Medidas de tendencia central y sus propiedades

¿Para qué sirve esto?

Al final de cada periodo, tu nota en una asignatura no es el promedio simple de todas tus notas: el examen suele pesar más que un taller. Cuando un profesor decide subirle medio punto a todo el curso, todos los promedios cambian, pero ¿cambian todos igual? Y cuando un dato es muy distinto del resto, como el día de la feria en las ventas de la tienda escolar, ¿qué número describe mejor un día normal?

En 9.º aprendiste a calcular la media, la mediana y la moda. Ahora vas a usarlas con más criterio: a darle a cada dato el peso que le toca, a anticipar qué les pasa a esas medidas cuando todos los datos cambian de la misma manera y a escoger la que mejor cuenta lo que pasa.

Antes de empezar repasa cómo se ordenan datos y cómo se escribe un porcentaje como decimal (40 % es 0,4).

Tres maneras de decir «lo típico»

Las tres medidas de tendencia central responden a la misma pregunta, cada una a su manera.

• La media $\bar{x}$ es la suma de los datos dividida entre cuántos son. Es el punto de equilibrio: si pones los datos como pesas sobre una regla, la regla se equilibra en la media. Por eso las diferencias de los datos con la media, unas positivas y otras negativas, siempre suman cero.
• La mediana es el dato del centro cuando los datos están ordenados (o el promedio de los dos centrales, si son una cantidad par). Deja la mitad de los datos a cada lado. No le importa qué tan lejos estén los extremos, solo de qué lado quedan.
• La moda es el dato que más se repite. Es la única que sirve para datos cualitativos sin orden, como el color favorito. Con categorías que sí tienen orden, como las tallas S, M y L, también se puede hallar la mediana.

La media ponderada

A veces los datos no cuentan lo mismo. Si el examen vale el 50 % de la nota y el taller el 20 %, el examen debe influir más. La media ponderada multiplica cada dato $x_i$ por su peso $w_i$ y divide entre la suma de los pesos:

$$\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \cdots + w_k}$$

Cuando los pesos son porcentajes que suman 100 %, el denominador es 100 (o 1, si los escribes como decimales). La media de una tabla de frecuencias es también una media ponderada: cada valor pesa tantas veces como se repite.

Un error común es sacar el promedio simple de las notas y olvidar los pesos. Otro es dividir entre el número de notas en vez de dividir entre la suma de los pesos.

¿Qué pasa si todos los datos cambian igual?

Sumar una constante. Si a cada dato le sumas el mismo número $c$, toda la lista se corre $c$ unidades hacia la derecha. La media, la mediana y la moda se corren exactamente lo mismo: las tres aumentan en $c$. Lo que no cambia es qué tan separados están los datos entre sí; por eso, como verás en la próxima lección, la desviación no cambia.

Multiplicar por un número. Si cada dato se multiplica por $k$, como al pasar notas de una escala de 10 a una de 100 o horas a minutos, la media, la mediana y la moda también se multiplican por $k$. Y si haces las dos cosas, multiplicar por $k$ y después sumar $c$, cada medida de tendencia central pasa de $m$ a $k \cdot m + c$.

Estas propiedades ahorran trabajo: no hace falta recalcular todo después de un cambio de unidades o de una bonificación pareja.

Los datos atípicos

La media usa el valor de todos los datos, así que un solo dato muy alejado la arrastra hacia él. La mediana solo mira el orden: si el dato más grande crece todavía más, la mediana ni se entera. Por eso se dice que la mediana es una medida resistente y la media no.

¿Cuál usar, entonces?

• Si los datos están repartidos de forma pareja, la media aprovecha toda la información y es la más usada.
• Si hay atípicos o los datos se amontonan hacia un lado (como los ingresos de un barrio, donde unos pocos ganan muchísimo), la mediana describe mejor el caso típico.
• Si los datos son categorías o interesa el valor más frecuente, la moda.

Lo más honesto suele ser dar más de una medida. Cuando la media y la mediana están muy separadas, eso mismo ya es una información valiosa: avisa que hay datos extremos.

En resumen

• La media es el punto de equilibrio de los datos, la mediana deja la mitad a cada lado y la moda es el valor más frecuente.

• La media ponderada multiplica cada dato por su peso y divide entre la suma de los pesos; la media de una tabla de frecuencias es una media ponderada.

• Si a todos los datos se les suma c, las tres medidas aumentan en c; si se multiplican por k, las tres quedan multiplicadas por k.

• La media se deja arrastrar por los datos atípicos; la mediana es resistente.

• Dar la media y la mediana juntas dice más que cualquiera de las dos sola.

Vocabulario

Media ponderada

Promedio en el que cada dato se multiplica por su peso, y la suma se divide entre la suma de los pesos.

Peso

El número que dice cuánto cuenta un dato dentro de una media ponderada: un porcentaje, una cantidad de créditos o una frecuencia.

Dato atípico

Un dato muy alejado de los demás, que puede deberse a un caso especial o a un error de registro.

Medida resistente

Una medida que cambia poco cuando aparece un dato atípico. La mediana es resistente; la media no.