Unión, intersección y complemento
Lo que vas a aprender
- Representar la unión, la intersección y el complemento de eventos con diagramas de Venn y tablas de doble entrada.
- Calcular P(A ∪ B) con la regla P(A) + P(B) − P(A ∩ B) y explicar por qué se resta la intersección.
- Calcular la probabilidad del complemento y usarla para eventos del tipo «al menos uno».
- Leer probabilidades en una tabla de doble entrada con datos de una población.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un colegio quiere saber qué tan probable es que un estudiante escogido al azar practique un deporte o toque un instrumento, para planear las actividades de la tarde. Si suma los que practican deporte y los que tocan un instrumento, cuenta dos veces a quienes hacen las dos cosas, y el resultado sale inflado. Puede incluso pasar de 1, y ninguna probabilidad pasa de 1.
Las palabras «o», «y» y «no» aparecen todo el tiempo en las preguntas de probabilidad. En esta lección aprendes a traducirlas en operaciones con eventos (unión, intersección y complemento) y a calcular sus probabilidades sin contar a nadie dos veces.
Antes de empezar necesitas la regla de Laplace y la idea de frecuencia relativa de las dos lecciones anteriores.
Explicación
Los eventos son conjuntos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral $\Omega$, así que con dos eventos $A$ y $B$ se pueden hacer las mismas operaciones que con conjuntos:
- Unión $A \cup B$: ocurre $A$, ocurre $B$ o ambos. Es la «o» incluyente: «sacar par o mayor que 3» se cumple con el 4, que es las dos cosas.
- Intersección $A \cap B$: ocurren $A$ y $B$ a la vez.
- Complemento $\bar{A}$: no ocurre $A$. Reúne todo lo que queda fuera de $A$.
Cuidado con el lenguaje de todos los días. En la cafetería, «¿café o té?» quiere decir uno de los dos, no ambos. En probabilidad, la «o» incluye el caso en que ocurren las dos cosas; si se quiere excluirlo, se dice «solo uno de los dos».
Un diagrama de Venn lo muestra de un vistazo: el rectángulo es $\Omega$, cada círculo es un evento, la zona común es la intersección y todo lo que cubren los dos círculos juntos es la unión.
Diagrama de Venn: el rectángulo es el espacio muestral Ω; la zona sombreada es A ∩ B; los dos círculos juntos forman A ∪ B; lo que queda fuera de ellos es «ni A ni B», el complemento de A ∪ B.
La regla de la suma: por qué se resta la intersección
Para hallar $P(A \cup B)$ uno quisiera sumar $P(A)$ y $P(B)$. Pero mira el diagrama: los resultados de la zona sombreada están dentro de los dos círculos. Al sumar, se cuentan una vez con $A$ y otra vez con $B$. Para que cuenten solo una vez, se resta la intersección:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$
Esta regla vale siempre. Cuando $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir a la vez, como «sacar 1» y «sacar 6» en un dado), la intersección es vacía, $P(A \cap B) = 0$, y queda el caso particular $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Sumar sin restar solo es correcto en ese caso.
Una consecuencia útil: como $P(A \cup B)$ no puede pasar de 1, si $P(A) + P(B) > 1$ los eventos no pueden ser excluyentes; tienen que compartir resultados.
El complemento
Todo resultado está en $A$ o en $\bar{A}$, y nunca en los dos. Por eso
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A).$$
El complemento ahorra mucho trabajo en las preguntas de «al menos uno». Contar los casos con al menos un seis en dos dados obliga a pensar en tres situaciones (seis en el primero, en el segundo o en los dos). Su complemento, «ningún seis», es una sola: los dos dados salen de 1 a 5. Se calcula esa probabilidad y se resta de 1.
Tablas de doble entrada
Cuando los datos vienen de una población real o de una encuesta, se organizan en una tabla de doble entrada. La población es el conjunto de individuos que se estudia, y cada característica que se observa en ellos es una variable.
En un colegio inventado se preguntó a los 120 estudiantes de grado 10.º (la población) dos cosas: si practican un deporte con regularidad ($D$) y si tocan un instrumento musical ($M$). Son dos variables cualitativas, cada una con respuesta «sí» o «no». Estos son los resultados (inventados):
| Toca un instrumento ($M$) | No toca ($\bar{M}$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Practica deporte ($D$) | 30 | 42 | 72 |
| No practica ($\bar{D}$) | 28 | 20 | 48 |
| Total | 58 | 62 | 120 |
Si se escoge al azar a uno de esos 120 estudiantes, cada uno tiene la misma probabilidad de salir, y cada probabilidad es una frecuencia relativa de la tabla: la casilla o el total que corresponde, dividido entre 120. La intersección $D \cap M$ es la casilla donde se cruzan la fila $D$ y la columna $M$; las uniones y los complementos se arman con varias casillas. Si en cambio se quiere hablar de todos los estudiantes de 10.º del país, estas frecuencias solo son una estimación: 120 estudiantes de un colegio no representan a todos.
Ejemplo resuelto
La «o» con un dado
Lanzas un dado. A es «sacar un número par» y B es «sacar un número mayor que 3». ¿Cuál es P(A ∪ B)?
Ver la solución paso a paso
A = {2; 4; 6} y B = {4; 5; 6}: cada uno tiene 3 de los 6 resultados. Los dos comparten el 4 y el 6, así que A ∩ B tiene 2 resultados. Aplicamos la regla de la suma:
$$\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}$$
Operamos:
$$\frac{4}{6}$$
Simplificamos:
$$\frac{2}{3}$$
Comprobación contando. A ∪ B = {2; 4; 5; 6}: cuatro resultados de seis. Si hubiéramos sumado sin restar, habríamos obtenido 1, como si el evento fuera seguro, y el 1 y el 3 no lo cumplen.
Respuesta: $\frac{2}{3}$
Lleva cada cara del dado a su región y toca «Comprobar». En A ∩ B quedan las caras que son pares y mayores que 3; A ∪ B junta todas las de los dos círculos, sin contar dos veces las del medio.
Ejemplo resuelto
Leer la tabla de doble entrada
Se escoge al azar un estudiante de los 120 de la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte o toque un instrumento? ¿Y de que no haga ninguna de las dos cosas?
Ver la solución paso a paso
Primero comprobamos que la tabla cuadra. La fila D: 30 que tocan más 42 que no tocan:
$$30 + 42 = 72$$
La columna M: 30 deportistas más 28 que no practican deporte:
$$30 + 28 = 58$$
Las cuatro casillas juntas dan los 120 estudiantes:
$$30 + 42 + 28 + 20 = 120$$
De la tabla: P(D) = 72/120, P(M) = 58/120 y P(D ∩ M) = 30/120. Aplicamos la regla de la suma:
$$\frac{72}{120} + \frac{58}{120} - \frac{30}{120}$$
Operamos:
$$\frac{100}{120}$$
Simplificamos:
$$\frac{5}{6}$$
«Ninguna de las dos cosas» es el complemento de D ∪ M:
$$1 - \frac{5}{6}$$
Resultado:
$$\frac{1}{6}$$
Comprobación en la tabla. La casilla «no practica, no toca» tiene 20 estudiantes:
$$\frac{20}{120} = \frac{1}{6}$$
Respuesta: P(D ∪ M) = 100/120 = 5/6 y P(ninguna) = 1 − 5/6 = 1/6, que coincide con la casilla de 20 estudiantes.
Ejemplo resuelto
Al menos un seis
Lanzas dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un seis?
Ver la solución paso a paso
El complemento es «ningún seis»: cada dado sale de 1 a 5. Por el principio multiplicativo hay $5 \cdot 5 = 25$ resultados de 36 sin seis. Restamos de 1:
$$1 - \frac{25}{36}$$
Resultado:
$$\frac{11}{36}$$
Comprobación con la regla de la suma. Sea A «seis en el primero» y B «seis en el segundo». Cada uno tiene probabilidad 1/6, y A ∩ B es el resultado (6; 6), con probabilidad 1/36:
$$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36}$$
Respuesta: $\frac{11}{36}$
Práctica
Si P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,15, ¿cuánto vale P(A ∪ B)?
0,5 + 0,4 − 0,15 = 0,75. 0,9 olvida restar la intersección, y 0,6 la resta dos veces.
Si P(A ∪ B) = 0,8, P(A) = 0,5 y P(B) = 0,45, ¿cuánto vale P(A ∩ B)? Escríbelo como decimal.
Despejando de la regla de la suma: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,5 + 0,45 − 0,8 = 0,15.
La probabilidad de que llueva mañana en un pueblo inventado es 0,37. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva? Escríbela como decimal.
Es el complemento: 1 − 0,37 = 0,63.
Con la tabla de doble entrada de la lección, se escoge un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y no toque un instrumento?
Es la casilla D ∩ M̄: 42 de los 120 estudiantes, 42/120 = 7/20. 7/12 divide entre los 72 deportistas y no entre el total; 3/5 es P(D).
En un colegio inventado se preguntó a 200 estudiantes cómo llegan: 90 usan a veces el bus, 70 usan a veces la bicicleta y 25 usan los dos. Se escoge uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que use el bus o la bicicleta? Escríbela como fracción simplificada.
P(bus ∪ bici) = 90/200 + 70/200 − 25/200 = 135/200 = 27/40. Los 25 que usan los dos medios ya estaban entre los 90 y entre los 70.
Con los mismos datos (200 estudiantes: 90 usan el bus, 70 la bicicleta y 25 los dos), ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar no use ninguno de los dos?
Es el complemento de la unión: 1 − 135/200 = 65/200 = 13/40. 1/5 sale de 200 − 90 − 70 = 40, que resta dos veces a los 25 que usan los dos.
¿Verdadero o falso? Al lanzar un dado, P(sacar 1 o sacar 6) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Sacar 1 y sacar 6 son mutuamente excluyentes: la intersección es vacía y las probabilidades se suman sin restar nada.
¿Verdadero o falso? Al lanzar un dado, P(par o mayor que 3) = 1/2 + 1/2 = 1.
Los eventos comparten el 4 y el 6, así que hay que restar la intersección: 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3. El 1 y el 3 no cumplen ninguno de los dos.
Lanzas cuatro monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello? Escríbela como fracción.
El complemento, «ningún sello», es solo CCCC: 1 de 2⁴ = 16 resultados. Entonces P = 1 − 1/16 = 15/16.
Si P(A) = 0,6 y P(B) = 0,7, ¿cuál es el menor valor posible de P(A ∩ B)? Escríbelo como decimal.
Como P(A ∪ B) = 0,6 + 0,7 − P(A ∩ B) no puede pasar de 1, P(A ∩ B) tiene que ser al menos 0,3. Los eventos no pueden ser excluyentes.
En un diagrama de Venn con dos eventos A y B, ¿qué evento corresponde a la zona «solo A»?
«Solo A» es la parte del círculo A que queda fuera de B: los resultados de A que están en el complemento de B.
Reto
Fútbol y baloncesto en un curso.
En un curso de 40 estudiantes, 18 juegan fútbol, 15 juegan baloncesto y 6 juegan los dos. Se escoge uno al azar. Elige la probabilidad de cada hueco.
Reto
Une cada cálculo de probabilidad con su resultado.
Cada ficha es una regla de la suma o un complemento. Júntala con el valor que da.
Cierre
En resumen
La unión A ∪ B es «A o B o ambos», la intersección A ∩ B es «A y B», y el complemento Ā es «no A».
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), porque al sumar se cuenta dos veces la intersección.
Si A y B son mutuamente excluyentes, P(A ∩ B) = 0 y la regla queda P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
P(Ā) = 1 − P(A); el complemento simplifica las preguntas de «al menos uno».
En una tabla de doble entrada de una población, cada probabilidad de un individuo escogido al azar es una frecuencia relativa de la tabla.
Vocabulario
- Unión de eventos
A ∪ B: ocurre A, ocurre B o ocurren los dos. Corresponde a la «o» incluyente.
- Intersección de eventos
A ∩ B: ocurren A y B a la vez.
- Complemento de un evento
Ā: el evento «no ocurre A». Reúne los resultados del espacio muestral que no están en A.
- Eventos mutuamente excluyentes
Eventos que no pueden ocurrir a la vez: su intersección es vacía y P(A ∩ B) = 0.
- Tabla de doble entrada
Tabla que clasifica a los individuos de una población según dos variables a la vez, una en las filas y otra en las columnas.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que levanten la mano quienes practican un deporte y luego quienes tocan un instrumento. Sume las dos cifras y pregunte por qué la suma pasa del número de estudiantes presentes, si pasa.
- Explicación · 15 min — Diagrama de Venn, regla de la suma y complemento; ejemplos del dado y de los dos dados en el tablero.
- Encuesta · 10 min — El curso arma su propia tabla de doble entrada con dos preguntas de sí o no y calcula P(A ∪ B) de dos maneras: con la regla y contando directamente.
- Práctica · 15 min — Preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada pareja explique con el diagrama por qué se resta la intersección.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la «o» de la probabilidad incluye el caso en que ocurren las dos cosas?
- Si P(A) = 0,7 y P(B) = 0,5, ¿pueden A y B ser mutuamente excluyentes? ¿Por qué?
- Las frecuencias de la tabla de su curso, ¿sirven para hablar de todos los estudiantes del colegio? ¿Y de todo el país?
Errores típicos
- Sumar P(A) + P(B) sin restar la intersección cuando los eventos comparten resultados. Pida que comprueben con el conteo directo, y muestre que la suma puede pasar de 1.
- Restar la intersección dos veces al calcular «ninguno de los dos». Ubique cada número en su región del diagrama de Venn antes de operar.
- Dividir entre el total de una fila o columna en lugar del total de la población. Pregunte siempre entre cuántas personas se escoge al azar.
- Contar «al menos uno» caso por caso y olvidar alguno. Proponga calcular primero el complemento, «ninguno», que es un solo caso.
Tarea sugerida
Hacer una encuesta inventada o real (con permiso) a 30 personas con dos preguntas de sí o no, organizar los datos en una tabla de doble entrada y calcular P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) y P(ni A ni B), comprobando que la regla de la suma coincide con el conteo directo.