Tendencias y predicciones
Lo que vas a aprender
- Reconocer en una tabla con pasos iguales si un cambio es lineal, cuadrático o exponencial, con diferencias y cocientes.
- Predecir valores futuros continuando la tendencia de una tabla.
- Discutir hasta dónde vale una predicción y por qué los mismos datos pueden admitir tendencias distintas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
¿Cuánto tendrás ahorrado en diciembre si sigues guardando lo mismo cada semana? ¿Cuántos seguidores tendrá una cuenta nueva el próximo mes? ¿Cuándo se acabará el agua del tanque si nadie lo vuelve a llenar? Para responder se miran los datos que ya se tienen, se busca su tendencia y se continúa hacia adelante.
Pero predecir tiene trampa. Unos datos que crecen de a poquito pueden estar creciendo de una manera que pronto se dispara; otros que suben rápido pueden frenarse. En esta lección vas a aprender a reconocer en una tabla tres clases de cambio, a predecir con cada una y a discutir con argumentos hasta dónde vale una predicción.
Antes de empezar recuerda qué es la razón de cambio de una función afín y cómo se calculan potencias como $1{,}5^3$.
Explicación
Tres clases de cambio en una tabla
Trabajaremos con tablas en las que la variable $x$ avanza de a pasos iguales: de uno en uno, de diez en diez, de hora en hora. Con esa condición hay tres pruebas sencillas.
Cambio lineal. Se restan valores consecutivos: son las primeras diferencias. Si todas son iguales, la cantidad aumenta (o disminuye) lo mismo en cada paso. Es una función afín, con razón de cambio constante, y su gráfica es una recta.
Cambio cuadrático. Si las primeras diferencias no son iguales, se restan entre sí: son las segundas diferencias. Si estas son todas iguales, la tabla corresponde a una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola. La razón de cambio no es constante, pero cambia de manera pareja.
Cambio exponencial. Se dividen valores consecutivos: son los cocientes sucesivos. Si todos son iguales, la cantidad se multiplica por el mismo número en cada paso. Si ese número es mayor que 1 la cantidad crece, y cada vez más rápido; si está entre 0 y 1, decrece, y cada vez más despacio.
Si ninguna de las tres pruebas da valores iguales, la tabla no sigue ninguno de estos tres modelos, y hay que tener todavía más cuidado al predecir.
Ejemplo resuelto
Una tendencia lineal
Sofía guarda dinero en una alcancía. Al empezar tiene 15 mil pesos y al final de las semanas 1, 2, 3 y 4 tiene 22, 29, 36 y 43 mil pesos. Si sigue igual, ¿cuánto tendrá al final de la semana 10?
Ver la solución paso a paso
Calculamos las primeras diferencias:
$$22 - 15 = 7$$
La segunda:
$$29 - 22 = 7$$
La tercera:
$$36 - 29 = 7$$
Y la cuarta:
$$43 - 36 = 7$$
Todas valen 7: el cambio es lineal y Sofía guarda 7 mil pesos por semana. A los 15 mil del comienzo se le suman 7 mil por cada una de las 10 semanas:
$$15 + 7 \cdot 10$$
Tendrá 85 mil pesos:
$$85$$
Respuesta: Si mantiene el ritmo, tendrá 85 mil pesos al final de la semana 10.
Ejemplo resuelto
Una tendencia cuadrática
Con baldosas se arma una secuencia de figuras. La figura 1 tiene 3 baldosas y las figuras 2, 3, 4 y 5 tienen 4, 7, 12 y 19. ¿Cuántas baldosas tendrá la figura 6?
Ver la solución paso a paso
Las primeras diferencias son 1, 3, 5 y 7: no son iguales, así que el cambio no es lineal. Restamos las primeras diferencias entre sí, empezando por las dos primeras:
$$\left(7 - 4\right) - \left(4 - 3\right) = 2$$
Las siguientes:
$$\left(12 - 7\right) - \left(7 - 4\right) = 2$$
Y las últimas:
$$\left(19 - 12\right) - \left(12 - 7\right) = 2$$
Las segundas diferencias valen todas 2: el cambio es cuadrático. La próxima primera diferencia será 7 + 2 = 9, así que la figura 6 tendrá:
$$19 + \left(7 + 2\right)$$
Es decir:
$$28$$
Una fórmula que reproduce la tabla es $n^2 - 2n + 4$, con $n$ el número de la figura. Da los cinco datos:
Con $n = 1$:
$$1^{2} - 2 \cdot 1 + 4 = 3$$
Con $n = 2$:
$$2^{2} - 2 \cdot 2 + 4 = 4$$
Con $n = 3$:
$$3^{2} - 2 \cdot 3 + 4 = 7$$
Con $n = 4$:
$$4^{2} - 2 \cdot 4 + 4 = 12$$
Con $n = 5$:
$$5^{2} - 2 \cdot 5 + 4 = 19$$
Y con ella comprobamos la predicción para la figura 6:
$$6^{2} - 2 \cdot 6 + 4 = 28$$
Respuesta: La figura 6 tendrá 28 baldosas.
Ejemplo resuelto
Una tendencia exponencial
Una población de levaduras de un experimento inventado se cuenta cada hora, en miles de células: a las 0, 1, 2 y 3 horas hay 200, 300, 450 y 675. Si sigue igual, ¿cuántas habrá a las 5 horas?
Ver la solución paso a paso
Las primeras diferencias son 100, 150 y 225: no son iguales. Probamos con los cocientes sucesivos:
$$\frac{300}{200} = 1{,}5$$
El segundo:
$$\frac{450}{300} = 1{,}5$$
Y el tercero:
$$\frac{675}{450} = 1{,}5$$
En cada hora la población se multiplica por 1,5: el cambio es exponencial. A las 5 horas se habrá multiplicado cinco veces por 1,5 desde las 200 iniciales:
$$200 \cdot \left(1{,}5\right)^{5}$$
Son 1.518,75 miles de células:
$$1518{,}75$$
Respuesta: A las 5 horas habrá unas 1.519 mil células, si la tendencia se mantiene.
La población de levaduras, y = 200·1,5ˣ (x en horas, y en miles de células), pasa por los cuatro datos medidos y llega a 1.518,75 a las 5 horas. La recta y = 100x + 200 continúa la primera diferencia, 100 por hora: al principio se parecen, pero a las 5 horas la recta predice solo 700.
Predecir con cada tendencia
Una vez reconocida la tendencia, predecir es continuar el patrón:
- Lineal: se suma la diferencia constante tantas veces como pasos falten.
- Cuadrática: se continúan las primeras diferencias sumándoles cada vez la segunda diferencia, y luego se suman.
- Exponencial: se multiplica por el cociente constante tantas veces como pasos falten; eso es multiplicar por una potencia.
La figura muestra por qué la clase de cambio importa tanto. Con pocos datos, una tendencia exponencial y una lineal pueden parecer casi iguales. Pero una exponencial creciente (valores positivos y cociente mayor que 1) termina superando a cualquier lineal, por grande que sea la pendiente de la recta: lo que suma en cada paso se multiplica por el cociente, crece sin límite, y tarde o temprano es más que la pendiente de cualquier recta. Una exponencial con cociente entre 0 y 1, en cambio, decrece y no supera a una lineal creciente.
Hasta dónde vale una predicción
Estimar un valor dentro del rango de los datos medidos suele ser razonable. Predecir fuera de ese rango, que se llama extrapolar, es más arriesgado, y cuanto más lejos, peor. Tres preguntas ayudan a decidir:
- ¿Hay datos suficientes? Con tres datos casi cualquier tendencia parece posible. El último ejemplo lo muestra.
- ¿La situación puede seguir así? Una alcancía se llena, un tanque no baja de cero litros, una planta no crece para siempre y unas levaduras se quedan sin alimento. Ninguna tabla lo dice: lo dice el conocimiento de la situación.
- ¿La predicción tiene sentido? Si da una cantidad negativa de agua, una persona de cinco metros o más células de las que caben en el frasco, el modelo dejó de servir.
Una predicción honesta se presenta con sus condiciones: «si el ritmo se mantiene, a las 5 horas habrá unas 1.519 mil células».
Ejemplo resuelto
Los mismos datos, dos tendencias
Una tabla da $y = 2,\ 4,\ 8$ para $x = 1,\ 2,\ 3$. ¿Cuál será el valor para $x = 4$?
Ver la solución paso a paso
Los cocientes valen $4 \div 2 = 2$ y $8 \div 4 = 2$. Si el cambio es exponencial y se duplica en cada paso, el siguiente valor es:
$$8 \cdot 2 = 16$$
Una función que lo cumple es $2^x$:
$$2^{4} = 16$$
Pero las primeras diferencias son 2 y 4, y su segunda diferencia es 2. Si el cambio es cuadrático, la próxima primera diferencia es 4 + 2 = 6 y el siguiente valor es:
$$8 + \left(4 + 2\right) = 14$$
Una función que lo cumple es $x^2 - x + 2$, que también da los tres datos.
En $x = 1$:
$$1^{2} - 1 + 2 = 2$$
En $x = 2$:
$$2^{2} - 2 + 2 = 4$$
En $x = 3$:
$$3^{2} - 3 + 2 = 8$$
Y en $x = 4$ da el valor de la tendencia cuadrática:
$$4^{2} - 4 + 2 = 14$$
Las dos tendencias reproducen los tres datos y predicen cosas distintas. Para decidir hace falta un dato más o saber cómo funciona la situación.
Respuesta: Con solo tres datos no se puede decidir: la tendencia exponencial predice 16 y la cuadrática predice 14.
Las dos curvas pasan por los tres datos de la tabla. Recorre cada una hasta x = 4: la exponencial 2ˣ llega a 16 y la cuadrática x² − x + 2, a 14. Con solo tres datos, las dos tendencias valen.
Práctica
Una tienda vendió 5, 9, 13 y 17 cajas de mango en las semanas 1, 2, 3 y 4. Si la tendencia lineal se mantiene, ¿cuántas cajas venderá en la semana 10?
Las diferencias valen 4. De la semana 4 a la 10 hay 6 pasos: 17 + 4 · 6 = 41. El 45 sale de contar 7 pasos, y el 40 de multiplicar 4 por 10 olvidando el valor inicial.
Una tabla da y = 1, 3, 9, 19 y 33 para x = 0, 1, 2, 3 y 4. ¿Cuánto valen sus segundas diferencias?
Las primeras diferencias son 2, 6, 10 y 14; las segundas, 4, 4 y 4. Son constantes: el cambio es cuadrático.
Para la misma tabla, con y = 1, 3, 9, 19 y 33 en x = 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuánto valdrá y en x = 5 si la tendencia cuadrática se mantiene?
La próxima primera diferencia es 14 + 4 = 18, así que y = 33 + 18 = 51.
Un cultivo de bacterias de un laboratorio inventado tiene 80, 240, 720 y 2.160 bacterias en los días 0, 1, 2 y 3. Si la tendencia exponencial se mantiene, ¿cuántas habrá el día 5?
Cada día se multiplica por 3. El día 4 habrá 2.160 · 3 = 6.480 y el día 5, 6.480 · 3 = 19.440. El 5.040 sale de sumar dos veces la última diferencia, como si el cambio fuera lineal.
Una tabla da y = 2, 6, 18 y 54 para x = 0, 1, 2 y 3. ¿Verdadero o falso? La primera y la última de sus primeras diferencias son iguales, así que el cambio es lineal.
Las diferencias son 4, 12 y 36: no son iguales. Lo que se mantiene es el cociente, 3, así que el cambio es exponencial.
Un cultivo empieza con 500 células y en cada hora se multiplica por 1,2. Si la tendencia se mantiene, ¿cuántas células habrá a las 6 horas? Redondea a la unidad.
Se multiplica 6 veces por 1,2: 500 · 1,2⁶ = 500 · 2,985984 = 1.492,992, que redondeado da 1.493.
Ana ahorra 10 mil pesos cada semana: en las semanas 1, 2, 3 y 4 lleva 10, 20, 30 y 40 mil. Beto empieza con 1 mil pesos y duplica lo que tiene cada semana: en esas semanas lleva 1, 2, 4 y 8 mil. ¿Verdadero o falso? Si los dos siguen igual, en la semana 8 Beto ya tiene más dinero que Ana.
En la semana 8 Ana lleva 80 mil y Beto 1 · 2⁷ = 128 mil. Beto arranca muy atrás, pero su crecimiento exponencial termina superando al lineal de Ana.
Una mata de maíz crece 3 cm por día durante las primeras semanas, con un ritmo casi constante. Con esa tendencia lineal, alguien predice que a los 5 años medirá más de 50 metros. ¿Qué se puede decir de esa predicción?
La cuenta puede estar bien hecha y la predicción ser absurda. Los datos son de unas semanas; cinco años está muy fuera de ese rango, y la situación (una planta) no permite que el ritmo se mantenga.
En miles de pesos, una moto usada vale 1.000 en el año 0 y 800, 640 y 512 en los años 1, 2 y 3. Si la tendencia exponencial se mantiene, ¿cuánto valdrá en el año 4?
Cada año el valor se multiplica por 0,8: 512 · 0,8 = 409,6 mil pesos. El 384 sale de restar la última diferencia, 128, como si el cambio fuera lineal.
Un tanque tiene 900, 840, 780 y 720 litros a las 0, 1, 2 y 3 horas de abrir su llave. Si la tendencia lineal se mantiene, ¿a las cuántas horas de abrir la llave quedará vacío?
Pierde 60 litros por hora. A las 3 horas le quedan 720 litros, que se acaban en 720 ÷ 60 = 12 horas más: en total, 15 horas. El 12 olvida las 3 horas que ya pasaron. Después de las 15 horas la tendencia deja de valer: no hay litros negativos.
Reto
Completa la tendencia de cada tabla.
Toca cada hueco y elige la opción correcta.
Reto
¿Qué clase de cambio muestra cada tabla?
Cada ficha es una tabla con pasos iguales en x. Calcula diferencias o cocientes y llévala a su canasta.
Cierre
En resumen
En una tabla con pasos iguales en x, si las primeras diferencias son iguales el cambio es lineal.
Si las primeras diferencias cambian pero las segundas diferencias son iguales, el cambio es cuadrático.
Si los cocientes sucesivos son iguales, el cambio es exponencial; si los valores son positivos y el cociente es mayor que 1, con el tiempo supera a cualquier cambio lineal.
Para predecir se continúa el patrón; extrapolar lejos de los datos es arriesgado y una predicción se presenta con sus condiciones.
Pocos datos pueden admitir tendencias distintas; la situación ayuda a decidir cuál tiene sentido.
Vocabulario
- Primeras diferencias
Las restas entre cada valor de una tabla y el anterior.
- Segundas diferencias
Las restas entre cada primera diferencia y la anterior.
- Cociente sucesivo
La división entre cada valor de una tabla y el anterior.
- Tendencia
El patrón que siguen los datos y que permite estimar valores que no se han medido.
- Extrapolar
Predecir un valor fuera del rango en que se tomaron los datos. Es más arriesgado que estimar un valor dentro de ese rango.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuánto tendrá ahorrado en diciembre alguien que guarda lo mismo cada semana, y luego cuánto tendrá alguien que duplica su ahorro cada semana. Anote las intuiciones.
- Explicación · 20 min — Las tres pruebas con las tablas de la alcancía, las baldosas y las levaduras; la figura de la exponencial contra la recta; cierre con el ejemplo de los mismos datos y dos tendencias.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas con calculadora. Las canastas se pueden resolver en grupo pidiendo que cada pareja justifique una ficha.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una predicción con sus condiciones («si el ritmo se mantiene…») y una razón por la que podría fallar.
Preguntas para el salón
- Si una tabla tiene los valores de x desordenados o con saltos distintos, ¿sirven las pruebas de las diferencias y los cocientes? ¿Por qué?
- ¿Por qué una tendencia exponencial creciente (cociente mayor que 1) termina superando a cualquier tendencia lineal? ¿Pasa lo mismo si el cociente está entre 0 y 1?
- Den un ejemplo de una situación de su casa o del barrio en la que una tendencia no pueda seguir para siempre.
Errores típicos
- Concluir que el cambio es lineal mirando solo dos diferencias, o solo la primera y la última. Exija calcular todas las diferencias de la tabla antes de decidir.
- Confundir crecimiento exponencial con crecimiento cuadrático porque los dos crecen cada vez más rápido. Pida que calculen a la vez segundas diferencias y cocientes, y vean cuál de las dos pruebas da valores iguales.
- Contar mal los pasos al predecir: sumar la diferencia tantas veces como el número de la semana pedida. Pida que escriban desde qué valor de x parten y cuántos pasos faltan hasta el que se pide.
- Tomar una predicción lejana como un hecho seguro. Use la mata de maíz: pregunte si alguien ha visto una de 50 metros y qué se supuso para llegar a ese número.
Tarea sugerida
Inventar tres tablas de cinco valores, una lineal, una cuadrática y una exponencial, con una situación para cada una; predecir el sexto valor de cada tabla y escribir hasta dónde creen que vale cada predicción y por qué.