El cambio alrededor de un punto
Lo que vas a aprender
- Calcular razones de cambio promedio en intervalos [a; b] cada vez más cortos y reconocer en una tabla el valor al que se acercan.
- Simplificar la pendiente de la secante entre x = a y x = a + h para ver hacia dónde va cuando h es muy pequeño.
- Interpretar ese valor como la pendiente de la recta tangente y como la razón de cambio alrededor del punto.
- Escribir la ecuación de la recta tangente a una parábola en un punto, conocida su pendiente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El velocímetro de una moto no marca la velocidad media de todo el viaje: marca qué tan rápido va la moto en este momento. Un médico que mira la gráfica de la fiebre de un paciente quiere saber si la temperatura está subiendo ahora, no cuánto subió desde ayer. Una tienda quiere saber si sus ventas crecen con fuerza esta semana.
Pero hay un problema. Toda razón de cambio que conoces necesita dos puntos: el cambio de la función entre el cambio de $x$. ¿Cómo se puede hablar del cambio en un solo punto? La salida es ingeniosa: se toman intervalos cada vez más cortos alrededor del punto y se mira hacia dónde van las razones de cambio. Esa idea es la puerta de entrada a una de las herramientas más poderosas de la matemática, que estudiarás con todo detalle en 11.º.
Antes de empezar repasa cómo se calcula una razón de cambio promedio y cómo se escribe la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente.
Explicación
Secantes cada vez más cortas
Toma la función $f(x) = x^2$ y el punto $(1;\ 1)$ de su gráfica. Queremos saber qué tan rápido cambia la función alrededor de $x = 1$.
Empecemos con la razón de cambio promedio en $[1;\ 2]$: es la pendiente de la secante que une $(1;\ 1)$ con $(2;\ 4)$. Ahora acerquemos el segundo punto: tomemos $[1;\ 1{,}5]$, luego $[1;\ 1{,}1]$, luego $[1;\ 1{,}01]$. Cada vez la secante es más corta y el intervalo se encoge alrededor de $x = 1$. En el primer ejemplo verás que las razones forman una lista que se acerca a un valor: a $2$.
También podemos acercarnos desde la izquierda, con $[0{,}9;\ 1]$, $[0{,}99;\ 1]$... y las razones se acercan al mismo valor desde abajo. Cuando por los dos lados se llega al mismo número, ese número es la razón de cambio de la función alrededor del punto.
Ejemplo resuelto
Una tabla de razones que se acercan
Para $f(x) = x^2$, calcula la razón de cambio promedio en intervalos cada vez más cortos alrededor de $x = 1$: por la derecha, $[1;\ 2]$, $[1;\ 1{,}5]$, $[1;\ 1{,}1]$ y $[1;\ 1{,}01]$; por la izquierda, $[0{,}9;\ 1]$ y $[0{,}99;\ 1]$.
Ver la solución paso a paso
En $[1;\ 2]$:
$$\frac{2^{2} - 1^{2}}{2 - 1} = 3$$
En $[1;\ 1{,}5]$:
$$\frac{\left(1{,}5\right)^{2} - 1^{2}}{1{,}5 - 1} = 2{,}5$$
En $[1;\ 1{,}1]$:
$$\frac{\left(1{,}1\right)^{2} - 1^{2}}{1{,}1 - 1} = 2{,}1$$
En $[1;\ 1{,}01]$:
$$\frac{\left(1{,}01\right)^{2} - 1^{2}}{1{,}01 - 1} = 2{,}01$$
Por la izquierda, en $[0{,}9;\ 1]$:
$$\frac{1^{2} - \left(0{,}9\right)^{2}}{1 - 0{,}9} = 1{,}9$$
Y en $[0{,}99;\ 1]$:
$$\frac{1^{2} - \left(0{,}99\right)^{2}}{1 - 0{,}99} = 1{,}99$$
Por la derecha las razones bajan: 3; 2,5; 2,1; 2,01. Por la izquierda suben: 1,9; 1,99. Las dos listas se acercan a 2, aunque ninguna de las razones calculadas es exactamente 2.
Respuesta: Las razones de cambio promedio se acercan a 2 por los dos lados. La razón de cambio de f(x) = x² alrededor de x = 1 es 2.
Con una letra en vez de muchas cuentas
Hacer la tabla convence, pero no demuestra. Para ver todas las secantes a la vez, llamamos $h$ a lo que nos alejamos del punto: el intervalo va de $a$ a $a + h$. La pendiente de la secante es
$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
El número $h$ puede ser positivo (nos alejamos hacia la derecha) o negativo (hacia la izquierda), pero nunca cero: con $h = 0$ no habría intervalo, y dividir entre cero no tiene sentido. Lo que sí podemos hacer es simplificar la fracción y luego mirar qué pasa cuando $h$ es muy pequeño.
Ejemplo resuelto
Simplificar la pendiente de la secante
Para $f(x) = x^2$ y $a = 1$, simplifica la pendiente de la secante entre $x = 1$ y $x = 1 + h$, con $h \neq 0$, y explica a qué valor se acerca cuando $h$ es muy pequeño.
Ver la solución paso a paso
Escribimos la pendiente de la secante con la fórmula de la función:
$$\frac{\left(1 + h\right)^{2} - 1^{2}}{h}$$
Desarrollamos el cuadrado del binomio:
$$\frac{1 + 2h + h^{2} - 1}{h}$$
Los unos se cancelan:
$$\frac{2h + h^{2}}{h}$$
Como $h \neq 0$, podemos dividir cada término entre $h$:
$$2 + h$$
La pendiente de cada secante es $2 + h$. Con $h = 0{,}01$ da 2,01; con $h = -0{,}01$ da 1,99, como en la tabla. Cuanto más pequeño es $h$, más cerca de 2 está $2 + h$.
Respuesta: La pendiente de la secante es 2 + h, y se acerca a 2 cuando h es muy pequeño.
La recta tangente
Mira la figura. A medida que el segundo punto se acerca a $(1;\ 1)$, las secantes giran y se parecen cada vez más a una recta: la recta tangente a la curva en ese punto. La tangente pasa por $(1;\ 1)$ y tiene la misma inclinación que la curva allí. Su pendiente es el valor al que se acercan las pendientes de las secantes, que en este caso es $2$.
Por eso decimos que la pendiente de la recta tangente es la razón de cambio alrededor del punto. Si haces zoom sobre la gráfica muy cerca de $(1;\ 1)$, la parábola se ve casi recta, y esa recta casi indistinguible de la curva es la tangente.
La pendiente de la tangente se lee igual que cualquier pendiente: si es positiva, la función está creciendo en ese punto; si es negativa, está decreciendo; si es cero, la tangente es horizontal, como en el vértice de una parábola.
La parábola y = x² y tres rectas que pasan por (1; 1): la secante hasta (2; 4), de pendiente 3; la secante hasta (1,5; 2,25), de pendiente 2,5; y la recta tangente, de pendiente 2. Al acercar el segundo punto, las secantes se parecen cada vez más a la tangente.
Ejemplo resuelto
La ecuación de la recta tangente
La recta tangente a $y = x^2$ en el punto $(1;\ 1)$ tiene pendiente 2. Escribe su ecuación.
Ver la solución paso a paso
Usamos la forma punto-pendiente, $y = y_1 + m(x - x_1)$, con el punto $(1;\ 1)$ y $m = 2$:
$$1 + 2 \cdot \left(x - 1\right)$$
Simplificando:
$$2x - 1$$
Comprobamos que la recta pasa por el punto de tangencia: con $x = 1$ debe dar $y = 1$.
$$2 \cdot 1 - 1 = 1$$
Respuesta: La recta tangente es y = 2x − 1.
La velocidad en un instante
Con el movimiento la idea es la misma. La velocidad media necesita dos instantes. Si los acercamos cada vez más a un instante $t_0$, las velocidades medias se acercan a un valor: la velocidad instantánea en $t_0$, que es lo que marca el velocímetro. En la gráfica posición–tiempo es la pendiente de la recta tangente en ese instante.
Ejemplo resuelto
La velocidad de una piedra a los 2 segundos
En un videojuego, una piedra cae de modo que a los $t$ segundos ha caído $d(t) = 4t^2$ metros. Estima su velocidad en el instante $t = 2$ s con velocidades medias en intervalos cada vez más cortos.
Ver la solución paso a paso
Velocidad media entre $t = 2$ s y $t = 2{,}1$ s, en m/s:
$$\frac{4 \cdot \left(2{,}1\right)^{2} - 4 \cdot 2^{2}}{2{,}1 - 2} = 16{,}4$$
Entre $t = 2$ s y $t = 2{,}01$ s:
$$\frac{4 \cdot \left(2{,}01\right)^{2} - 4 \cdot 2^{2}}{2{,}01 - 2} = 16{,}04$$
Entre $t = 2$ s y $t = 2{,}001$ s:
$$\frac{4 \cdot \left(2{,}001\right)^{2} - 4 \cdot 2^{2}}{2{,}001 - 2} = 16{,}004$$
Para verlo en general, tomamos el intervalo de $2$ a $2 + h$:
$$\frac{4 \cdot \left(2 + h\right)^{2} - 4 \cdot 2^{2}}{h}$$
Desarrollamos y cancelamos el 16:
$$\frac{16h + 4h^{2}}{h}$$
Dividimos entre $h \neq 0$. Cuando $h$ es muy pequeño, esto se acerca a 16:
$$16 + 4h$$
Respuesta: Las velocidades medias se acercan a 16 m/s: esa es la velocidad de la piedra en el instante t = 2 s.
Práctica
Para $f(x) =$ $x^{2}$, calcula la razón de cambio promedio entre x = 3 y x = 3,1. Escribe el resultado exacto.
f(3,1) = 9,61 y f(3) = 9. El cambio es 0,61 en 0,1 unidades de x: 0,61 ÷ 0,1 = 6,1. Con intervalos más cortos la razón se acercaría a 6.
Para $f(x) =$ $x^{2} - 3x$, se calculan las pendientes de las secantes entre x = 2 y puntos cada vez más cercanos a x = 2, por los dos lados. ¿A qué valor se acercan?
La pendiente de la secante entre 2 y 2 + h es ((2 + h)² − 3(2 + h) − (−2)) ÷ h = (h + h²) ÷ h = 1 + h, que se acerca a 1. El −2 es f(2), el valor de la función, no su razón de cambio.
¿Verdadero o falso? Para $f(x) =$ $x^{3}$, la razón de cambio promedio entre x = 1 y x = 1,1 es exactamente 3.
f(1,1) = 1,331, así que la razón es 0,331 ÷ 0,1 = 3,31. Se acerca a 3 si el intervalo se hace más corto, pero en [1; 1,1] no es 3.
Una bola rueda por una rampa y a los t segundos ha recorrido $d(t) =$ $3t^{2}$ metros. Calcula su velocidad media entre t = 2 s y t = 2,01 s, en m/s.
d(2,01) = 3 · 4,0401 = 12,1203 y d(2) = 12. El cambio es 0,1203 m en 0,01 s: 12,03 m/s. Con intervalos cada vez más cortos, las velocidades medias se acercan a 12 m/s: esa es la velocidad en el instante t = 2 s.
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x) =$ $x^{2} + 1$ en el punto de abscisa x = −1?
La secante entre −1 y −1 + h tiene pendiente ((−1 + h)² + 1 − 2) ÷ h = (−2h + h²) ÷ h = −2 + h, que se acerca a −2. Es negativa porque a la izquierda del vértice la parábola baja. El 2 es f(−1).
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a $y =$ $x^{2}$ en el punto de abscisa x = 3? Halla primero su pendiente con las secantes entre 3 y 3 + h.
El punto es (3; 9) y la pendiente de la secante es ((3 + h)² − 9) ÷ h = 6 + h, que se acerca a 6. Con la forma punto-pendiente, y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9. La recta y = 6x + 9 tiene la pendiente correcta pero no pasa por (3; 9); y = 3x y y = 9x − 18 pasan por el punto con otra pendiente.
Para $f(x) =$ $x^{2} + x$, calcula la pendiente de la secante entre x = 2 y x = 2,01. Escribe el resultado exacto.
f(2,01) = 4,0401 + 2,01 = 6,0501 y f(2) = 6. El cambio es 0,0501 en 0,01: 5,01. La pendiente de la tangente en x = 2 es 5.
Se fija un punto P de una curva y se toma otro punto Q de la curva cada vez más cerca de P. ¿Qué pasa con la recta secante que pasa por P y Q?
Mientras Q sea distinto de P la secante existe, y al acercar Q gira hacia la tangente. Que sea horizontal o no depende de la curva y del punto.
¿Verdadero o falso? Para $f(x) =$ $-x^{2} + 4x$, la pendiente de la recta tangente en x = 0 es mayor que la pendiente de la recta tangente en x = 2.
Cerca de x = 0 las secantes tienen pendiente cercana a 4: la función sube rápido. En x = 2 está el vértice de la parábola, donde la tangente es horizontal y su pendiente es 0.
Las pendientes de las secantes a la gráfica de $g(x) =$ $x^{3}$ entre x = 1 y x = 1 + h, con h cada vez más pequeño, se acercan a un valor. ¿Cuál?
((1 + h)³ − 1) ÷ h = (3h + 3h² + h³) ÷ h = 3 + 3h + h², que se acerca a 3. Con h = 0,1 da 3,31, como en la pregunta de verdadero o falso.
Reto
Abre el candado de las tangentes.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Reto
Une cada secante de y = x² con su pendiente.
Todas las secantes pasan por el punto (1; 1). Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Cierre
En resumen
Para estudiar el cambio alrededor de un punto se calculan razones de cambio promedio en intervalos cada vez más cortos alrededor de él.
Si esas razones se acercan a un mismo valor por los dos lados, ese valor es la razón de cambio alrededor del punto.
La pendiente de la secante entre a y a + h es (f(a + h) − f(a))/h, con h distinto de cero; simplificarla muestra hacia dónde va cuando h es muy pequeño.
Las secantes se parecen cada vez más a la recta tangente; su pendiente es la razón de cambio alrededor del punto.
En un movimiento, el valor al que se acercan las velocidades medias es la velocidad instantánea.
Vocabulario
- Aproximación sucesiva
Un proceso en el que se calculan valores cada vez más cercanos a uno buscado, para descubrir hacia dónde van.
- Recta tangente
La recta a la que se parecen cada vez más las secantes que pasan por un punto de la curva cuando el otro punto se acerca a él.
- Razón de cambio alrededor de un punto
El valor al que se acercan las razones de cambio promedio cuando el intervalo se hace cada vez más corto alrededor de ese punto. Es la pendiente de la recta tangente.
- Velocidad instantánea
El valor al que se acercan las velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos alrededor de un instante.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué marca el velocímetro de una moto y por qué no puede ser una velocidad media de todo el viaje. Plantee la paradoja de medir un cambio en un solo instante.
- Explicación · 25 min — La tabla de razones de y = x² alrededor de x = 1 con calculadora, primero por la derecha y luego por la izquierda; la simplificación con h; la figura de las secantes que giran hacia la tangente y la ecuación de la tangente; la piedra del videojuego.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas con calculadora. El candado y el dominó pueden proyectarse para hacerlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja una curva, marca un punto y traza a mano dos secantes y la tangente en ese punto.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no podemos poner h = 0 directamente en la pendiente de la secante?
- Si por la derecha las razones se acercan a 2 y por la izquierda también, ¿qué nos dice eso de la curva cerca del punto?
- ¿Dónde es horizontal la tangente de una parábola? ¿Qué quiere decir eso sobre su cambio?
Errores típicos
- Confundir el valor de la función en el punto con su razón de cambio en ese punto. Pida que digan qué mide cada número: la altura de la curva o su inclinación.
- Reemplazar h = 0 antes de simplificar y obtener 0 ÷ 0. Muestre que la fracción no tiene sentido con h = 0 y que primero se simplifica, siempre con h distinto de cero.
- Creer que la tangente es cualquier recta que toca la curva en un solo punto. Dibuje una recta vertical que corta la parábola en un solo punto y pregunte si se parece a las secantes que se acercan.
- Redondear demasiado pronto en la tabla y no ver hacia dónde van las razones. Pida que escriban todas las cifras que da la calculadora en cada renglón.
Tarea sugerida
Para f(x) = x² − 2x, hacer la tabla de razones de cambio alrededor de x = 3 con h = 1; 0,1; 0,01; −0,1 y −0,01, decir a qué valor se acercan, comprobarlo simplificando la pendiente de la secante y escribir la ecuación de la recta tangente en (3; 3).