y = ax^2 + bx + c$. En esta lección vas a verla de otra manera, como un lugar geométrico, y esa mirada te dirá exactamente dónde está el foco.

Antes de empezar repasa la fórmula de la distancia y cómo se completan cuadrados.

La definición

Fija un punto $F$, el foco, y una recta $d$ que no pase por él, la directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos $P$ del plano que están a la misma distancia de $F$ y de $d$. La distancia de un punto a una recta se mide siempre en perpendicular.

Dos elementos salen de inmediato. El eje es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz; la parábola es simétrica respecto a él. El vértice es el punto de la parábola que está sobre el eje, y queda en la mitad entre el foco y la directriz. A la distancia del vértice al foco (con signo) la llamamos $p$.

La ecuación con vértice en el origen

Pon el vértice en el origen y el foco en $F(0;\ p)$. Como el vértice está en la mitad, la directriz es la recta horizontal $y = -p$. Para un punto $P(x;\ y)$:

• su distancia al foco es $\sqrt{x^2 + (y - p)^2}$;
• su distancia a la directriz es $|y + p|$.

Igualamos y elevamos al cuadrado: $x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2$. Los términos $y^2$ y $p^2$ se cancelan, y queda

$$x^2 = 4py.$$

Si $p > 0$, el foco está arriba del vértice y la parábola abre hacia arriba; si $p < 0$, abre hacia abajo. Cuanto más grande es $|p|$, más abierta es la parábola: a la altura del foco mide $4|p|$ de lado a lado.

Parábolas trasladadas y parábolas horizontales

Si el vértice está en $(h;\ k)$ y el eje es vertical, la ecuación es

$$(x - h)^2 = 4p(y - k),$$

con foco $(h;\ k + p)$, directriz $y = k - p$ y eje $x = h$.

Si el eje es horizontal, se intercambian los papeles de $x$ y de $y$:

$$(y - k)^2 = 4p(x - h),$$

con foco $(h + p;\ k)$, directriz $x = h - p$ y eje $y = k$. Si $p > 0$ abre hacia la derecha, y si $p < 0$, hacia la izquierda.

Una manera de no confundirse: la variable que está al cuadrado es la que se mueve a los dos lados del eje; la que no está al cuadrado indica hacia dónde abre.

Graficarla

Una parábola de eje vertical es una función: de $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ se despeja $y = k + \dfrac{(x - h)^2}{4p}$. Una de eje horizontal no lo es, y se dibuja como dos ramas, $y = k + \sqrt{4p(x - h)}$ y $y = k - \sqrt{4p(x - h)}$, que solo existen cuando $4p(x - h) \ge 0$. Si abre a la derecha, $x$ varía desde $h$ en adelante.

La propiedad del foco

Un rayo que llega paralelo al eje se refleja en la parábola y pasa por el foco; y al revés, lo que sale del foco se refleja en rayos paralelos al eje. En una antena el receptor va en el foco, en un horno solar va la olla, y en un faro o una linterna va el bombillo. Para diseñar uno de esos objetos basta con conocer la ecuación del corte y calcular $p$.

En resumen

• La parábola es el lugar de los puntos que están a la misma distancia de un foco y de una directriz; el vértice queda en la mitad entre los dos.

• Con vértice (h; k) y eje vertical, (x − h)² = 4p(y − k), foco (h; k + p) y directriz y = k − p; abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0.

• Con eje horizontal, (y − k)² = 4p(x − h), foco (h + p; k) y directriz x = h − p; abre hacia la derecha si p > 0 y hacia la izquierda si p < 0.

• Si la ecuación viene desarrollada, se completa el cuadrado de la variable que está al cuadrado.

• Lo que llega paralelo al eje se refleja hacia el foco, y lo que sale del foco se refleja paralelo al eje; esa es la idea de las antenas y los faros.

Vocabulario

Parábola

Lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo, el foco, y de una recta fija que no pasa por él, la directriz.

Foco

El punto fijo de la definición de la parábola.

Directriz

La recta fija de la definición de la parábola.

Vértice

El punto de la parábola más cercano a la directriz. Está en la mitad entre el foco y la directriz.

Eje de la parábola

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. La parábola es simétrica respecto a ella.