La razón de cambio promedio
Lo que vas a aprender
- Calcular la razón de cambio promedio de una función en un intervalo [a; b] a partir de su fórmula, de una tabla o de dos datos.
- Interpretar la razón de cambio promedio como la pendiente de la recta secante y explicar sus unidades.
- Comparar los ritmos de cambio de una función en intervalos distintos, o de dos funciones en el mismo intervalo, para tomar una decisión.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La temperatura de un horno sube cuando se enciende, pero no sube igual de rápido al principio que al final. Las visitas a un video crecen poco el primer día y mucho cuando alguien lo comparte. El agua de un tanque baja más rápido cuando está lleno que cuando está casi vacío. En todas estas situaciones la pregunta importante no es solo cuánto cambió una cantidad, sino qué tan rápido cambió.
En la lección anterior viste que la velocidad media responde esa pregunta para la posición de un objeto. Ahora vas a usar la misma idea con cualquier función: la razón de cambio promedio. Con ella podrás comparar ritmos, decidir en qué momento algo creció más y leer la respuesta en la gráfica.
Antes de empezar recuerda cómo se evalúa una función, por ejemplo $f(3)$, y cómo se calcula la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.
Explicación
La razón de cambio promedio
Sea $f$ una función y $[a;\ b]$ un intervalo de valores de $x$. Cuando $x$ pasa de $a$ a $b$, la variable cambia $\Delta x = b - a$ y la función cambia $\Delta y = f(b) - f(a)$. La razón de cambio promedio de $f$ en $[a;\ b]$ es el cociente entre los dos cambios:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
Se lee «cuánto cambia $f$, en promedio, por cada unidad que cambia $x$». La velocidad media es un caso particular: la función es la posición y la variable es el tiempo.
Sus unidades son las de $f$ divididas entre las de $x$. Si $f$ es una temperatura en grados y $x$ un tiempo en minutos, la razón de cambio queda en grados por minuto. Si $f$ es dinero en pesos y $x$ son días, en pesos por día. Escribir las unidades ayuda a entender qué dice el número.
El signo también informa:
- Si la razón es positiva, la función terminó más arriba de donde empezó: aumentó en promedio.
- Si es negativa, terminó más abajo: disminuyó en promedio.
- Si es cero, terminó a la misma altura. ¡Cuidado! Eso no quiere decir que no haya cambiado en el camino: puede haber bajado y vuelto a subir.
La pendiente de la secante
Los valores de la función en los extremos del intervalo son dos puntos de la gráfica: $(a;\ f(a))$ y $(b;\ f(b))$. La recta que pasa por ellos se llama recta secante, y su pendiente es justamente
$$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
Así que la razón de cambio promedio es la pendiente de la secante. Una secante que sube de izquierda a derecha indica que la función aumentó en promedio; una que baja, que disminuyó. Cuanto más inclinada esté la secante, más rápido fue el cambio promedio.
Ejemplo resuelto
Razón de cambio promedio desde la fórmula
Para $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula la razón de cambio promedio en el intervalo $[1;\ 4]$ y en el intervalo $[0;\ 2]$.
Ver la solución paso a paso
Evaluamos la función en los extremos del primer intervalo. En $x = 1$:
$$1^{2} - 4 \cdot 1 + 5$$
Es decir, $f(1) = 2$:
$$2$$
En $x = 4$:
$$4^{2} - 4 \cdot 4 + 5$$
Es decir, $f(4) = 5$:
$$5$$
Dividimos el cambio de la función entre el cambio de $x$:
$$\frac{5 - 2}{4 - 1}$$
En $[1;\ 4]$ la función aumenta, en promedio, 1 unidad por cada unidad de $x$:
$$1$$
Para el intervalo $[0;\ 2]$ hacemos la cuenta completa con la fórmula:
$$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 5 - \left(0^{2} - 4 \cdot 0 + 5\right)}{2 - 0}$$
Como $f(2) = 1$ y $f(0) = 5$, queda:
$$\frac{1 - 5}{2}$$
En $[0;\ 2]$ la función disminuye, en promedio, 2 unidades por cada unidad de $x$:
$$-2$$
Ojo: aunque en $[1;\ 4]$ aumenta en promedio, de $x = 1$ a $x = 2$ la función todavía baja, porque $f(2) = 1$ es menor que $f(1) = 2$:
$$2^{2} - 4 \cdot 2 + 5 < 1^{2} - 4 \cdot 1 + 5$$
Respuesta: En [1; 4] la razón de cambio promedio es 1; en [0; 2] es −2. La misma función crece en promedio en un intervalo y decrece en el otro.
La parábola f(x) = x² − 4x + 5 con dos secantes. La que pasa por (1; 2) y (4; 5) tiene pendiente 1; la que pasa por (0; 5) y (2; 1) tiene pendiente −2. Cada pendiente es la razón de cambio promedio en su intervalo.
Una sola razón o muchas
Si la función es afín, $f(x) = mx + b$, su gráfica es una recta y cualquier secante es la misma recta. Por eso su razón de cambio promedio vale $m$ en todos los intervalos: el ritmo de cambio es constante.
En las demás funciones, la razón de cambio promedio depende del intervalo. La parábola de la figura, en promedio, baja entre $0$ y $2$ y sube entre $1$ y $4$, aunque entre $1$ y $2$ todavía baja: su vértice está en $x = 2$. Una sola razón resume el intervalo entero, pero esconde lo que pasa por dentro: es un promedio, como la velocidad media de un viaje.
Comparar ritmos
Para comparar qué tan rápido cambian dos cantidades, o una misma cantidad en dos momentos, se comparan sus razones de cambio, no sus cambios totales. Un tanque que pierde 300 litros en 6 horas pierde agua más despacio que otro que pierde 200 litros en 2 horas: el primero pierde 50 litros por hora y el segundo 100. Dividir entre el tiempo pone los dos cambios en la misma escala.
Esa comparación sirve para tomar decisiones: en qué tramo conviene revisar el horno, cuál de dos planes rinde más, en qué semana creció más una planta.
Ejemplo resuelto
Comparar ritmos en una tabla
Un horno de panadería se enciende y la temperatura (en °C) se anota cada 10 minutos: a los 0, 10, 20 y 30 minutos marca 20, 110, 160 y 180 °C. ¿En qué tramo de diez minutos se calentó más rápido?
Ver la solución paso a paso
Primer tramo, de 0 a 10 minutos:
$$\frac{110 - 20}{10 - 0}$$
Se calentó 9 °C por minuto:
$$9$$
Segundo tramo, de 10 a 20 minutos:
$$\frac{160 - 110}{20 - 10}$$
Solo 5 °C por minuto:
$$5$$
Tercer tramo, de 20 a 30 minutos:
$$\frac{180 - 160}{30 - 20}$$
Apenas 2 °C por minuto:
$$2$$
Las razones bajan de un tramo al siguiente: el horno se calienta cada vez más despacio a medida que se acerca a su temperatura de trabajo.
Respuesta: Se calentó más rápido en los primeros diez minutos, a 9 °C por minuto; después, a 5 y a 2 °C por minuto.
Ejemplo resuelto
Dos funciones en los mismos intervalos
Las visitas de dos videos inventados, en miles, a los $x$ días de publicados, son $f(x) = 2^x$ y $g(x) = 3x + 1$. Compara sus razones de cambio promedio en $[0;\ 2]$ y en $[2;\ 4]$.
Ver la solución paso a paso
Para $f$ en $[0;\ 2]$:
$$\frac{2^{2} - 2^{0}}{2 - 0}$$
Son 1,5 miles de visitas por día:
$$1{,}5$$
Para $g$, que es afín, la razón es su pendiente en cualquier intervalo. En $[0;\ 2]$:
$$\frac{\left(3 \cdot 2 + 1\right) - \left(3 \cdot 0 + 1\right)}{2 - 0}$$
Son 3 miles de visitas por día:
$$3$$
Para $f$ en $[2;\ 4]$:
$$\frac{2^{4} - 2^{2}}{4 - 2}$$
Ahora son 6 miles de visitas por día:
$$6$$
Para $g$ en $[2;\ 4]$ la razón sigue siendo 3:
$$\frac{\left(3 \cdot 4 + 1\right) - \left(3 \cdot 2 + 1\right)}{4 - 2}$$
En efecto:
$$3$$
Respuesta: En [0; 2] el video g gana visitas más rápido (3 contra 1,5 miles por día); en [2; 4] lo hace el video f (6 contra 3).
Práctica
¿Cuál es la razón de cambio promedio de $f(x) =$ $x^{2} + 1$ entre x = 1 y x = 3?
f(3) = 10 y f(1) = 2. El cambio de la función es 8 y el de x es 2: 8 ÷ 2 = 4.
¿Cuál es la razón de cambio promedio de $f(x) =$ $x^{3} - 2x$ en el intervalo de x = 0 a x = 2?
f(2) = 8 − 4 = 4 y f(0) = 0. La razón es 4 ÷ 2 = 2. El 4 es el cambio de la función, que todavía hay que dividir entre el cambio de x.
¿Cuál es la razón de cambio promedio de $f(x) =$ $\frac{12}{x}$ entre x = 1 y x = 4?
f(4) = 3 y f(1) = 12: el cambio es 3 − 12 = −9 en 3 unidades de x, así que la razón es −3. Es negativa porque la función disminuye. El −1/3 sale de dividir al revés.
Un tanque se vacía por una llave. A las 2 h de abrirla tiene 900 litros y a las 6 h tiene 300 litros. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del agua en ese intervalo, en litros por hora?
El agua cambia 300 − 900 = −600 litros en 4 horas: −600 ÷ 4 = −150 litros por hora. El signo menos indica que el tanque pierde agua.
¿Verdadero o falso? La razón de cambio promedio de $f(x) =$ $x^{2}$ entre x = −2 y x = 2 es 0.
f(2) = f(−2) = 4, así que el cambio es 0. Pero la función no es constante: baja hasta 0 en x = 0 y vuelve a subir. Una razón promedio de cero solo dice que terminó a la misma altura.
Dos matas de frijol se miden durante 6 días. La mata A mide 12 cm el día 0 y 30 cm el día 6; la mata B mide 20 cm el día 0 y 32 cm el día 6. En promedio, ¿cuántos centímetros por día más rápido creció A que B?
A creció 18 cm en 6 días, 3 cm por día; B creció 12 cm en 6 días, 2 cm por día. A creció 1 cm por día más rápido, aunque B era más alta los dos días en que se midieron.
¿Cuál es la pendiente de la recta secante a la gráfica de $f(x) =$ $\sqrt{x}$ que pasa por los puntos de abscisa x = 1 y x = 4?
Los puntos son (1; 1) y (4; 2). La pendiente es (2 − 1) ÷ (4 − 1) = 1/3. El 3 sale de dividir al revés, y el 1/2 de dividir 2 entre 4.
Una ciclista sube una montaña. A los 10 minutos de empezar el ascenso está a 1.800 m de altura y a los 25 minutos está a 2.250 m. ¿Cuántos metros de altura gana por minuto, en promedio?
Gana 2.250 − 1.800 = 450 m de altura en 25 − 10 = 15 minutos: 450 ÷ 15 = 30 m por minuto.
¿Verdadero o falso? Para $f(x) =$ $-3x + 7$, la razón de cambio promedio entre x = 0 y x = 5 es igual a la razón de cambio promedio entre x = 10 y x = 12.
La función es afín: su gráfica es una recta y su razón de cambio promedio es la pendiente, −3, en cualquier intervalo.
¿Cuál es la razón de cambio promedio de $f(x) =$ $2^{x}$ entre x = 1 y x = 4?
f(4) = 16 y f(1) = 2. El cambio es 14 en 3 unidades de x: 14/3, más o menos 4,67. El 4 sale de dividir 16 entre 4, sin restar los valores iniciales.
La razón de cambio promedio de la temperatura dentro de una nevera, entre las 2 p. m. y las 5 p. m., es de −4 °C por hora. ¿Qué quiere decir?
La razón es un cambio por unidad de tiempo, en promedio: en 3 horas bajó 12 °C en total, pero pudo bajar más rápido en una hora que en otra. No dice cuál era la temperatura.
Reto
Completa el cálculo de la razón de cambio promedio.
Toca cada hueco y elige la opción correcta.
Reto
¿La cantidad aumentó o disminuyó en promedio?
Cada ficha es una razón de cambio promedio sin calcular. Llévala a la canasta según su signo.
Cierre
En resumen
La razón de cambio promedio de f en [a; b] es (f(b) − f(a))/(b − a), el cambio de la función entre el cambio de x.
Sus unidades son las de f divididas entre las de x, por ejemplo °C por minuto o litros por hora.
Es la pendiente de la recta secante que pasa por (a; f(a)) y (b; f(b)).
En una función afín vale lo mismo en cualquier intervalo; en las demás funciones depende del intervalo.
Para comparar qué tan rápido cambian dos cantidades se comparan sus razones de cambio, no sus cambios totales.
Vocabulario
- Razón de cambio promedio
En el intervalo [a; b], el cociente (f(b) − f(a))/(b − a): cuánto cambia f, en promedio, por cada unidad que cambia x.
- Recta secante
La recta que pasa por dos puntos de la gráfica de una función.
- Incremento
El cambio de una variable entre dos valores; se escribe Δx o Δy.
- Ritmo de cambio
Otra manera de decir razón de cambio: qué tan rápido cambia una cantidad respecto a otra.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre la tabla del horno y pregunte en qué tramo se calentó más rápido. Deje que lo argumenten antes de hacer cuentas.
- Explicación · 20 min — Definición de razón de cambio promedio y su relación con la velocidad media; el primer ejemplo en el tablero, dibujando la parábola y las dos secantes; luego el horno y los dos videos para comparar ritmos.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; los huecos y las canastas pueden proyectarse para hacerlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica con una frase, con unidades, qué significa una de las razones que calculó.
Preguntas para el salón
- Si la razón de cambio promedio de una función en un intervalo es cero, ¿la función fue constante en ese intervalo? Dibujen un contraejemplo.
- ¿Por qué en una función afín da igual qué intervalo se escoja?
- ¿Qué ganamos al dividir entre el tiempo cuando comparamos dos tanques que se vacían?
Errores típicos
- Dividir al revés, el cambio de x entre el cambio de la función. Pida que escriban las unidades: litros por hora no es lo mismo que horas por litro.
- Quedarse con el cambio total f(b) − f(a) sin dividir entre b − a. Compare dos intervalos de longitudes distintas y pregunte en cuál cambió más rápido.
- Restar en órdenes distintos arriba y abajo, f(b) − f(a) entre a − b, y obtener el signo contrario. Insista en que el punto que va primero arriba va primero abajo, y compruébelo con la secante dibujada.
- Creer que una razón de cambio promedio de cero quiere decir que la función no cambió. Use la parábola y = x² entre −2 y 2 y pregunte por el valor en x = 0.
Tarea sugerida
Anotar la temperatura de un lugar de la casa cada hora durante una tarde, calcular la razón de cambio promedio en cada hora y en toda la tarde, y explicar con unidades en qué hora cambió más rápido.