Datos agrupados e histogramas

¿Para qué sirve esto?

Imagina que el consejo académico de un colegio inventado preguntó a 25 estudiantes cuántos minutos le dedicaron ayer a la tarea de Matemáticas. Llegan 25 números distintos. Leídos uno por uno no dicen casi nada: ¿la mayoría trabajó poco o mucho? ¿Hay estudiantes que se pasaron la tarde entera?

Cuando los datos son muchos y casi no se repiten, conviene agruparlos en intervalos y contar cuántos caen en cada uno. Esa tabla se puede dibujar como un histograma, que muestra de un vistazo dónde se amontonan los datos. Así se presentan los tiempos de espera de un servicio, las estaturas de un grupo o los puntajes de una prueba. En esta lección vas a armar la tabla, dibujar el histograma y calcular la media cuando solo tienes la tabla.

Antes de empezar repasa la notación de intervalos y la media ponderada.

La tabla de frecuencias con intervalos

Para agrupar datos numéricos se siguen cuatro pasos.

1. Rango. Se resta el dato menor del mayor para saber cuánto terreno hay que cubrir.
2. Número de clases. Se decide en cuántos intervalos repartir los datos. Con pocas clases se pierde el detalle; con demasiadas, quedan clases casi vacías. Entre 5 y 10 clases suele funcionar.
3. Amplitud. Se divide el rango entre el número de clases y se redondea hacia arriba, a un valor cómodo. La amplitud por el número de clases tiene que dar más que el rango: si la división da exacta, se sube a la siguiente cifra cómoda, porque el límite superior de la última clase no se incluye y el dato mayor quedaría por fuera. Al final se comprueba que el dato mayor cabe en la última clase.
4. Clases. Se arma la primera desde un valor menor o igual que el dato menor, y las demás se pegan una detrás de otra, sin huecos y sin que se monten.

En este curso cada intervalo incluye su límite inferior y no el superior: $[20;\ 30)$ contiene al 20 pero no al 30, que va en la clase siguiente. Así cada dato cae en una sola clase.

Para cada clase se calculan estas columnas:

• la marca de clase, el punto medio del intervalo, que se halla sumando los límites y dividiendo entre 2;
• la frecuencia absoluta $f$, cuántos datos caen en la clase;
• la frecuencia relativa $f/n$, la fracción del total que cae en la clase (las relativas suman 1, o 100 %);
• la frecuencia acumulada $F$, cuántos datos hay en esa clase y en todas las anteriores. La última acumulada es $n$, el total de datos.

La frecuencia acumulada responde rápido preguntas del tipo «¿cuántos tardaron menos de 30 minutos?». Y al revés: si conoces las acumuladas, la frecuencia de una clase es la resta entre su acumulada y la de la clase anterior.

El histograma

Un histograma se dibuja sobre un eje horizontal donde se marcan los límites de clase. Sobre cada intervalo se levanta una barra cuya altura es la frecuencia de la clase (así se hace cuando todas las clases tienen la misma amplitud, como en esta lección). A diferencia del diagrama de barras de una variable cualitativa, en el histograma las barras van pegadas, porque los intervalos son consecutivos: la variable es continua y entre una clase y la siguiente no hay ningún hueco.

Al leer un histograma, mira:

• dónde está la barra más alta, la clase modal;
• si los datos se reparten de forma simétrica o se cargan hacia un lado;
• si hay barras aisladas lejos del resto, que pueden ser datos atípicos.

La media de datos agrupados

Si solo tienes la tabla y no los datos originales, no sabes cuánto vale cada dato: solo sabes en qué clase cae. Entonces se hace una suposición: todos los datos de una clase valen su marca de clase. Con esa suposición, la media es una media ponderada de las marcas, con las frecuencias como pesos:

$$\bar{x} \approx \frac{m_1 f_1 + m_2 f_2 + \cdots + m_k f_k}{n}$$

donde $m_i$ es la marca de la clase $i$ y $n$ es la suma de las frecuencias. El resultado es una aproximación: dentro de cada clase, unos datos están por encima de la marca y otros por debajo, y casi siempre esos errores se compensan en buena parte, pero no del todo. Hoy en día una hoja de cálculo hace estas cuentas en segundos; lo que no hace por ti es decidir si la aproximación es razonable.

En resumen

• Para agrupar datos se halla el rango, se escoge el número de clases y se redondea la amplitud hacia arriba, de modo que las clases cubran más que el rango; cada clase incluye su límite inferior y no el superior.

• La marca de clase es el punto medio del intervalo; la frecuencia relativa es f/n, y la acumulada F suma la clase y todas las anteriores.

• Un histograma tiene una barra por clase, de ancho igual al intervalo y, con clases de igual amplitud, altura igual a la frecuencia; las barras van pegadas.

• La media de datos agrupados es la media ponderada de las marcas de clase con las frecuencias como pesos, y es una aproximación.

Vocabulario

Intervalo de clase

Cada uno de los intervalos en que se reparten los datos. En este curso incluye su límite inferior y no el superior, como [20; 30).

Amplitud

El ancho de un intervalo de clase: el límite superior menos el inferior.

Marca de clase

El punto medio del intervalo de clase. Representa a todos los datos de esa clase.

Frecuencia acumulada

El número de datos de esa clase más los de todas las clases anteriores. Se escribe F.

Histograma

Gráfica de barras pegadas, una por clase, cuyo ancho es el intervalo de clase y cuya altura, cuando todas las clases tienen la misma amplitud, es la frecuencia.