Medidas de dispersión: varianza, desviación y coeficiente de variación
Lo que vas a aprender
- Calcular el rango, la varianza y la desviación poblacionales de un conjunto de datos.
- Calcular el coeficiente de variación y usarlo para comparar conjuntos con medias distintas.
- Predecir el efecto de sumar una constante o de multiplicar por un número sobre la desviación y la varianza.
- Describir un conjunto de datos con una medida de centro y una de dispersión.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Dos buses inventados hacen la misma ruta y los dos tardan, en promedio, 40 minutos. Con el primero llegas siempre entre 38 y 42 minutos; con el segundo, a veces en 25 y a veces en 60. Si tienes que llegar a un examen, ¿cuál tomas? La media dice que son iguales, pero tú sabes que no lo son.
Lo que los distingue es la dispersión: qué tan lejos de la media caen los datos. Medirla sirve para saber si un proceso es confiable, si un curso tiene notas parejas o muy desiguales y si una máquina de una fábrica está empacando siempre lo mismo. En esta lección vas a medir la dispersión con tres números y a comparar conjuntos de datos aunque tengan medias muy distintas.
Antes de empezar repasa cómo se calcula una media y cómo se saca una raíz cuadrada con la calculadora.
Explicación
El rango
El rango es el dato mayor menos el dato menor. Es la medida más rápida, pero solo mira dos datos: si uno de ellos es atípico, el rango se dispara aunque todos los demás estén juntos.
La varianza
Para usar todos los datos, se mide la distancia de cada uno a la media, $x_i - \bar{x}$. Esas diferencias no se pueden simplemente sumar: unas son positivas, otras negativas, y su suma siempre da cero. Por eso se elevan al cuadrado antes de promediarlas. La varianza es el promedio de esos cuadrados:
$$\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$$
En este curso usamos la varianza poblacional: se divide entre $n$, el número de datos. Algunas calculadoras y hojas de cálculo traen también otra versión que divide entre $n - 1$, pensada para estimar la varianza de una población desde una muestra. Cuando uses una herramienta, revisa cuál de las dos te está dando.
Una forma práctica de organizar la cuenta es una tabla con tres columnas: el dato, su distancia a la media y esa distancia al cuadrado.
La desviación
Como la varianza eleva al cuadrado, sus unidades también quedan al cuadrado: si los datos son minutos, la varianza está en «minutos al cuadrado», que no se pueden imaginar. La desviación (en calculadoras, hojas de cálculo y pruebas Saber aparece como desviación estándar o desviación típica) arregla eso sacando la raíz cuadrada:
$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$
La desviación está en las mismas unidades que los datos y se lee como la distancia típica de un dato a la media. Una desviación pequeña quiere decir datos apretados alrededor de la media; una grande, datos repartidos.
Propiedades de la dispersión
- Sumar una constante a todos los datos no cambia la dispersión. Toda la lista se corre junta, la media se corre lo mismo y cada distancia a la media queda igual. La varianza, la desviación y el rango no cambian.
- Multiplicar todos los datos por $k$ multiplica la desviación y el rango por $|k|$, y la varianza por $k^2$. El valor absoluto aparece porque una distancia nunca es negativa: multiplicar por $-2$ voltea la lista, pero la separa el doble, no «menos el doble».
Así, si pasas temperaturas de grados Celsius a grados Fahrenheit con $F = 1{,}8\,C + 32$, la media se transforma con la misma fórmula, pero la desviación solo se multiplica por $1{,}8$: el $32$ no la toca.
El coeficiente de variación
¿Varía más el peso de unas hormigas o el de unos elefantes? En gramos, la desviación de los elefantes es enorme, pero eso no quiere decir que sean más variables: es que pesan muchísimo más. Para comparar la dispersión de conjuntos con medias distintas, o medidos en unidades distintas, se usa el coeficiente de variación:
$$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$$
El CV dice qué tan grande es la desviación comparada con la media. Como las unidades se cancelan, no tiene unidades, y suele escribirse en porcentaje: un CV de $0{,}25$ es un 25 %. Solo tiene sentido con datos positivos, como tiempos, pesos o precios.
Leer centro y dispersión juntos
Una media sola no describe un conjunto de datos, y una desviación sola tampoco. Lo útil es darlas juntas: «los buses tardan en promedio 40 minutos, con una desviación de 2 minutos» dice mucho más que cualquiera de los dos números por separado.
Ejemplo resuelto
Varianza y desviación paso a paso
Una atleta corrió cinco vueltas a la pista del colegio y anotó sus tiempos en segundos (datos inventados): 52; 48; 55; 50; 45. Halla el rango, la varianza y la desviación.
Ver la solución paso a paso
El rango es el mayor menos el menor: $55 - 45$
$10$
La media: $\frac{52 + 48 + 55 + 50 + 45}{5}$
$50$
Las distancias a la media son 2, −2, 5, 0 y −5. La varianza es el promedio de sus cuadrados: $\frac{\left(52 - 50\right)^{2} + \left(48 - 50\right)^{2} + \left(55 - 50\right)^{2} + \left(50 - 50\right)^{2} + \left(45 - 50\right)^{2}}{5}$
$\frac{4 + 4 + 25 + 0 + 25}{5}$
$\frac{58}{5}$
$11{,}6$ segundos al cuadrado.
La desviación es la raíz de la varianza: $\sqrt{11{,}6}$, que con la calculadora da unos 3,41 segundos.
Respuesta: El rango es 10 s, la varianza 11,6 s² y la desviación unos 3,41 s: una vuelta típica se aleja unos 3,4 segundos del promedio de 50.
Ejemplo resuelto
Comparar con el coeficiente de variación
Durante cinco días, Sara anotó los minutos que tarda en llegar a pie al colegio: 5; 7; 9; 11; 8. Julián, que viene en bus de una vereda, anotó: 34; 38; 42; 46; 40 (datos inventados). ¿Cuál de los dos tiene un tiempo de llegada más variable?
Ver la solución paso a paso
La media de Sara: $\operatorname{media}\left(\left[5;\ 7;\ 9;\ 11;\ 8\right]\right)$
$8$
Su desviación: $σ\left(\left[5;\ 7;\ 9;\ 11;\ 8\right]\right)$
$\sqrt{\frac{\left(5 - 8\right)^{2} + \left(7 - 8\right)^{2} + \left(9 - 8\right)^{2} + \left(11 - 8\right)^{2} + \left(8 - 8\right)^{2}}{5}}$
$\sqrt{\frac{20}{5}}$
$2$ minutos.
La media de Julián: $\operatorname{media}\left(\left[34;\ 38;\ 42;\ 46;\ 40\right]\right)$
$40$
Su desviación: $σ\left(\left[34;\ 38;\ 42;\ 46;\ 40\right]\right)$
$\sqrt{\frac{\left(34 - 40\right)^{2} + \left(38 - 40\right)^{2} + \left(42 - 40\right)^{2} + \left(46 - 40\right)^{2} + \left(40 - 40\right)^{2}}{5}}$
$\sqrt{\frac{80}{5}}$
$4$ minutos. La desviación de Julián es el doble, pero su media es cinco veces mayor.
Coeficiente de variación de Sara: $\frac{2}{8}$
$0{,}25$, es decir, 25 %.
Coeficiente de variación de Julián: $\frac{4}{40}$
$0{,}1$, es decir, 10 %.
Respuesta: En minutos, el tiempo de Julián varía más (4 contra 2), pero en relación con lo que tarda, el de Sara es más variable: su CV es 25 % y el de Julián, 10 %.
Ejemplo resuelto
Cambiar de Celsius a Fahrenheit
Las temperaturas máximas de cinco días en un municipio inventado fueron 14; 16; 15; 13; 17 grados Celsius, con media 15. Halla su varianza y su desviación, y después la desviación de las mismas temperaturas en grados Fahrenheit (F = 1,8C + 32).
Ver la solución paso a paso
La varianza en grados Celsius: $σ²\left(\left[14;\ 16;\ 15;\ 13;\ 17\right]\right)$
$\frac{\left(14 - 15\right)^{2} + \left(16 - 15\right)^{2} + \left(15 - 15\right)^{2} + \left(13 - 15\right)^{2} + \left(17 - 15\right)^{2}}{5}$
$\frac{10}{5}$
$2$
La desviación es $\sqrt{2}$, unos 1,41 grados Celsius.
Pasamos cada dato a Fahrenheit y calculamos la desviación de la lista nueva: $σ\left(\left[1{,}8 \cdot 14 + 32;\ 1{,}8 \cdot 16 + 32;\ 1{,}8 \cdot 15 + 32;\ 1{,}8 \cdot 13 + 32;\ 1{,}8 \cdot 17 + 32\right]\right)$
Da lo mismo que multiplicar la desviación anterior por 1,8, sin que el 32 cuente para nada: $1{,}8\sqrt{2}$, unos 2,55 grados Fahrenheit.
Respuesta: En Celsius, varianza 2 y desviación √2 ≈ 1,41; en Fahrenheit, la desviación es 1,8√2 ≈ 2,55. Sumar 32 no cambió la dispersión; multiplicar por 1,8 la multiplicó por 1,8.
Práctica
Los puntajes de cinco equipos en un concurso de matemáticas fueron (datos inventados): 18; 25; 12; 30; 21. ¿Cuál es el rango?
El mayor es 30 y el menor 12: 30 − 12 = 18.
Calcula la varianza poblacional de los datos 2; 4; 6; 8.
La media es 5. Los cuadrados de las distancias son 9, 1, 1 y 9, que suman 20. Se divide entre los 4 datos: 20 ÷ 4 = 5.
Calcula la desviación poblacional de los datos 3; 5; 6; 10. Escribe el resultado redondeado a la centésima.
La media es 6. Los cuadrados de las distancias son 9, 1, 0 y 16, que suman 26. La varianza es 26 ÷ 4 = 6,5 y la desviación, √6,5 ≈ 2,55.
Un conjunto de datos tiene media 50 y desviación 5. ¿Cuál es su coeficiente de variación, escrito como porcentaje?
CV = σ ÷ x̄ = 5 ÷ 50 = 0,1, que es el 10 %. Dividir al revés, 50 ÷ 5, da 1000 %.
Calcula el coeficiente de variación de los datos 10; 12; 14, en porcentaje y redondeado a la décima.
La media es 12 y la varianza (4 + 0 + 4) ÷ 3 = 8/3, así que σ = √(8/3) ≈ 1,633. El CV es 1,633 ÷ 12 ≈ 0,136, un 13,6 %.
¿Verdadero o falso? Si a cada dato de la lista 4; 9; 11 se le suma 6, la desviación aumenta en 6.
La media aumenta en 6, pero cada dato sigue a la misma distancia de la media. La desviación no cambia.
¿Verdadero o falso? Si cada dato de la lista 1; 3; 8 se multiplica por −2, la desviación queda multiplicada por 2.
Multiplicar por k multiplica la desviación por |k|. Con k = −2, la lista se voltea pero sus datos quedan el doble de separados: la desviación se multiplica por |−2| = 2.
La varianza de un conjunto de datos es 9. Si todos los datos se multiplican por 3, ¿cuál es la nueva varianza?
La desviación pasa de 3 a 3 · 3 = 9, y la varianza, que es su cuadrado, de 9 a 81: queda multiplicada por 3² = 9, no por 3.
Las notas de un curso tienen media 3,4 y desviación 0,5. El profesor le suma 0,3 a la nota de todos los estudiantes. ¿Cuál es la nueva desviación?
La media sube a 3,7, pero todas las notas se corren lo mismo y las distancias a la media no cambian: la desviación sigue siendo 0,5.
El grupo A tiene media 20 y desviación 4; el grupo B, media 80 y desviación 8. ¿Verdadero o falso? En relación con su media, el grupo A varía más que el B, aunque su desviación sea menor.
El CV de A es 4 ÷ 20 = 20 % y el de B, 8 ÷ 80 = 10 %. Comparada con su media, la dispersión de A es el doble.
Dos cursos inventados tienen la misma media en Matemáticas, 3,5. La desviación del curso A es 0,2 y la del curso B es 0,9. ¿Qué se puede concluir?
La desviación no dice si las notas son buenas o malas, sino qué tan separadas están de la media. En A casi todos están cerca de 3,5; en B hay notas muy distintas entre sí.
¿En cuál de estas situaciones conviene comparar con el coeficiente de variación en vez de con la desviación?
Las estaturas de los dos grupos tienen medias muy distintas, así que la desviación sola no es justa: el CV compara la dispersión en relación con cada media. Con la misma media, la desviación ya basta.
Reto
Abre el candado de la dispersión.
Cada pista da un dígito de la clave. Recuerda que la varianza del curso divide entre n.
Reto
Une cada medida con su valor.
Calcula primero la media de cada lista.
Cierre
En resumen
El rango es el mayor menos el menor y solo mira los extremos.
La varianza poblacional es el promedio de los cuadrados de las distancias a la media, dividiendo entre n; la desviación es su raíz y queda en las unidades de los datos.
Sumar una constante a todos los datos no cambia la dispersión; multiplicarlos por k multiplica la desviación por |k| y la varianza por k².
El coeficiente de variación, σ dividida entre la media, compara la dispersión de conjuntos con medias o unidades distintas.
Un conjunto de datos se describe bien con una medida de centro y una de dispersión juntas.
Vocabulario
- Dispersión
Qué tan separados están los datos entre sí y respecto a su media.
- Varianza poblacional
El promedio de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media, dividiendo entre el número de datos, n. Se escribe σ².
- Desviación
La raíz cuadrada de la varianza, σ. Queda en las mismas unidades que los datos. También se llama desviación estándar o desviación típica.
- Coeficiente de variación
La desviación dividida entre la media, CV = σ/x̄. No tiene unidades y suele escribirse en porcentaje.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la situación de los dos buses con la misma media y pregunte cuál tomarían para un examen. Que justifiquen sin hacer cuentas.
- Explicación · 20 min — Varianza con la tabla de tres columnas (dato, distancia, distancia al cuadrado) usando el primer ejemplo en el tablero. Después el coeficiente de variación con el ejemplo de Sara y Julián.
- Práctica · 25 min — Preguntas en parejas con calculadora. Si hay computadores, pida que comprueben una varianza en una hoja de cálculo y que identifiquen cuál de las dos funciones divide entre n.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante escriba una frase que describa los tiempos de la atleta del primer ejemplo con una medida de centro y una de dispersión.
Preguntas para el salón
- ¿Puede la varianza ser negativa? ¿Puede ser cero? ¿Qué querría decir que sea cero?
- Si el profesor sube media nota a todos, ¿el curso queda más parejo, menos parejo o igual?
- ¿Por qué la desviación de unos pesos en gramos es mil veces la de los mismos pesos en kilogramos?
- ¿Qué grupo es más variable: uno con media 10 y desviación 2, u otro con media 100 y desviación 10?
Errores típicos
- Sumar las distancias a la media sin elevarlas al cuadrado, y obtener cero. Deje que lo hagan, pregunte por qué da cero siempre y úselo para justificar los cuadrados.
- Dividir entre n − 1 porque así lo da la calculadora o la hoja de cálculo. Muestre las dos funciones de la herramienta con los mismos datos y acuerde que en el curso se usa la poblacional, la que divide entre n.
- Creer que sumar una constante aumenta la desviación. Dibuje los datos en una recta numérica, córralos todos juntos y pregunte si cambiaron las distancias entre ellos.
- Multiplicar la varianza por k en lugar de por k², o dar una desviación negativa al multiplicar por un k negativo. Pida que comprueben con una lista de dos datos y recuerde que una distancia nunca es negativa.
- Comparar las desviaciones de dos grupos con medias muy distintas. Proponga el caso de las hormigas y los elefantes y pida el coeficiente de variación de cada grupo.
Tarea sugerida
Anotar durante cinco días cuántos minutos tarda en llegar al colegio, calcular la media, la desviación y el coeficiente de variación, y compararlos con los de un compañero que use otro medio de transporte.