Muestras aleatorias
Lo que vas a aprender
- Distinguir población de muestra y parámetro de estadígrafo en un estudio.
- Seleccionar una muestra por muestreo aleatorio simple, sistemático o estratificado.
- Estimar un parámetro de la población a partir de un estadígrafo de la muestra.
- Señalar las fallas de selección o de tamaño en las conclusiones de un estudio.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El consejo estudiantil del colegio Los Guayacanes, un colegio inventado, quiere saber si vale la pena construir un parqueadero de bicicletas. Preguntarles a todos los estudiantes tomaría semanas. Preguntarles solo a los amigos del presidente del consejo sería rápido, pero la respuesta no diría nada sobre el colegio entero.
La estadística tiene una salida: escoger al azar a una parte de los estudiantes, preguntarles a ellos y, con lo que respondan, estimar lo que pasa en todo el colegio. Así trabajan las encuestas de opinión, los controles de calidad de una fábrica y los estudios de salud. En esta lección vas a aprender a escoger esa parte, a sacar conclusiones de ella y a desconfiar con argumentos de las conclusiones mal sacadas.
Antes de empezar repasa cómo se calcula un porcentaje y cómo se halla una media.
Explicación
Población, muestra, parámetro y estadígrafo
La población es el conjunto completo sobre el que quieres concluir algo: todos los estudiantes del colegio, todos los bombillos que salieron hoy de una fábrica, todas las familias de un barrio. La muestra es la parte de la población a la que de verdad le tomas los datos.
Un número que describe a la población entera se llama parámetro: la media de horas de sueño de todos los estudiantes, o el porcentaje de todas las familias del barrio que tienen mascota. Casi nunca se conoce, porque para conocerlo habría que medir a toda la población.
Un número calculado con los datos de la muestra se llama estadígrafo (también se le dice estadístico). La media de la muestra y el porcentaje de la muestra son estadígrafos. La idea central de esta lección es que el estadígrafo sirve para estimar el parámetro, siempre que la muestra se haya escogido bien.
Para no confundirlos, se usan letras distintas: la media de la población se escribe $\mu$ y la de la muestra, $\bar{x}$; el tamaño de la población se escribe $N$ y el de la muestra, $n$.
¿Qué es una muestra aleatoria?
Una muestra es aleatoria cuando cada elemento de la población tiene la misma oportunidad de quedar escogido, y la decide el azar, no la persona que hace el estudio. Si el encuestador escoge a quien le cae bien o a quien está más cerca, la muestra queda sesgada: deja por fuera a una parte de la población y los resultados se inclinan siempre hacia el mismo lado.
Hay tres maneras comunes de escoger una muestra aleatoria.
Muestreo aleatorio simple. Se numera toda la población, de $1$ a $N$, y se sortean $n$ números distintos: con papeletas en una bolsa, con una tabla de números aleatorios o con la función de azar de una hoja de cálculo. Es el método más sencillo de explicar, pero exige tener la lista completa.
Muestreo sistemático. Se ordena la lista y se calcula el salto $k = \dfrac{N}{n}$. Se sortea un número de arranque entre $1$ y $k$, y desde ahí se toma un elemento de cada $k$. Si $\dfrac{N}{n}$ no da un número entero, se toma como salto la parte entera y se sigue de $k$ en $k$ hasta completar los $n$. Los números escogidos forman una progresión aritmética de diferencia $k$. Es muy práctico con listas largas, pero falla si la lista tiene un patrón que se repite justo cada $k$ puestos.
Muestreo estratificado. Se parte la población en estratos, grupos que se parecen por dentro y se diferencian entre sí (por ejemplo, primaria, secundaria y media), y se sortea una muestra dentro de cada estrato. En la versión proporcional, cada estrato aporta a la muestra la misma fracción de sus integrantes:
$$n_{\text{estrato}} = n \cdot \frac{N_{\text{estrato}}}{N}$$
Así ningún grupo queda por fuera ni tiene más peso del que le corresponde.
El tamaño de la muestra y la variabilidad entre muestras
Si diez compañeros sacan cada uno su propia muestra aleatoria del mismo colegio, van a obtener diez estadígrafos distintos. No es que alguno se haya equivocado: el azar hace que cada muestra salga un poco diferente. A eso se le llama variabilidad entre muestras.
Esa variabilidad se reduce cuando la muestra es más grande: los estadígrafos de muestras grandes quedan más cerca unos de otros y más cerca del parámetro. Pero ojo con esto: una muestra grande y sesgada sigue siendo sesgada. Mil respuestas de personas que se ofrecieron solas no valen más que cien respuestas escogidas al azar.
Leer un estudio con ojo crítico
Cuando leas una conclusión del tipo «el 80 % de los jóvenes prefiere…», hazte estas preguntas antes de creerla:
- ¿Cuál es la población de la que se habla, y es la misma de la que salió la muestra?
- ¿Cómo se escogió la muestra? ¿Al azar, o respondió quien quiso?
- ¿De qué tamaño fue la muestra?
- ¿La conclusión se queda en lo que los datos permiten, o generaliza de más?
Ejemplo resuelto
Una muestra sistemática
Los Guayacanes tiene 840 estudiantes en una lista numerada y el consejo quiere una muestra sistemática de 60. Halla el salto, y si el arranque sorteado es el 9, di cuál es el último estudiante escogido.
Ver la solución paso a paso
El salto es el tamaño de la población dividido entre el de la muestra: $\frac{840}{60}$
$14$
Se escogen los números 9, 23, 37, 51… Cada uno es el anterior más 14. El estudiante número 60 de la muestra está 59 saltos después del primero: $9 + 59 \cdot 14$
$835$
Como 835 no pasa de 840, los 60 números caben en la lista.
Respuesta: El salto es 14 y el último estudiante escogido es el número 835 de la lista.
Ejemplo resuelto
Una muestra estratificada proporcional
De los 840 estudiantes, 420 son de primaria, 280 de secundaria y 140 de media. ¿Cuántos estudiantes de cada nivel debe tener una muestra estratificada proporcional de 60?
Ver la solución paso a paso
Primero, la fracción de la población que entra en la muestra: $\frac{60}{840}$
$\frac{1}{14}$
Cada estrato aporta esa misma fracción. Primaria: $\frac{420}{14}$
$30$
Secundaria: $\frac{280}{14}$
$20$
Media: $\frac{140}{14}$
$10$
Comprobamos que entre los tres completan la muestra:
$$30 + 20 + 10 = 60$$
Respuesta: 30 estudiantes de primaria, 20 de secundaria y 10 de media, sorteados dentro de cada nivel.
Saca muestras al azar de 60 estudiantes de Los Guayacanes. En promedio salen 30 de primaria, 20 de secundaria y 10 de media, las cuotas del ejemplo, pero cada muestra sale un poco distinta. El muestreo estratificado fija esas cuotas y sortea dentro de cada nivel.
Ejemplo resuelto
Del estadígrafo al parámetro
En la muestra aleatoria de 60 estudiantes, 21 dicen que usarían el parqueadero de bicicletas. Estima cuántos estudiantes de los 840 lo usarían. Después, otra muestra aleatoria de 60 da 18 respuestas afirmativas: ¿qué estimación da esa?
Ver la solución paso a paso
La proporción de la muestra es un estadígrafo: $\frac{21}{60}$
$0{,}35$
Si la muestra representa bien al colegio, en la población la proporción debe ser parecida. Estimamos el número de estudiantes: $0{,}35 \cdot 840$
$294$
Con la segunda muestra, la proporción es $\frac{18}{60}$
$0{,}3$
y la estimación, $0{,}3 \cdot 840$
$252$
Las dos muestras se escogieron bien y aun así no coinciden: es la variabilidad entre muestras. Lo honesto es decir que el número real está alrededor de esas cifras, no que es exactamente una de ellas.
Respuesta: La primera muestra estima unos 294 usuarios y la segunda, unos 252. El parámetro es desconocido; las dos son estimaciones.
Práctica
La tienda escolar quiere saber cuántos estudiantes del colegio comprarían avena en el descanso. Sortea 50 nombres de la lista del colegio y les pregunta a ellos. ¿Cuál es la población del estudio?
La población es el conjunto sobre el que se quiere concluir: todo el colegio. Los 50 sorteados son la muestra, y los que compran avena es justo lo que se quiere averiguar.
En la encuesta de la tienda, 19 de los 50 sorteados dicen que sí comprarían avena, es decir, el 38 % de la muestra. ¿Qué es ese 38 %?
Se calculó con los datos de los 50 encuestados, así que es un estadígrafo. El parámetro sería el porcentaje de todo el colegio, que no se conoce; el 38 % sirve para estimarlo.
Un colegio tiene 1200 estudiantes en una lista y quiere una muestra sistemática de 80. ¿Cada cuántos estudiantes de la lista debe tomar uno?
El salto es k = N ÷ n = 1200 ÷ 80 = 15: se sortea un arranque entre 1 y 15 y desde ahí se toma uno de cada 15.
En una muestra sistemática con salto 15, el arranque sorteado fue el estudiante 7 de la lista. ¿Qué número de lista tiene el quinto estudiante escogido?
Los escogidos son 7, 22, 37, 52 y 67: el quinto está cuatro saltos después del primero, 7 + 4 · 15 = 67.
Un colegio tiene 250 estudiantes en la jornada de la mañana y 150 en la de la tarde. Quiere una muestra estratificada proporcional de 40 estudiantes. ¿Cuántos deben ser de la jornada de la mañana?
La población es 250 + 150 = 400. La mañana es 250/400 del colegio, así que aporta 40 · 250/400 = 25 estudiantes; la tarde aporta los otros 15.
Una población tiene tres estratos de 300, 500 y 200 personas. ¿Verdadero o falso? En una muestra estratificada proporcional de 50, del estrato de 500 se toman 20 personas.
El estrato de 500 es la mitad de las 1000 personas, así que aporta la mitad de la muestra: 50 · 500/1000 = 25, no 20.
En una muestra aleatoria de 80 estudiantes de un colegio de 1200, 12 dicen que llegan en bicicleta. ¿Cuántos estudiantes del colegio estimas que llegan en bicicleta?
La proporción de la muestra es 12/80 = 0,15. Si el colegio se parece a la muestra, se estiman 0,15 · 1200 = 180 estudiantes.
Cuatro parejas de 10.º sacaron cada una una muestra aleatoria de cinco estudiantes y anotaron sus horas de sueño (datos inventados). La muestra de una pareja fue 7; 6; 8; 7; 5. ¿Cuál es la media de esa muestra?
La suma es 33 y hay 5 datos: 33 ÷ 5 = 6,6 horas. 7 es la mediana y la moda, y 33 es la suma. Las otras parejas obtendrán medias algo distintas: es la variabilidad entre muestras.
De una población de 900 familias se escoge una muestra de 45. ¿Qué porcentaje de la población quedó en la muestra?
45/900 = 0,05, que es el 5 %. El 20 sale de dividir al revés, 900 ÷ 45, que es el salto de una muestra sistemática.
Para pensar
Una emisora juvenil inventada pidió a sus oyentes votar por mensaje de texto si están de acuerdo con ampliar la jornada escolar. Llegaron 2000 mensajes y el 80 % dijo que no. La emisora concluyó que el 80 % de los estudiantes del país rechaza la idea. ¿Cuál es la falla principal del estudio?
Reto
¿Qué método de muestreo es?
Lleva cada descripción a su canasta. Pregúntate si se sortea en toda la lista, de k en k, o dentro de cada grupo.
Reto
Abre el candado del muestreo.
Cada pista da un dígito de la clave.
Reto
El crucigrama del muestreo.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
La población es todo el conjunto que se estudia; la muestra es la parte a la que se le toman los datos.
Un parámetro describe a la población y casi nunca se conoce; un estadígrafo se calcula con la muestra y sirve para estimarlo.
Una muestra es aleatoria si decide el azar; puede ser simple, sistemática (salto k = N/n) o estratificada.
Dos muestras aleatorias dan estadígrafos distintos; la variabilidad baja cuando la muestra crece.
Una muestra grande pero sesgada no sirve para concluir sobre la población.
Vocabulario
- Población
El conjunto completo de personas, objetos o hechos sobre los que se quiere sacar una conclusión.
- Muestra
La parte de la población a la que de verdad se le toman los datos.
- Parámetro
Un número que describe a toda la población, como la media o el porcentaje de la población. Casi siempre es desconocido.
- Estadígrafo
Un número calculado con los datos de la muestra. Sirve para estimar el parámetro.
- Sesgo
Un error que empuja los resultados siempre hacia el mismo lado, por ejemplo porque la muestra deja por fuera a una parte de la población.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo averiguaría el consejo estudiantil la opinión del colegio sin preguntarle a todos. Anote en el tablero las propuestas y deje para después cuáles son justas.
- Explicación · 20 min — Población, muestra, parámetro y estadígrafo; los tres métodos con los dos primeros ejemplos. Insista en que el estadígrafo cambia de muestra a muestra y el parámetro no.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Para la pregunta de las horas de sueño, pida que cada pareja saque de verdad una muestra de cinco compañeros y comparen las medias en el tablero.
- Cierre · 5 min — Lean juntos la pregunta de la emisora y pida que cada estudiante escriba una frase con la falla del estudio y otra con cómo lo habría hecho.
Preguntas para el salón
- Si dos compañeros sacan muestras aleatorias del mismo colegio y les da distinto, ¿alguno se equivocó?
- ¿Por qué no basta con preguntarles a los primeros 60 que lleguen al colegio en la mañana?
- ¿Qué gana un estudio al estratificar por grados en vez de sortear en toda la lista?
- ¿Una muestra de 5000 personas que se ofrecieron solas vale más que una de 300 sorteadas?
- Un colegio tiene 12 grados de 40 estudiantes cada uno. Para escoger a 24 estudiantes, se separa la lista por grados y se sortean 2 estudiantes en cada grado. ¿Qué método de muestreo se usó? ¿Qué habría que cambiar si los grados fueran de distinto tamaño?
Errores típicos
- Confundir el estadígrafo con el parámetro y dar la estimación como si fuera el valor exacto de la población. Pida que escriban siempre «se estima que…» o «alrededor de…» y que comparen la estimación de dos muestras distintas.
- Creer que una muestra grande corrige cualquier problema. Contraste una encuesta enorme por redes sociales con una pequeña sorteada de la lista, y pregunte a quién deja por fuera cada una.
- En el muestreo sistemático, calcular el salto como n ÷ N. Recuerde que el salto dice cada cuántos de la lista se toma uno, así que tiene que ser mayor que 1: población entre muestra.
- En el estratificado proporcional, tomar el mismo número de personas en cada estrato aunque los estratos sean de distinto tamaño. Haga calcular qué fracción de la población es cada estrato y pida que la muestra conserve esas fracciones.
Tarea sugerida
Diseñar, por escrito, una muestra estratificada proporcional de 40 estudiantes del propio colegio (con un número de estudiantes por grado inventado o consultado en secretaría), explicar cómo se sortearía dentro de cada grado y qué pregunta se le haría a la muestra.