Probabilidad clásica y espacio muestral

¿Para qué sirve esto?

En la lección anterior estimaste probabilidades lanzando una chinche muchas veces. Pero hay experimentos en los que no hace falta lanzar nada: si una rifa tiene 100 boletas iguales y compraste una, sabes que tu probabilidad de ganar es $\tfrac{1}{100}$ antes de que saquen la boleta. Eso es posible porque todos los resultados son igual de posibles, y entonces basta con contarlos.

El problema es que contar no siempre es fácil. ¿Cuántos comités de tres personas se pueden formar en un curso de 30? ¿Cuántos resultados tiene lanzar tres monedas? En esta lección juntas las técnicas de conteo con la probabilidad y comparas los dos caminos: el que cuenta casos y el que mide frecuencias.

Antes de empezar necesitas el principio multiplicativo y las combinaciones $C(n;\ r)$, que viste en 9.º.

El espacio muestral

El espacio muestral $\Omega$ de un experimento aleatorio es el conjunto de todos sus resultados posibles. Al lanzar una moneda, $\Omega = \{C;\ S\}$. Al lanzar un dado, $\Omega = \{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\}$. Un evento es una parte del espacio muestral: «sacar un número primo» es $\{2;\ 3;\ 5\}$.

Para calcular probabilidades contando hay que describir $\Omega$ de modo que sus resultados sean equiprobables, es decir, que todos tengan la misma probabilidad. Esa es la parte delicada, y la que más errores produce.

La regla de Laplace

Si los resultados de $\Omega$ son equiprobables y el evento $A$ reúne algunos de ellos,

$$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}}.$$

La regla solo vale con resultados equiprobables. La chinche tiene dos posiciones, pero la probabilidad de punta arriba no es $\tfrac{1}{2}$: las dos posiciones no pesan lo mismo. Tampoco sirve para un dado cargado ni para una ruleta con sectores de distinto tamaño. En esos casos se vuelve a la probabilidad frecuencial.

Contar los casos

Hay cuatro herramientas para contar sin olvidar ni repetir resultados.

Listar. Si son pocos, se escriben todos. Sirve para una moneda o un dado.

Diagrama de árbol. Si el experimento ocurre en etapas (lanzar una moneda tres veces), cada etapa abre una rama por resultado. Cada camino de la raíz a una hoja es un resultado del espacio muestral.

Principio multiplicativo. Si una etapa tiene $m$ resultados y la siguiente tiene $n$, el experimento completo tiene $m \cdot n$. Lanzar un dado y una moneda tiene $6 \cdot 2 = 12$ resultados; lanzar dos dados, $6 \cdot 6 = 36$. Es contar las hojas del árbol sin dibujarlo.

Combinaciones. Cuando se escogen $r$ objetos entre $n$ y el orden no importa (un comité, una mano de cartas, las balotas de un sorteo), el número de selecciones es

$$C(n;\ r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}.$$

Si el orden sí importa (un presidente y un tesorero, una clave), se usan las permutaciones $P(n;\ r) = \dfrac{n!}{(n - r)!}$: por ejemplo, $P(10;\ 4) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$. Lo importante es contar igual arriba y abajo: si los casos posibles se contaron sin orden, los favorables también.

Un error clásico: resultados que no son equiprobables

Al lanzar dos dados y sumar los puntos, las sumas posibles van de 2 a 12: son 11 valores. Pero no son equiprobables. La suma 2 solo sale de una manera (1 y 1), mientras que la suma 7 sale de seis (1 y 6, 2 y 5, 3 y 4, 4 y 3, 5 y 2, 6 y 1). El espacio muestral que sí tiene resultados equiprobables es el de las parejas ordenadas, con 36 resultados. Para no confundirte, imagina que un dado es rojo y el otro azul: «rojo 1, azul 6» y «rojo 6, azul 1» son resultados distintos.

Dos caminos hacia la probabilidad

La probabilidad clásica (Laplace) se calcula antes del experimento, contando. La probabilidad frecuencial se estima después, observando muchas repeticiones. Cuando se pueden usar las dos, deben dar valores cercanos, y eso sirve en ambos sentidos:

• La clásica predice: con un dado sin trampa, en 600 lanzamientos se esperan cerca de 100 seises.
• La frecuencial valida: si en 600 lanzamientos salen 180 seises, la frecuencia relativa ($0{,}3$) está demasiado lejos de $\tfrac{1}{6}$ y hay que sospechar que el dado no es equilibrado. Con 20 lanzamientos, en cambio, una diferencia así no permitiría concluir nada.

En resumen

• El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles; se describe con una lista, un árbol o el principio multiplicativo.

• Si los resultados son equiprobables, P(A) = casos favorables / casos posibles (regla de Laplace).

• Cuando el orden no importa se cuenta con combinaciones C(n; r); cuando importa, con permutaciones. Los favorables y los posibles se cuentan de la misma manera.

• La regla de Laplace no sirve si los resultados no son equiprobables, como las 11 sumas de dos dados tomadas como resultados (con las 36 parejas ordenadas sí sirve) o las posiciones de una chinche.

• La probabilidad clásica predice; la frecuencia relativa de muchas repeticiones la valida o la pone en duda.

Vocabulario

Espacio muestral

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se escribe Ω.

Resultados equiprobables

Resultados que tienen todos la misma probabilidad de ocurrir.

Regla de Laplace

Si los resultados son equiprobables, P(A) es el número de casos favorables a A dividido entre el número de casos posibles.

Diagrama de árbol

Esquema que muestra, rama por rama, todos los resultados de un experimento que ocurre en etapas.

Combinación

Una selección de r objetos entre n en la que el orden no importa. Su número es C(n; r).