Velocidad media y aceleración media
Lo que vas a aprender
- Calcular la velocidad media de un movimiento como Δx/Δt a partir de una tabla, una gráfica o una fórmula.
- Calcular la aceleración media como Δv/Δt e interpretar su signo.
- Convertir velocidades entre km/h y m/s escribiendo la cuenta completa.
- Distinguir la velocidad media de la rapidez media y del promedio de las velocidades.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una aplicación de mapas te dice que el bus llegará en cuarenta minutos aunque el bus frene en cada semáforo y acelere en cada recta. ¿Cómo lo sabe? No conoce cada instante del viaje: usa una velocidad media, un único número que resume cuánto avanza el bus en promedio por cada unidad de tiempo.
Lo mismo pasa con un carro que arranca: no importa cómo pisó el acelerador segundo a segundo, podemos decir cuánto ganó de velocidad por cada segundo, en promedio. Eso es la aceleración media.
Las dos son razones entre magnitudes: un cambio dividido entre el tiempo que tardó. Por eso sus unidades son compuestas, como m/s o m/s², y por eso hay que saber pasar de una unidad a otra sin perder la cuenta.
Antes de empezar recuerda cómo se calcula la pendiente de una recta a partir de dos de sus puntos.
Explicación
Posición, desplazamiento y velocidad media
Piensa en un objeto que se mueve sobre una recta, como un carrito en una pista. Elegimos un punto de referencia y un sentido positivo. La posición $x$ es la distancia al punto de referencia, con signo. La posición depende del tiempo $t$: es una función $x(t)$.
El desplazamiento entre dos instantes es el cambio de posición:
$$\Delta x = x_{final} - x_{inicial}$$
La letra griega $\Delta$ (delta) se lee «cambio de». Si el desplazamiento es positivo, el objeto terminó más adelante en el sentido positivo; si es negativo, terminó más atrás.
La velocidad media es el desplazamiento dividido entre el tiempo que tomó:
$$\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$$
Es una razón de cambio: cuántos metros cambia la posición por cada segundo, en promedio. Si la posición está en metros y el tiempo en segundos, la velocidad queda en metros por segundo (m/s); si están en kilómetros y horas, en km/h.
En la gráfica posición–tiempo, la velocidad media entre dos instantes es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la curva. La curva puede subir más rápido o más despacio en distintos tramos; la velocidad media solo mira el comienzo y el final.
Gráfica posición–tiempo del carrito del primer ejemplo: el tiempo t (en segundos) va en el eje horizontal y la posición (en metros) en el vertical. La recta que une los puntos (2; 13) y (6; 53) tiene pendiente 10: la velocidad media entre t = 2 s y t = 6 s es 10 m/s.
Ejemplo resuelto
Velocidad media desde una tabla
Un carrito avanza por una pista recta. La tabla da su posición $x$ (en metros) a los $t$ segundos: para $t = 0,\ 2,\ 4,\ 6$ se lee $x = 5,\ 13,\ 29,\ 53$. Halla la velocidad media entre $t = 2$ s y $t = 6$ s, y entre $t = 0$ s y $t = 2$ s.
Ver la solución paso a paso
Entre $t = 2$ y $t = 6$ la posición pasa de 13 m a 53 m. Dividimos el desplazamiento entre el tiempo transcurrido:
$$\frac{53 - 13}{6 - 2}$$
El carrito se desplazó 40 m en 4 s:
$$\frac{40}{4}$$
La velocidad media en ese tramo es de 10 m/s:
$$10$$
Entre $t = 0$ y $t = 2$ la posición pasa de 5 m a 13 m:
$$\frac{13 - 5}{2 - 0}$$
En ese primer tramo la velocidad media es solo de 4 m/s. El carrito va cada vez más rápido: por eso la curva de la figura se empina.
$$4$$
Respuesta: Entre 2 s y 6 s la velocidad media es 10 m/s; entre 0 s y 2 s es 4 m/s.
Velocidad media no es rapidez media
La velocidad media solo mira dónde empezó y dónde terminó el objeto. Si una persona sale de su casa, camina hasta la tienda y vuelve a la casa, su desplazamiento es cero y su velocidad media también es cero, aunque haya caminado un buen rato.
Para saber qué tan rápido se movió se usa otra razón, la rapidez media:
$$\text{rapidez media} = \frac{\text{distancia total recorrida}}{\text{tiempo total}}$$
La distancia recorrida suma todos los tramos sin importar el sentido, así que la rapidez media nunca es negativa. Cuando el objeto se mueve siempre en el mismo sentido, la rapidez media y la velocidad media tienen el mismo valor absoluto: si ese sentido es el positivo, son el mismo número, y si es el negativo, la velocidad media es la rapidez media con signo menos. Cuando el objeto se devuelve, ni siquiera el valor absoluto coincide.
La velocidad media no es el promedio de las velocidades
Otro error frecuente es sumar las velocidades de los tramos y dividir entre el número de tramos. Eso solo funciona si todos los tramos duran lo mismo. Si un tramo es lento, el objeto pasa más tiempo en él, y ese tramo pesa más en la velocidad media. La regla segura es siempre la misma: desplazamiento total dividido entre tiempo total.
Ejemplo resuelto
Dos tramos a velocidades distintas
Una ciclista recorre 12 km de una ciclovía recta a 24 km/h y luego otros 12 km, en el mismo sentido, a 12 km/h. ¿Cuál es su velocidad media en todo el recorrido? Exprésala también en m/s.
Ver la solución paso a paso
El tiempo del primer tramo es la distancia entre la velocidad, en horas:
$$\frac{12}{24}$$
Es media hora:
$$\frac{1}{2}$$
El segundo tramo, a 12 km/h, le toma:
$$\frac{12}{12}$$
Una hora entera:
$$1$$
Ahora dividimos el desplazamiento total entre el tiempo total:
$$\frac{12 + 12}{\frac{1}{2} + 1}$$
Son 24 km en hora y media:
$$\frac{24}{1{,}5}$$
La velocidad media es de 16 km/h:
$$16$$
Fíjate en que el promedio de las dos velocidades da otra cosa, y es un error usarlo: la ciclista pasó el doble de tiempo en el tramo lento.
$$\frac{24 + 12}{2} = 18$$
Para pasar a m/s, cambiamos los kilómetros por 1.000 m y la hora por 3.600 s:
$$\frac{16 \cdot 1000}{3600}$$
Simplificando la fracción:
$$\frac{40}{9}$$
Como decimal, son unos 4,44 m/s:
$$4{,}44 < \frac{40}{9} < 4{,}45$$
Respuesta: La velocidad media es 16 km/h, que son 40/9 m/s, unos 4,44 m/s. No es 18 km/h, el promedio de las velocidades.
Cambiar de unidades sin perder la cuenta
Para convertir una velocidad se reemplaza cada unidad por su equivalente y se hace la cuenta entera:
$$1\ \text{km/h} = \frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}$$
Así, para pasar de km/h a m/s se multiplica por 1.000 y se divide entre 3.600. Para ir de m/s a km/h se hace lo contrario: se multiplica por 3.600 y se divide entre 1.000. Un buen control: para una misma velocidad positiva, el número en m/s es 3,6 veces más pequeño que en km/h. Al pasar de kilómetros a metros el número se multiplica por 1.000, pero al pasar de horas a segundos se divide entre 3.600, y la división pesa más.
Aceleración media
Cuando la velocidad cambia, nos preguntamos qué tan rápido cambia. La aceleración media es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo que tardó:
$$\bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}$$
Si la velocidad está en m/s y el tiempo en s, la aceleración queda en m/s por segundo, que se escribe m/s². Una aceleración media de 3 m/s² quiere decir que, en promedio, la velocidad aumentó 3 m/s en cada segundo.
El signo también dice algo. Si un objeto avanza en el sentido positivo y su aceleración media es negativa, su velocidad disminuye: está frenando. En la gráfica velocidad–tiempo, la aceleración media es la pendiente del segmento que une los dos puntos, igual que la velocidad media lo era en la gráfica posición–tiempo.
Ejemplo resuelto
Una moto que arranca
Una moto está quieta en un semáforo. Cuando cambia a verde arranca y, 5 s después, su velocímetro marca 54 km/h. Halla su aceleración media en m/s².
Ver la solución paso a paso
Primero pasamos la velocidad final a m/s, para que las unidades del tiempo coincidan:
$$\frac{54 \cdot 1000}{3600}$$
La velocidad final es 15 m/s:
$$15$$
La velocidad cambió de 0 m/s a 15 m/s en 5 s. Dividimos el cambio de velocidad entre el tiempo:
$$\frac{15 - 0}{5 - 0}$$
En promedio, la moto ganó 3 m/s en cada segundo:
$$3$$
Respuesta: La aceleración media es de 3 m/s².
Gráfica velocidad–tiempo de la moto: el tiempo (en segundos) va en el eje horizontal y la velocidad (en m/s) en el vertical. La velocidad no crece al mismo ritmo todo el tiempo, pero pasa de 0 m/s a 15 m/s en 5 s; la pendiente del segmento que une esos dos puntos, 3, es la aceleración media en m/s².
Práctica
Un tren de juguete avanza por un riel recto. A los 3 s está a 12 m de la estación y a los 7 s está a 40 m. ¿Cuál es su velocidad media en ese intervalo, en m/s?
El desplazamiento es 40 − 12 = 28 m y el tiempo 7 − 3 = 4 s: 28 ÷ 4 = 7 m/s. Dividir 40 entre 7 o 12 entre 3 olvida que a los 3 s el tren ya estaba a 12 m: hay que restar la posición y el tiempo iniciales.
Un bus avanza a 90 km/h. ¿Cuántos metros recorre en cada segundo? Usa 1 km = 1.000 m y 1 h = 3.600 s.
90 km/h = 90 · 1.000 m ÷ 3.600 s = 90.000 ÷ 3.600 = 25 m/s.
Una corredora mantiene una velocidad de 5 m/s. ¿A cuántos km/h equivale? En 1 h hay 3.600 s, y 1.000 m son 1 km.
En una hora recorre 5 · 3.600 = 18.000 m, que son 18.000 ÷ 1.000 = 18 km. Son 18 km/h.
Un carro va a 20 m/s por una recta y frena hasta 8 m/s en 4 s. ¿Cuál es su aceleración media, en m/s²?
Δv = 8 − 20 = −12 m/s en 4 s: −12 ÷ 4 = −3 m/s². Es negativa porque el carro va en el sentido positivo y está frenando. El 7 sale de sumar las velocidades, que no tiene sentido.
Un camión recorre 60 km a 60 km/h y luego otros 60 km, en el mismo sentido, a 30 km/h. ¿Verdadero o falso? Su velocidad media en todo el trayecto es de 45 km/h.
El primer tramo dura 1 h y el segundo 2 h: son 120 km en 3 h, o sea 40 km/h. El 45 es el promedio de las velocidades, que no sirve porque los tramos no duran lo mismo.
La posición de un carrito de control remoto sobre una pista recta es $d(t) =$ $2t^{2} + 3t$, en metros, con t en segundos. ¿Cuál es su velocidad media entre t = 1 s y t = 4 s, en m/s?
d(4) = 2 · 16 + 12 = 44 m y d(1) = 2 + 3 = 5 m. El desplazamiento es 39 m en 3 s: 39 ÷ 3 = 13 m/s.
Una nadadora hace un largo de ida de 50 m y otro de vuelta de 50 m en una piscina, y termina donde empezó, en un total de 80 s. Tomando como positivo el sentido de la ida, ¿cuál es su velocidad media, en m/s?
Su desplazamiento es +50 − 50 = 0 m, así que la velocidad media es 0 m/s. El 1,25 es su rapidez media: 100 m de distancia recorrida entre 80 s.
Un perro corre 30 m hacia el norte y luego 10 m hacia el sur. Todo le toma 8 s. Si el norte es el sentido positivo, ¿cuál es su velocidad media, en m/s?
Termina 30 − 10 = 20 m al norte de donde salió: 20 ÷ 8 = 2,5 m/s. El 5 es la rapidez media, 40 m de distancia entre 8 s.
En la gráfica velocidad–tiempo de una patineta se lee una velocidad de 4 m/s en t = 2 s y de 16 m/s en t = 6 s. ¿Cuál es su aceleración media en ese intervalo, en m/s²?
La velocidad aumenta 16 − 4 = 12 m/s en 6 − 2 = 4 s: 12 ÷ 4 = 3 m/s². Es la pendiente del segmento entre los dos puntos de la gráfica.
Un objeto se mueve en el sentido positivo de una recta y su aceleración media en un intervalo es negativa. ¿Qué le pasó a su velocidad en ese intervalo?
Δv/Δt negativa con Δt positivo quiere decir que Δv es negativo: la velocidad final es menor que la inicial. Si iba en el sentido positivo, eso es frenar.
Reto
Abre el candado del movimiento.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Reto
Une cada magnitud con su definición o cada cuenta con su resultado.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Cierre
En resumen
El desplazamiento es el cambio de posición, Δx = x final − x inicial, y puede ser negativo o cero.
La velocidad media es Δx/Δt; en la gráfica posición–tiempo es la pendiente del segmento entre dos puntos.
La rapidez media es la distancia recorrida entre el tiempo; la velocidad media no es el promedio de las velocidades de los tramos.
La aceleración media es Δv/Δt y se mide en m/s²; si el objeto avanza en el sentido positivo y es negativa, el objeto frena.
Para pasar de km/h a m/s se multiplica por 1.000 y se divide entre 3.600.
Vocabulario
- Posición
El lugar donde está un objeto sobre una recta, medido desde un punto de referencia y con signo.
- Desplazamiento
El cambio de posición, Δx = posición final − posición inicial. Puede ser positivo, negativo o cero.
- Velocidad media
El desplazamiento dividido entre el tiempo que tardó: Δx/Δt.
- Rapidez media
La distancia total recorrida dividida entre el tiempo. Nunca es negativa.
- Aceleración media
El cambio de velocidad dividido entre el tiempo que tardó: Δv/Δt. Se mide, por ejemplo, en m/s².
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo hace una aplicación de mapas para calcular la hora de llegada de un bus que para y arranca. Recoja las ideas en el tablero.
- Explicación · 20 min — Posición, desplazamiento y velocidad media con la tabla del carrito y su gráfica; luego el ejemplo de la ciclista para mostrar que el promedio de las velocidades falla, y la moto para la aceleración media.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El candado y el dominó pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe con sus palabras la diferencia entre velocidad media y rapidez media, con un ejemplo de su casa al colegio.
Preguntas para el salón
- ¿Puede la velocidad media de un viaje ser cero aunque el bus haya ido rápido? ¿Cuándo?
- ¿Por qué el promedio de 24 km/h y 12 km/h no es la velocidad media de la ciclista?
- Para una misma velocidad positiva, ¿qué número es mayor, el que está en km/h o el que está en m/s? ¿Por qué no basta con decir que un metro es más corto que un kilómetro?
Errores típicos
- Dividir la posición final entre el tiempo final, sin restar la posición y el tiempo iniciales. Vuelva a la tabla del carrito y pregunte dónde estaba en t = 2 s antes de calcular.
- Promediar las velocidades de los tramos para hallar la velocidad media. Pida que calculen el tiempo de cada tramo de la ciclista y que comparen cuánto duró cada uno.
- Confundir velocidad media con rapidez media cuando el objeto se devuelve. Use el ejemplo de la nadadora: pregunte dónde terminó y cuántos metros nadó.
- Convertir km/h a m/s dividiendo solo entre 3.600 o solo multiplicando por 1.000. Exija escribir la conversión completa, con las unidades, antes de operar.
Tarea sugerida
Medir con un reloj el tiempo que tarda en recorrer a pie una distancia conocida de la casa o del barrio, ida y vuelta; calcular la velocidad media y la rapidez media de cada tramo y del recorrido completo, en m/s y en km/h.