Probabilidad frecuencial
Lo que vas a aprender
- Calcular la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de un evento a partir de los datos de un experimento repetido.
- Explicar con una tabla o una gráfica que la frecuencia relativa se estabiliza cuando el número de repeticiones crece.
- Usar la frecuencia relativa como estimación de la probabilidad y hacer predicciones con ella.
- Distinguir la ley de los grandes números de la falacia del jugador.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que dejas caer una chinche sobre la mesa. Puede quedar de dos maneras: apoyada sobre la cabeza, con la punta hacia arriba, o acostada de lado. ¿Qué es más probable? Con un dado o una moneda contarías casos igual de posibles, pero la chinche no es simétrica: nada te asegura que las dos posiciones tengan la misma posibilidad, y no hay forma de deducirlo solo pensando.
Lo mismo pasa con muchas preguntas de las ciencias: ¿qué tan probable es que germine una semilla de cierta variedad?, ¿que una tapa de gaseosa caiga boca arriba?, ¿que un bombillo dure más de un año? Para responderlas hay que hacer un experimento, repetirlo muchas veces y mirar los datos. Esa forma de medir la probabilidad se llama probabilidad frecuencial, y es la que usan los laboratorios, las aseguradoras y los estudios de calidad.
Antes de empezar necesitas simplificar fracciones y pasar de fracción a decimal y a porcentaje.
Explicación
Experimentos con espacio muestral indeterminado
Un experimento aleatorio es uno que se puede repetir en las mismas condiciones y cuyo resultado no se conoce de antemano. Cuando los resultados son igual de posibles, como en un dado sin trampa, la regla de Laplace da la probabilidad sin lanzar nada. Pero en la chinche sabemos qué puede salir (punta arriba o de lado) y no sabemos cuánto pesa cada resultado. Decimos que el espacio muestral está indeterminado: sus probabilidades no se pueden calcular contando, solo estimar observando.
El primer paso es plantear bien la pregunta: «¿cuál es la probabilidad de que esta chinche, dejada caer desde unos 30 cm sobre una mesa de madera, quede con la punta hacia arriba?». Las condiciones importan: otra chinche, otra altura u otra superficie pueden dar otra probabilidad.
Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
Si repetimos el experimento $n$ veces y el evento $A$ ocurre $n_A$ veces, $n_A$ es la frecuencia absoluta de $A$, y
$$f(A) = \frac{n_A}{n}$$
es su frecuencia relativa. Como $0 \le n_A \le n$, siempre se cumple $0 \le f(A) \le 1$. Además, las frecuencias relativas de todos los resultados posibles suman 1, porque cada repetición cae en exactamente uno de ellos.
Un grupo de estudiantes lanzó una chinche 200 veces y fue anotando el total acumulado de veces que quedó con la punta hacia arriba. Estos son sus datos (inventados para la lección):
| Lanzamientos $n$ | 10 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Punta arriba (acumulado) | 6 | 9 | 14 | 25 | 30 | 39 | 45 | 54 | 61 | 68 | 76 |
| Frecuencia relativa | 0,600 | 0,450 | 0,350 | 0,417 | 0,375 | 0,390 | 0,375 | 0,386 | 0,381 | 0,378 | 0,380 |
La frecuencia relativa se estabiliza
Mira la última fila. Al principio la frecuencia relativa salta mucho: 0,6 a los 10 lanzamientos, 0,35 a los 40. Con pocas repeticiones, unos cuantos resultados de más o de menos cambian bastante la cuenta. A medida que $n$ crece, cada lanzamiento nuevo pesa menos en el total y la frecuencia relativa se queda oscilando cada vez más cerca de un valor, en este caso alrededor de 0,38. Decimos que se estabiliza.
Este comportamiento se observa en todos los experimentos aleatorios y tiene nombre: la ley de los grandes números. Dice que, al aumentar el número de repeticiones, la frecuencia relativa de un evento tiende a acercarse a su probabilidad. En este curso la usamos sin demostración. Por eso el número al que se acerca la frecuencia relativa se toma como estimación de la probabilidad: con los datos de la tabla, estimamos que la probabilidad de que la chinche quede punta arriba es cercana a 0,38.
Estimar no es conocer
La frecuencia relativa estima la probabilidad; no es la probabilidad. Si otro grupo lanza la misma chinche 200 veces, casi seguro obtendrá otra frecuencia relativa, tal vez 0,36 o 0,41. Ninguno de los dos se equivocó: cada serie de lanzamientos es una muestra distinta del mismo experimento. Lo que sí se sabe es que la estimación es más confiable cuantas más repeticiones tiene. Por eso, si dos grupos lanzaron la misma chinche en las mismas condiciones, conviene juntar sus datos: se suman las frecuencias absolutas y se divide entre el total de lanzamientos.
La ley de los grandes números no dice que «se compensa»
Hay un error muy extendido, la falacia del jugador: creer que si una moneda sin trampa lleva cinco caras seguidas, «ya le toca» salir sello para compensar. Es falso. La moneda no recuerda lo que salió; en el lanzamiento siguiente la probabilidad de sello sigue siendo $\tfrac{1}{2}$.
Entonces, ¿cómo se acerca la frecuencia relativa a $\tfrac{1}{2}$? No porque los sellos «vuelvan» a ponerse al día, sino porque esas cinco caras de más quedan diluidas entre cientos o miles de lanzamientos nuevos. Cinco caras de más pesan mucho en 10 lanzamientos y casi nada en 1000. La ley habla de la proporción, no de que la diferencia entre caras y sellos se vuelva cero; esa diferencia puede incluso crecer, mientras la proporción se estabiliza.
Predecir con la frecuencia relativa
Si la probabilidad estimada de un evento es $p$, en $N$ repeticiones nuevas se espera que ocurra cerca de $N \cdot p$ veces. Es una predicción aproximada: el número real puede quedar un poco por encima o por debajo, y eso no contradice la estimación.
Frecuencia relativa de «punta arriba» según el número de lanzamientos de la tabla: al principio salta y después se queda cerca de 0,38. El eje horizontal es el número de lanzamientos; el vertical, la frecuencia relativa.
Ejemplo resuelto
Las frecuencias relativas de la tabla
Con los datos de la tabla, calcula la frecuencia relativa de «punta arriba» y la de «de lado» a los 200 lanzamientos, y compárala con la de los primeros 20.
Ver la solución paso a paso
A los 200 lanzamientos la chinche quedó punta arriba 76 veces. La frecuencia relativa es la frecuencia absoluta sobre el número de lanzamientos:
$$\frac{76}{200}$$
Simplificamos dividiendo entre 4:
$$\frac{19}{50}$$
En decimal:
$$0{,}38$$
De lado quedó en los demás lanzamientos, $200 - 76 = 124$:
$$\frac{200 - 76}{200}$$
Simplificamos:
$$\frac{31}{50}$$
Las dos frecuencias relativas suman 1, porque cada lanzamiento cae de una de las dos maneras:
$$\frac{19}{50} + \frac{31}{50} = 1$$
A los 20 lanzamientos la frecuencia relativa de «punta arriba» era $\tfrac{9}{20}$, bastante más alta. Con tan pocos datos, la estimación todavía saltaba:
$$\frac{9}{20} - \frac{19}{50} = 0{,}07$$
Conclusión: la mejor estimación que dan estos datos es la de los 200 lanzamientos. Estimamos que la probabilidad de punta arriba es cercana a $0{,}38$ y la de lado, a $0{,}62$.
Respuesta: Punta arriba: 76/200 = 0,38; de lado: 124/200 = 0,62. La de 200 lanzamientos es más confiable que la de 20 (0,45).
Ejemplo resuelto
Juntar los datos de dos grupos
Otro grupo lanzó la misma chinche, en las mismas condiciones, 100 veces, y quedó punta arriba 41 veces. Estima la probabilidad de punta arriba con los datos de los dos grupos.
Ver la solución paso a paso
No se promedian las dos frecuencias relativas, porque los grupos hicieron distinto número de lanzamientos. Se suman las frecuencias absolutas y se divide entre el total de lanzamientos:
$$\frac{76 + 41}{200 + 100}$$
Hacemos las sumas:
$$\frac{117}{300}$$
En decimal:
$$0{,}39$$
Si hubiéramos promediado $0{,}38$ y $0{,}41$, habríamos obtenido $0{,}395$: le daríamos a los 100 lanzamientos del segundo grupo el mismo peso que a los 200 del primero.
Respuesta: $0{,}39$
Ejemplo resuelto
Predecir cuántas veces ocurrirá
Con la estimación de 0,39, ¿cuántas veces se espera que la chinche quede punta arriba si se lanza 500 veces más?
Ver la solución paso a paso
Se espera que el evento ocurra cerca de $N \cdot p$ veces, con $N = 500$ y $p = 0{,}39$:
$$500 \cdot 0{,}39$$
Resultado:
$$195$$
Es una predicción aproximada. Si al final salen 188 o 203, no hay contradicción: la frecuencia relativa de esos 500 lanzamientos seguiría estando cerca de $0{,}39$.
Respuesta: $195$
Simulación: una chinche que queda punta arriba con probabilidad 0,39, la estimación de la tabla. Lánzala 10, 100 y 1000 veces y mira la frecuencia relativa: con pocos lanzamientos salta y con muchos se queda cerca de 0,39. En 500 lanzamientos se esperan unas 195 veces punta arriba.
Práctica
Una tapa de gaseosa se lanzó 80 veces y cayó boca arriba 28 veces (datos inventados). ¿Cuál es la frecuencia relativa de «boca arriba»? Escríbela como decimal.
La frecuencia relativa es 28/80 = 7/20 = 0,35. Es una estimación de la probabilidad, no su valor exacto.
Con la misma tapa (28 veces boca arriba en 80 lanzamientos), ¿cuál es la frecuencia relativa de «boca abajo»?
Boca abajo cayó 80 − 28 = 52 veces: 52/80 = 13/20. 7/13 compara boca arriba con boca abajo en lugar de dividir entre el total, y 52 es la frecuencia absoluta.
Si la probabilidad estimada de que la tapa caiga boca arriba es 0,35, ¿cuántas veces se espera que caiga boca arriba en 400 lanzamientos?
Se espera cerca de N · p = 400 · 0,35 = 140 veces. El número real puede variar un poco.
¿Verdadero o falso? Una chinche se lanzó 250 veces y quedó punta arriba 95 veces; entonces la frecuencia relativa de «de lado» es 0,62.
De lado quedó 250 − 95 = 155 veces, y 155/250 = 0,62. También: 1 − 95/250 = 1 − 0,38 = 0,62.
Para estudiar un dado que parece cargado, se lanzó 600 veces y salió 6 en 150 lanzamientos (datos inventados). ¿Cuál es la frecuencia relativa del 6? Escríbela como decimal.
150/600 = 1/4 = 0,25. Un dado sin trampa daría una frecuencia cercana a 1/6 ≈ 0,167. Con 600 lanzamientos, una diferencia tan grande hace sospechar que el dado está cargado.
Dos grupos lanzan la misma tapa en las mismas condiciones. El primero obtiene 30 veces boca arriba en 50 lanzamientos; el segundo, 45 veces en 100. ¿Qué estimación de la probabilidad de «boca arriba» dan los datos juntos?
Se suman frecuencias absolutas y lanzamientos: 75/150 = 1/2. Promediar 0,6 y 0,45 da 0,525 = 21/40, que le da el mismo peso a 50 lanzamientos que a 100.
Un vivero sembró 250 semillas de una variedad nueva y germinaron 215 (datos inventados). Estima la probabilidad de que una semilla de esa variedad germine. Escríbela como decimal.
La frecuencia relativa es 215/250 = 0,86. Es la estimación frecuencial de la probabilidad de germinar.
Con esos datos (215 de 250 semillas germinaron), ¿cuántas semillas se espera que germinen si el vivero siembra 1.000?
1.000 · 0,86 = 860. Es lo que se espera; en la siembra real pueden germinar algunas más o algunas menos.
Una moneda sin trampa cayó cara en los últimos seis lanzamientos. ¿Qué se puede decir del lanzamiento siguiente?
La moneda no recuerda lo que salió. Creer que «le toca» sello es la falacia del jugador. La ley de los grandes números no dice que los resultados se compensen: dice que, en muchos lanzamientos, la proporción de caras se acerca a 1/2 porque las rachas quedan diluidas.
Cuatro grupos lanzaron la misma chinche en las mismas condiciones y obtuvieron estimaciones distintas de la probabilidad de punta arriba. ¿Cuál merece más confianza?
Con más repeticiones la frecuencia relativa se estabiliza y la estimación es más confiable. Que haya dos posiciones no las hace igual de probables: la chinche no es simétrica.
Reto
Completa el informe del experimento.
Un grupo lanzó una tapa 50 veces y cayó boca arriba 21 veces. Elige el valor de cada hueco.
Reto
El crucigrama de la probabilidad frecuencial.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
La frecuencia relativa de un evento es n_A / n: las veces que ocurrió dividido entre las veces que se repitió el experimento; está entre 0 y 1.
Al repetir muchas veces, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de un valor (ley de los grandes números), y ese valor estima la probabilidad.
La frecuencia relativa estima la probabilidad, no la da exacta; otra serie de repeticiones da otra estimación, y con más datos la estimación es más confiable.
Los resultados no se compensan: una moneda no tiene memoria. La proporción se estabiliza porque las rachas se diluyen entre muchos lanzamientos.
En N repeticiones se espera que un evento de probabilidad p ocurra cerca de N · p veces.
Vocabulario
- Experimento aleatorio
Experimento que se puede repetir en las mismas condiciones y cuyo resultado no se puede anticipar con certeza.
- Frecuencia absoluta
El número de veces que ocurrió un evento en una serie de repeticiones.
- Frecuencia relativa
La frecuencia absoluta dividida entre el número de repeticiones. Siempre está entre 0 y 1.
- Probabilidad frecuencial
La estimación de la probabilidad de un evento que se obtiene con su frecuencia relativa en muchas repeticiones.
- Ley de los grandes números
Al aumentar el número de repeticiones, la frecuencia relativa de un evento tiende a acercarse a su probabilidad.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una chinche (o una tapa de gaseosa) y pida que apuesten: ¿qué posición es más probable? Anote las apuestas sin corregirlas.
- Experimento · 15 min — Cada pareja lanza 20 veces una chinche de la misma caja, desde la misma altura y sobre el mismo tipo de mesa, y anota los resultados. Como las condiciones son las mismas, en el tablero se acumulan los datos de todas las parejas, pareja por pareja, y se calcula la frecuencia relativa acumulada.
- Explicación · 10 min — Con la tabla del curso y la de la lección, muestre cómo se estabiliza la frecuencia relativa. Trabaje la falacia del jugador con la racha de caras.
- Práctica · 15 min — Preguntas y retos individuales o en parejas.
- Cierre · 5 min — Vuelva a las apuestas del inicio y compárelas con la estimación del curso. Pregunte qué tan seguros están de ella.
Preguntas para el salón
- Si la frecuencia relativa a los 200 lanzamientos fue 0,38, ¿la probabilidad es exactamente 0,38? ¿Qué pasaría con otros 200 lanzamientos?
- ¿Por qué no se pueden promediar las frecuencias relativas de dos grupos que hicieron distinto número de lanzamientos?
- En 1000 lanzamientos de una moneda salieron 520 caras. ¿Se debe esperar que en los siguientes salgan más sellos para «emparejar»?
- ¿Qué condiciones del experimento hay que mantener iguales para que los datos de distintas parejas se puedan juntar?
Errores típicos
- Creer que, si un objeto puede caer de dos maneras, cada una tiene probabilidad 1/2. Pida que lancen la chinche y comparen con 1/2; que la respuesta salga de sus propios datos.
- Tomar la frecuencia relativa como el valor exacto de la probabilidad. Compare las estimaciones de varias parejas: son distintas y ninguna está mal.
- Pensar que la ley de los grandes números obliga a que los resultados se compensen (falacia del jugador). Muestre que la diferencia entre caras y sellos puede crecer mientras la proporción se acerca a 1/2; por ejemplo, 520 caras en 1000 frente a 5100 en 10 000.
- Dividir la frecuencia absoluta entre la del otro resultado y no entre el total. Pida que escriban siempre primero el número total de repeticiones.
Tarea sugerida
Plantear una pregunta que solo se pueda responder con un experimento (por ejemplo, la probabilidad de que un vaso plástico caiga de pie), lanzar el objeto 60 veces, anotar la frecuencia relativa acumulada cada 10 lanzamientos y explicar si se estabiliza.