La elipse y la hipérbola
Lo que vas a aprender
- Explicar la elipse por la suma de distancias a los focos y la hipérbola por la diferencia de distancias.
- Hallar vértices y focos de una elipse o de una hipérbola centradas en el origen, usando c² = a² − b² en la elipse y c² = a² + b² en la hipérbola.
- Escribir la ecuación canónica a partir de los vértices y los focos.
- Hallar las asíntotas de una hipérbola y los valores de x con los que se dibujan las dos curvas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Clava dos puntillas en una tabla, amarra a ellas los extremos de una cuerda más larga que la distancia entre las puntillas y, con un lápiz, tensa la cuerda y da la vuelta. Lo que dibujas no es una circunferencia: es una elipse. Los jardineros la usan para trazar prados ovalados, y es la forma que aparece cuando inclinas un vaso con agua y miras la superficie.
La hipérbola es su pariente: en lugar de sumar las distancias a las dos puntillas, las resta. Aparece, por ejemplo, en sistemas de ubicación que comparan cuánto tarda una señal en llegar desde dos antenas: los puntos con la misma diferencia de tiempos forman una hipérbola.
Con la circunferencia y la parábola, estas dos curvas completan las cónicas. En esta lección vas a conocer sus ecuaciones cuando están centradas en el origen.
Antes de empezar repasa la fórmula de la distancia y el teorema de Pitágoras.
Explicación
La elipse
Sean $F_1$ y $F_2$ dos puntos, los focos, separados una distancia $2c$, y sea $2a$ un número mayor que $2c$. La elipse es el lugar geométrico de los puntos $P$ del plano que cumplen
$$d(P,\ F_1) + d(P,\ F_2) = 2a.$$
La cuerda del jardinero mide justamente $2a$. Pon el centro en el origen y los focos en $(-c;\ 0)$ y $(c;\ 0)$.
- Los vértices son los puntos de la elipse sobre el eje $x$: $(\pm a;\ 0)$. En el vértice $(a;\ 0)$ las distancias son $a - c$ y $a + c$, que suman $2a$.
- En el punto $(0;\ b)$ del eje $y$, los dos focos están a la misma distancia, así que cada distancia vale $a$. El triángulo con vértices en el centro, en $(0;\ b)$ y en un foco es rectángulo, con catetos $b$ y $c$ e hipotenusa $a$. Por Pitágoras, $b^2 + c^2 = a^2$, es decir,
$$c^2 = a^2 - b^2.$$
Con esos datos, la ecuación de la elipse es
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0.$$
El segmento entre los vértices es el eje mayor, de longitud $2a$, y el que une $(0;\ b)$ con $(0;\ -b)$ es el eje menor, de longitud $2b$. Si el denominador mayor está debajo de $y^2$, la elipse es «vertical»: los vértices y los focos están sobre el eje $y$, en $(0;\ \pm a)$ y $(0;\ \pm c)$. Regla práctica: $a^2$ es siempre el denominador mayor.
Si los dos denominadores son iguales, $c = 0$: los focos coinciden en el centro y la elipse es una circunferencia.
La hipérbola
Ahora sea $2a$ un número menor que la distancia $2c$ entre los focos, pero positivo. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos $P$ que cumplen
$$|d(P,\ F_1) - d(P,\ F_2)| = 2a.$$
El valor absoluto hace que haya dos ramas: en una, el punto está más cerca de $F_2$; en la otra, más cerca de $F_1$. Con los focos en $(\pm c;\ 0)$, la ecuación es
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad\text{con}\qquad c^2 = a^2 + b^2.$$
Fíjate en la diferencia de signo con la elipse. La relación $c^2 = a^2 + b^2$ se puede demostrar a partir de la definición; para recordarla, dibuja el rectángulo de lados $2a$ y $2b$ centrado en el origen. Sus diagonales están sobre las asíntotas y miden $2c$: en el triángulo que va del centro a $(a;\ 0)$ y de ahí a $(a;\ b)$, los catetos son $a$ y $b$, y la hipotenusa es $c$. Por eso, en la hipérbola, los focos están más lejos del centro que los vértices. Tampoco hace falta que $a$ sea mayor que $b$: $a^2$ es el denominador del término positivo.
- Los vértices son $(\pm a;\ 0)$ y los focos $(\pm c;\ 0)$.
- Las ramas se acercan cada vez más a dos rectas por el centro, las asíntotas, $y = \pm\dfrac{b}{a}x$, sin tocarlas nunca.
- Si el término positivo es el de $y$, como en $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$, las ramas abren hacia arriba y hacia abajo, los focos están en $(0;\ \pm c)$ y las asíntotas son $y = \pm\dfrac{a}{b}x$.
Rangos de variación para graficar
Ninguna de las dos curvas es una función, así que se dibujan por partes. En la elipse se despeja $y = \pm b\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}}$, con $x$ entre $-a$ y $a$. En la hipérbola, $y = \pm b\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2} - 1}$, que solo existe si $|x| \ge a$: entre los dos vértices no hay ningún punto. Cada signo dibuja la mitad de arriba (o la de abajo) de las dos ramas. En la hipérbola vertical $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ pasa al revés: se despeja $y = \pm a\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{b^2}}$, que existe para todo $x$, y lo que se restringe es $y$, con $|y| \ge a$; el signo $+$ dibuja la rama de arriba y el $-$ la de abajo.
Ejemplo resuelto
Vértices y focos de una elipse
Halla los vértices y los focos de la elipse $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, y comprueba la definición con el punto $P\left(3;\ \tfrac{12}{5}\right)$.
Ver la solución paso a paso
El denominador mayor, $25$, está debajo de $x^2$: la elipse es horizontal y $a^2 = 25$.
$$\sqrt{25}$$
Los vértices son $(\pm 5;\ 0)$.
$$5$$
Con $b^2 = 9$:
$$\sqrt{9}$$
El eje menor va de $(0;\ -3)$ a $(0;\ 3)$.
$$3$$
En la elipse, $c^2 = a^2 - b^2$:
$$\sqrt{25 - 9}$$
Restamos.
$$\sqrt{16}$$
Los focos son $(\pm 4;\ 0)$, más cerca del centro que los vértices, como debe ser.
$$4$$
Comprobación. El punto $P$ está sobre la elipse:
$$\frac{3^{2}}{25} + \frac{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}{9} = 1$$
Su distancia al foco $(4;\ 0)$ es
$$\sqrt{\left(3 - 4\right)^{2} + \left(\frac{12}{5}\right)^{2}} = \frac{13}{5}$$
y su distancia al foco $(-4;\ 0)$ es
$$\sqrt{\left(3 + 4\right)^{2} + \left(\frac{12}{5}\right)^{2}} = \frac{37}{5}$$
La suma es $10$, igual a $2a$:
$$\frac{13}{5} + \frac{37}{5} = 2 \cdot 5$$
Respuesta: Vértices $(\pm 5;\ 0)$ y focos $(\pm 4;\ 0)$.
La elipse x²/25 + y²/9 = 1, dibujada con dos semicurvas para x entre −5 y 5. Vértices (±5; 0), extremos del eje menor (0; ±3) y focos (±4; 0). Desde P(3; 12/5) las distancias a los focos suman 10.
Ejemplo resuelto
La ecuación de una elipse vertical
Una elipse con centro en el origen tiene vértices $(0;\ \pm 13)$ y focos $(0;\ \pm 5)$. Escribe su ecuación.
Ver la solución paso a paso
Los vértices y los focos están sobre el eje $y$: la elipse es vertical, con $a = 13$ y $c = 5$. Despejamos $b^2$ de $c^2 = a^2 - b^2$, es decir, $b^2 = a^2 - c^2$:
$$13^{2} - 5^{2}$$
Calculamos los cuadrados.
$$169 - 25$$
Así que $b^2 = 144$ y $b = 12$.
$$144$$
Como es vertical, el denominador mayor, $a^2 = 169$, va debajo de $y^2$:
$$\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{169} = 1$$
Comprobación: el punto $(12;\ 0)$, extremo del eje menor, cumple la ecuación,
$$\frac{12^{2}}{144} + \frac{0^{2}}{169} = 1$$
y el vértice $(0;\ 13)$ también:
$$\frac{0^{2}}{144} + \frac{13^{2}}{169} = 1$$
Respuesta: $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{169} = 1$
Ejemplo resuelto
Focos y asíntotas de una hipérbola
Halla los vértices, los focos y las asíntotas de la hipérbola $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$, y comprueba la definición con el punto $P\left(-\tfrac{20}{3};\ 4\right)$.
Ver la solución paso a paso
El término positivo es el de $x^2$, así que las ramas abren a la izquierda y a la derecha, con $a^2 = 16$ y $b^2 = 9$:
$$\sqrt{16}$$
Los vértices son $(\pm 4;\ 0)$, y $b = 3$.
$$4$$
En la hipérbola, $c^2 = a^2 + b^2$:
$$\sqrt{16 + 9}$$
Sumamos.
$$\sqrt{25}$$
Los focos son $(\pm 5;\ 0)$, más lejos del centro que los vértices.
$$5$$
Las asíntotas son $y = \pm\dfrac{b}{a}x$, con pendiente
$$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$$
Simplificamos.
$$\frac{3}{4}$$
Comprobación. El punto $P$ está sobre la hipérbola:
$$\frac{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}}{16} - \frac{4^{2}}{9} = 1$$
Está en la rama de la izquierda. Su distancia al foco $(5;\ 0)$ es
$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3} - 5\right)^{2} + 4^{2}} = \frac{37}{3}$$
y su distancia al foco $(-5;\ 0)$ es
$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3} + 5\right)^{2} + 4^{2}} = \frac{13}{3}$$
La diferencia es $8 = 2a$:
$$\frac{37}{3} - \frac{13}{3} = 2 \cdot 4$$
Respuesta: Vértices $(\pm 4;\ 0)$, focos $(\pm 5;\ 0)$ y asíntotas $y = \tfrac{3}{4}x$ y $y = -\tfrac{3}{4}x$.
La hipérbola x²/16 − y²/9 = 1, dibujada con y = ±(3/4)√(x² − 16), que solo existe para |x| ≥ 4. Las líneas punteadas son las asíntotas y = 3x/4 y y = −3x/4. Vértices (±4; 0) y focos F₁(−5; 0) y F₂(5; 0). Desde P(−20/3; 4) la diferencia de las distancias a los focos es 8.
Práctica
¿A qué distancia del centro están los focos de la elipse $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$?
a² = 100 y b² = 36. En la elipse c² = a² − b² = 64, así que c = 8 y los focos son (±8; 0).
¿Cuál es el foco de abscisa positiva de la hipérbola $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$?
En la hipérbola c² = a² + b² = 9 + 16 = 25, así que c = 5 y el foco es (5; 0). Restando, 16 − 9 = 7, saldría √7; pero restar es la relación de la elipse. Y (3; 0) es el vértice, no el foco.
¿Cuánto mide el eje mayor de la elipse $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{49} = 1$?
El denominador mayor es 49 y está debajo de y²: la elipse es vertical con a = 7. El eje mayor mide 2a = 14 y va de (0; −7) a (0; 7).
¿Cuál es la pendiente positiva de las asíntotas de la hipérbola $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{25} = 1$?
a = 2 y b = 5. Las asíntotas son y = ±(b/a)x = ±(5/2)x. Si se invierte el cociente sale 2/5, y si se usan a² y b² sin sacar la raíz, 25/4.
¿Verdadero o falso? El punto $\left(3;\ 4\right)$ está sobre la elipse $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{20} = 1$.
9/45 + 16/20 = 1/5 + 4/5 = 1. El punto cumple la ecuación.
¿Verdadero o falso? En la elipse $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$, cada foco está a √41 unidades del centro.
En la elipse se resta: c² = 25 − 16 = 9, así que c = 3. El √41 sale de sumar 25 + 16, que es la relación de la hipérbola. Los focos de una elipse siempre están más cerca del centro que los vértices.
Para cualquier punto de la elipse $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$, ¿cuánto suman sus distancias a los dos focos?
La suma es 2a, y a² = 36 es el denominador mayor, así que a = 6 y la suma es 12. Por ejemplo, desde el vértice (6; 0) las distancias a los focos (±4; 0) son 2 y 10.
Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en $\left(10;\ 0\right)$ y un foco en $\left(6;\ 0\right)$; el otro vértice y el otro foco son los puntos simétricos. ¿Cuál es su ecuación?
a = 10 y c = 6, así que b² = a² − c² = 100 − 36 = 64. Los focos están sobre el eje x, de modo que a² = 100 va debajo de x².
Una hipérbola con centro en el origen tiene un vértice en $\left(6;\ 0\right)$ y un foco en $\left(10;\ 0\right)$; el otro vértice y el otro foco son los puntos simétricos. ¿Cuál es su ecuación?
a = 6 y c = 10. En la hipérbola c² = a² + b², así que b² = 100 − 36 = 64. Sumar 100 + 36 da 136, que no corresponde a esta hipérbola.
¿Verdadero o falso? Los focos de la elipse $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ están sobre el eje y.
El denominador mayor, 25, está debajo de y²: la elipse es vertical, con a = 5, b = 3 y c = √(25 − 9) = 4. Los focos son (0; ±4).
Para dibujar la hipérbola $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ hay que darle a x valores con |x| ≥ a. ¿Cuál es el menor valor positivo de x que tiene un punto de la hipérbola?
a² = 49, así que a = 7. Para |x| < 7, x²/49 − 1 es negativo y no hay ningún y que cumpla la ecuación: entre los vértices (±7; 0) no hay puntos de la hipérbola.
Para todos los puntos de una hipérbola, ¿qué se mantiene constante?
En la hipérbola es constante la diferencia de distancias a los focos (en valor absoluto), y vale 2a. La suma constante define la elipse, la distancia constante al centro define la circunferencia, y la igualdad de distancias a un punto y a una recta define la parábola.
Reto
Los elementos de una elipse.
a² es el denominador mayor. En la elipse, c² = a² − b².
Reto
Abre el candado de las cónicas.
Cada respuesta es una cifra del código. Ojo con el signo: en la elipse se resta y en la hipérbola se suma.
Cierre
En resumen
La elipse es el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los focos es 2a; centrada en el origen, x²/a² + y²/b² = 1, con c² = a² − b².
La hipérbola es el lugar de los puntos cuya diferencia de distancias a los focos, en valor absoluto, es 2a; centrada en el origen, x²/a² − y²/b² = 1, con c² = a² + b².
En la elipse a² es el denominador mayor y los focos están entre los vértices; en la hipérbola a² acompaña al término positivo y los focos están más allá de los vértices.
Las asíntotas de x²/a² − y²/b² = 1 son y = ±(b/a)x.
Para graficar, la elipse usa x entre −a y a, y la hipérbola solo los x con |x| ≥ a.
Vocabulario
- Elipse
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante e igual a 2a, con 2a mayor que la distancia entre los focos.
- Hipérbola
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante en valor absoluto e igual a 2a, con 2a menor que la distancia entre los focos y mayor que cero.
- Focos
Los dos puntos fijos de la definición de la elipse o de la hipérbola. En esta lección están en (±c; 0) o en (0; ±c).
- Vértices
Los puntos de la curva que están sobre la recta de los focos. Están a distancia a del centro.
- Asíntotas
Las dos rectas por el centro a las que se acercan las ramas de la hipérbola sin tocarlas: y = ±(b/a)x para x²/a² − y²/b² = 1.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Si es posible, trace una elipse en el tablero con dos tachuelas o dos compañeros sosteniendo una cuerda; pregunte qué se mantiene igual mientras el marcador da la vuelta.
- Explicación · 20 min — Definición de la elipse, deducción de c² = a² − b² con el triángulo del eje menor, y el primer ejemplo. Luego la hipérbola por contraste, insistiendo en el cambio de signo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Los huecos y el candado se pueden proyectar; pida que digan en voz alta si cada cónica es elipse o hipérbola antes de calcular c.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante escriba en una tabla de dos columnas lo que cambia entre la elipse y la hipérbola: la definición, la ecuación, la relación entre a, b y c, y dónde están los focos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en la elipse 2a tiene que ser mayor que la distancia entre los focos? ¿Qué se dibuja si la cuerda mide exactamente lo mismo que esa distancia?
- ¿Por qué los focos de la hipérbola están más lejos del centro que sus vértices?
- ¿Qué le pasa a una elipse cuando a y b se van pareciendo cada vez más?
Errores típicos
- Usar c² = a² + b² en la elipse o c² = a² − b² en la hipérbola. Pida dibujar el triángulo de cada curva: en la elipse la hipotenusa es a; en la hipérbola es c.
- Tomar siempre como a² el denominador de x². Recuerde la regla: en la elipse a² es el denominador mayor; en la hipérbola, el del término positivo.
- Confundir a con a²: decir que el vértice de x²/25 + y²/9 = 1 está en (25; 0). Pida comprobar el vértice reemplazándolo en la ecuación.
Tarea sugerida
Hallar vértices, focos y, cuando corresponda, asíntotas de x²/49 + y²/24 = 1 y de y²/9 − x²/16 = 1; dibujar las dos curvas con sus rangos de variación y explicar por escrito en qué se diferencian sus definiciones.