Simulación y predicción
Lo que vas a aprender
- Diseñar una simulación con monedas, dados o una tabla de números aleatorios que tenga las mismas probabilidades que la situación real.
- Estimar una probabilidad con la frecuencia relativa de los ensayos de una simulación y compararla con la probabilidad clásica cuando se pueda calcular.
- Usar una tabla de números aleatorios para escoger una muestra al azar.
- Predecir cuántas veces ocurrirá un evento en n repeticiones y explicar por qué el resultado real puede ser distinto.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Algunos experimentos son difíciles de repetir muchas veces: no se puede presentar el mismo examen 500 veces, ni sembrar un cultivo cada semana para ver qué pasa. Pero si conoces o supones las probabilidades de cada resultado, puedes imitar la situación con objetos sencillos (una moneda, un dado, una lista de dígitos al azar) y repetir la imitación cuantas veces quieras. Eso es una simulación.
Con una simulación respondes preguntas como: si un estudiante responde al azar un examen de verdadero o falso, ¿qué tan probable es que saque casi todo bien? ¿Cuántos estudiantes de un colegio lo lograrían por pura suerte? Las mismas ideas usan los meteorólogos, los ingenieros y los epidemiólogos con computadores que hacen millones de ensayos.
Antes de empezar necesitas calcular frecuencias relativas y probabilidades con la regla de Laplace.
Explicación
Cómo se diseña una simulación
Una simulación se arma en seis pasos:
- Plantear la pregunta. Qué probabilidad se quiere estimar, en qué situación.
- Escoger el modelo. Un objeto cuyos resultados tengan las mismas probabilidades que los de la situación real. Una moneda sirve para algo de probabilidad $\tfrac{1}{2}$; un dado, para sextos; un dígito al azar, para décimos.
- Definir un ensayo. Qué se hace en una repetición y cuándo cuenta como éxito.
- Repetir muchos ensayos y registrar los resultados.
- Estimar la probabilidad con la frecuencia relativa de éxitos.
- Concluir y predecir, sin olvidar que el resultado es una estimación.
El paso delicado es el 2. Para imitar un evento de probabilidad $\tfrac{1}{3}$ con un dado, se asignan al evento dos caras (por ejemplo, 1 y 2), porque $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$. Para una ruleta de 4 sectores iguales sirven dos monedas: CC, CS, SC y SS son cuatro resultados equiprobables. Un dado solo no sirve, porque sus 6 caras no se reparten en 4 partes iguales, salvo que se convenga en volver a lanzar cuando salga 5 o 6.
La tabla de números aleatorios
Una tabla de números aleatorios es una lista de dígitos en la que cada dígito del 0 al 9 tiene probabilidad $\tfrac{1}{10}$ de aparecer en cada posición, sin depender de los anteriores. Esta es una tabla inventada para la lección (los espacios solo ayudan a leer):
| Fila | Dígitos |
|---|---|
| A | 76315 41440 47869 79548 |
| B | 87171 74728 12734 29226 |
| C | 66411 74080 93816 58466 |
| D | 01127 48728 79002 55493 |
Con un dígito se simulan probabilidades en décimos: para un evento de probabilidad 0,3 se toman como éxito tres dígitos, por ejemplo 0, 1 y 2, y como fracaso los otros siete. Con pares de dígitos (de 00 a 99) se simulan probabilidades en centésimos: un evento de probabilidad 0,45 serían los pares del 00 al 44.
Escoger una muestra al azar
La tabla también sirve para seleccionar una muestra aleatoria, en la que cada individuo de la población tiene la misma oportunidad de salir. Para escoger 5 estudiantes de una lista de 40, se numeran del 01 al 40 y se leen pares de la tabla desde la fila A: 76, 31, 54, 14, 40, 47… Los pares mayores que 40 (y el 00) se descartan, y si un número se repite se salta. Así salen 31, 14 y 40 en la fila A, y 17 y 28 en la fila B (el segundo 17 se salta). Con esa muestra se pueden hacer predicciones sobre los 40, como en la unidad de estadística.
Predecir: el número esperado
Si un evento tiene probabilidad $p$ y el experimento se repite $n$ veces, el número esperado de veces que ocurre es
$$n \cdot p.$$
Es la mejor predicción, pero no un resultado garantizado: al lanzar un dado 60 veces se esperan 10 seises, y salir 7 o 13 es perfectamente normal. Tampoco hay compensación: si en los primeros 30 lanzamientos no salió ningún seis, los 30 siguientes no «deben» seis seises de más. Cada lanzamiento sigue teniendo probabilidad $\tfrac{1}{6}$.
Simulación y probabilidad clásica
Cuando la probabilidad se puede calcular contando, la simulación sirve para validarla: si el cálculo y la frecuencia relativa de muchos ensayos quedan cerca, hay confianza en los dos. Cuando no se puede calcular, la simulación es la herramienta para estimarla. En los dos casos, más ensayos dan una estimación más confiable: una sola fila de la tabla puede quedar lejos del valor real.
Ejemplo resuelto
Un examen respondido al azar
Un examen tiene 5 preguntas de verdadero o falso, y un estudiante las responde todas al azar. Estima con una simulación la probabilidad de que acierte al menos 4, y compárala con la probabilidad clásica.
Ver la solución paso a paso
Modelo. Cada pregunta se acierta con probabilidad $\tfrac{1}{2}$, como una moneda: cara es acierto y sello es error. Ensayo: lanzar 5 monedas y contar las caras. Éxito: 4 o 5 caras.
Un grupo hizo 50 ensayos (datos inventados). Salieron 0 caras 2 veces, 1 cara 8 veces, 2 caras 15 veces, 3 caras 16 veces, 4 caras 7 veces y 5 caras 2 veces. Comprobamos que suman 50:
$$2 + 8 + 15 + 16 + 7 + 2 = 50$$
Los éxitos son los ensayos con 4 o 5 caras. La frecuencia relativa es:
$$\frac{7 + 2}{50}$$
En decimal:
$$0{,}18$$
Probabilidad clásica. Lanzar 5 monedas tiene $2^5$ resultados equiprobables. Exactamente 4 caras se dan en $C(5;\ 4)$ de ellos, y 5 caras en $C(5;\ 5)$:
$$\frac{C\left(5;\ 4\right) + C\left(5;\ 5\right)}{2^{5}}$$
Es decir, 6 casos favorables de 32:
$$\frac{6}{32}$$
Simplificamos:
$$\frac{3}{16}$$
En decimal, para comparar:
$$0{,}1875$$
La simulación ($0{,}18$) quedó muy cerca del cálculo ($0{,}1875$). Con 50 ensayos no hay que esperar que coincidan exactamente.
Respuesta: Simulación: 9/50 = 0,18. Probabilidad clásica: 6/32 = 3/16 = 0,1875. Los dos valores están cerca y se validan entre sí.
Ejemplo resuelto
Una ruleta simulada con la tabla
Una ruleta inventada da premio con probabilidad 0,3. Simula 20 giros con la fila A de la tabla y luego 80 giros con las cuatro filas. ¿Qué estimación da cada simulación?
Ver la solución paso a paso
Modelo. Cada dígito es un giro. Como la probabilidad es 0,3, tres dígitos son premio: 0, 1 y 2.
$$\frac{3}{10} = 0{,}3$$
En la fila A (7 6 3 1 5 4 1 4 4 0 4 7 8 6 9 7 9 5 4 8) hay 3 dígitos entre 0 y 2: el 1, el otro 1 y el 0. La frecuencia relativa es:
$$\frac{3}{20}$$
En decimal, bastante lejos de 0,3:
$$0{,}15$$
Contando igual en las filas B, C y D se obtienen 8, 5 y 8 premios. Con los 80 giros:
$$\frac{3 + 8 + 5 + 8}{80}$$
Operamos:
$$\frac{24}{80}$$
Simplificamos:
$$\frac{3}{10}$$
Con 20 giros la estimación fue 0,15; con 80, 0,3. Una sola fila varía mucho; al juntar más ensayos la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad del modelo. Que aquí coincida exactamente es casualidad: con otras 80 cifras podría salir 0,275 o 0,325.
Respuesta: Con la fila A: 3/20 = 0,15. Con las cuatro filas: 24/80 = 0,3. La simulación más larga es la más confiable.
Gira la ruleta inventada 20 veces y después 100 y 1000. Con pocos giros la frecuencia relativa del premio se aleja de 0,3; con muchos, se le acerca. En 80 giros se esperan 24 premios.
Ejemplo resuelto
Predecir en un curso
En un curso de 32 estudiantes, todos responden al azar el examen de 5 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuántos se espera que acierten al menos 4?
Ver la solución paso a paso
Acertar al menos 4 de las 5 es acertar 4 o acertar las 5, entre los $2^5$ resultados posibles:
$$\frac{C\left(5;\ 4\right) + C\left(5;\ 5\right)}{2^{5}} = \frac{3}{16}$$
Con la probabilidad clásica, $p = \tfrac{3}{16}$, el número esperado es $n \cdot p$:
$$32 \cdot \frac{3}{16}$$
Resultado:
$$6$$
Con la estimación de la simulación, $p \approx 0{,}18$, la predicción es parecida:
$$32 \cdot 0{,}18$$
Resultado, que redondeamos a 6 estudiantes:
$$5{,}76$$
Se esperan unos 6 estudiantes. Podrían ser 4 u 8 sin que nada esté mal: el número esperado es una predicción, no una garantía.
Respuesta: Se esperan 32 · 3/16 = 6 estudiantes; con la estimación de la simulación, 32 · 0,18 ≈ 5,76, también unos 6.
Práctica
Quieres simular con un dado un evento de probabilidad 1/3. ¿Cuántas caras del dado debes asignar al evento?
El dado tiene 6 caras equiprobables y 2/6 = 1/3: se asignan dos caras, por ejemplo el 1 y el 2.
Para simular un evento de probabilidad 0,7 con una tabla de números aleatorios, usando un dígito por ensayo, ¿cuántos dígitos distintos se toman como éxito?
Cada dígito tiene probabilidad 1/10; siete dígitos, por ejemplo del 0 al 6, dan 7/10 = 0,7.
Con la fila C de la tabla de la lección, y los dígitos 0, 1 y 2 como premio de la ruleta, ¿cuál es la frecuencia relativa de premio? Escríbela como decimal.
La fila C es 6 6 4 1 1 7 4 0 8 0 9 3 8 1 6 5 8 4 6 6: tiene cinco dígitos entre 0 y 2 (1, 1, 0, 0, 1) entre 20. 5/20 = 0,25.
Una simulación de 80 ensayos dio 28 éxitos. ¿Qué estimación de la probabilidad del evento da?
La frecuencia relativa es 28/80 = 7/20 = 0,35. 7/13 divide los éxitos entre los fracasos (28/52), y 13/20 es la frecuencia de los fracasos.
Con esa estimación (28 éxitos en 80 ensayos), ¿cuántos éxitos se esperan en 500 repeticiones de la situación real?
El número esperado es n · p = 500 · 0,35 = 175. En la situación real pueden salir algunos más o algunos menos.
Una ruleta tiene 4 sectores iguales y uno de ellos es rojo. Si se gira 200 veces, ¿cuántas veces se espera que caiga en rojo?
P(rojo) = 1/4 y 200 · 1/4 = 50. Es lo esperado, no lo seguro.
Juntando las cuatro filas de la tabla de la lección, con los dígitos 0, 1 y 2 como premio, ¿qué estimación de la probabilidad de premio se obtiene?
Las filas tienen 3, 8, 5 y 8 premios: 24 de 80 dígitos, 24/80 = 3/10. 2/5 es la estimación de una sola fila (B o D), y 3/20 la de la fila A.
Un examen de 5 preguntas de verdadero o falso se responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad clásica de acertar al menos 4?
De 2⁵ = 32 resultados, 5 tienen exactamente 4 aciertos y 1 tiene los 5: 6/32 = 3/16. 5/32 olvida el caso de 5 aciertos.
En un colegio, 48 estudiantes responden al azar el mismo examen de 5 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuántos se espera que acierten al menos 4?
La probabilidad es 3/16, y 48 · 3/16 = 9. Es una predicción: podrían ser 7 u 11.
La probabilidad de sacar 6 con un dado sin trampa es 1/6. Se va a lanzar 60 veces. ¿Qué afirmación es correcta?
60 · 1/6 = 10 es el número esperado, no un resultado seguro. El dado no compensa: después de 30 lanzamientos sin seis, cada lanzamiento sigue teniendo probabilidad 1/6.
Una ruleta inventada tiene 4 sectores iguales. ¿Cuál de estas simulaciones imita bien un giro?
Dos monedas dan cuatro resultados equiprobables, uno por sector. El dado tiene 6 caras para 4 sectores; una moneda solo distingue dos grupos de sectores; y las sumas de dos dados no son equiprobables.
Reto
Abre el candado de la simulación.
Cada pista da un dígito.
Reto
Completa el informe de la simulación del examen.
Un grupo simuló con 5 monedas un examen de 5 preguntas de verdadero o falso respondido al azar. En 40 ensayos, 8 tuvieron al menos 4 aciertos. Elige el valor de cada hueco.
Cierre
En resumen
Una simulación imita una situación real con un objeto cuyos resultados tienen las mismas probabilidades (monedas, dados, números aleatorios).
Se diseña en pasos: pregunta, modelo, ensayo, repeticiones, estimación con la frecuencia relativa y conclusión.
Una tabla de números aleatorios simula probabilidades en décimos (un dígito) o en centésimos (dos dígitos), y sirve para escoger muestras al azar.
En n repeticiones, un evento de probabilidad p ocurre cerca de n · p veces; es una predicción, no una garantía, y no hay compensación.
Más ensayos dan una estimación más confiable; cuando hay probabilidad clásica, la simulación sirve para validarla.
Vocabulario
- Simulación
Experimento con un objeto sencillo (monedas, dados, números aleatorios) que imita las probabilidades de una situación real que es difícil o costoso repetir.
- Ensayo
Una repetición completa de la simulación, que produce un resultado de la situación que se imita.
- Tabla de números aleatorios
Lista de dígitos del 0 al 9 en la que cada dígito tiene la misma probabilidad de aparecer en cada posición, sin relación con los anteriores.
- Número esperado
En n repeticiones de un experimento, n · p, donde p es la probabilidad del evento. Es una predicción aproximada, no un resultado seguro.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántos estudiantes del curso creen que sacarían 4 o 5 en un examen de 5 preguntas de verdadero o falso respondiendo al azar. Anote las predicciones.
- Explicación · 15 min — Pasos de una simulación, tabla de números aleatorios y número esperado. Haga en el tablero la selección de la muestra de 5 estudiantes con la tabla.
- Simulación · 15 min — Cada pareja hace 10 ensayos del examen con 5 monedas. Se juntan los datos del curso en el tablero y se compara la frecuencia relativa con 3/16.
- Práctica · 15 min — Preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Vuelva a las predicciones del inicio y compárelas con el número esperado para el curso.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la estimación de una sola pareja es menos confiable que la del curso entero?
- ¿Cómo simularían con monedas un evento de probabilidad 1/8?
- Si se esperan 10 seises en 60 lanzamientos y salen 14, ¿el dado tiene trampa? ¿Qué harían para decidirlo?
- Al escoger una muestra con la tabla, ¿qué pasaría si a los pares del 41 al 80 se les restara 40? ¿Qué habría que hacer con los del 81 al 99 y con el 00?
Errores típicos
- Escoger un modelo con probabilidades distintas a las de la situación (un dado para una ruleta de 4 sectores). Pida que escriban la probabilidad de cada resultado del modelo y de la situación real, y que las comparen.
- Creer que el número esperado tiene que salir exactamente. Compare los resultados de varias parejas: todas se acercan al esperado y casi ninguna lo da exacto.
- Pensar que después de una racha sin éxitos «tocan» más éxitos. Recuerde que cada ensayo es independiente: la moneda y el dado no tienen memoria.
- Sacar conclusiones con muy pocos ensayos. Muestre la diferencia entre la fila A (0,15) y las cuatro filas (0,3).
Tarea sugerida
Diseñar y hacer una simulación de 30 ensayos con monedas para estimar la probabilidad de que en una familia inventada de 3 hijos, suponiendo que niño y niña son igual de probables, haya exactamente 2 niñas. Comparar la estimación con la probabilidad clásica, 3/8, y predecir cuántas de 80 familias así tendrían exactamente 2 niñas.