Los sistemas numéricos

¿Para qué sirve esto?

En una clase inventada, la profesora escribe en el tablero «los números mayores que 5» y pide a tres estudiantes que los representen. Uno escribe $\{6;\ 7;\ 8;\ \ldots\}$, otra dibuja una semirrecta que arranca en el 5 con un círculo hueco, y un tercero escribe $(5;\ \infty)$. Después alguien pregunta: «¿y el número que sigue a 5 no es el 5,1?».

Las tres respuestas hablan de «mayores que 5», pero no describen el mismo conjunto: la primera piensa en los naturales y las otras dos en los reales. Y la pregunta final tiene una respuesta sorprendente: en los reales ningún número tiene un siguiente.

En esta lección vas a comparar los cuatro sistemas numéricos que usas desde la primaria: qué operaciones se pueden hacer sin salirse de cada uno, qué ecuaciones obligaron a ampliarlos y qué propiedad los separa en dos familias.

Antes de empezar recuerda qué es un número racional, por qué $\sqrt{2}$ es irracional y cómo se escribe un intervalo.

Cuatro conjuntos, uno dentro de otro

• Los naturales: $\mathbb{N} = \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ \ldots\}$. En este curso el cero cuenta como natural; algunos libros empiezan en 1, y nada de lo que sigue depende de eso.
• Los enteros: $\mathbb{Z} = \{\ldots;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ \ldots\}$.
• Los racionales, $\mathbb{Q}$: los cocientes $\tfrac{a}{b}$ de enteros con $b \neq 0$.
• Los reales, $\mathbb{R}$: los racionales junto con los irracionales, como $\sqrt{2}$ o $\pi$. Son todos los puntos de la recta numérica.

Cada conjunto contiene al anterior: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Operaciones cerradas

Un conjunto es cerrado para una operación si, al operar dos elementos cualesquiera del conjunto, el resultado vuelve a estar en el conjunto. Para decir que no es cerrado basta un solo contraejemplo.

• $\mathbb{N}$ es cerrado para la suma y el producto, pero no para la resta: $3 - 8$ no es natural.
• $\mathbb{Z}$ es cerrado para la suma, la resta y el producto, pero no para la división: $7 \div 2$ no es entero.
• $\mathbb{Q}$ es cerrado para las cuatro operaciones, si no se divide entre cero. No es cerrado para la raíz cuadrada: $\sqrt{2}$ no es racional.
• $\mathbb{R}$ es cerrado para las cuatro operaciones (sin dividir entre cero), y la raíz cuadrada de un real no negativo es real. La de un negativo no lo es: ningún real elevado al cuadrado da $-1$.

Ojo: los irracionales solos no forman un conjunto cerrado ni para la suma ni para el producto, porque dos irracionales pueden dar un racional.

Cada ampliación resuelve una ecuación nueva

Los sistemas numéricos no se inventaron todos a la vez. Cada uno resuelve ecuaciones que el anterior no puede resolver:

• $x + 5 = 2$ no tiene solución en $\mathbb{N}$; en $\mathbb{Z}$, sí: $x = -3$.
• $3x = 2$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$; en $\mathbb{Q}$, sí: $x = \tfrac{2}{3}$.
• $x^2 = 2$ no tiene solución en $\mathbb{Q}$; en $\mathbb{R}$ tiene dos: $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$.

¿Por qué ningún racional cumple $x^2 = 2$? Supón que sí, y escríbelo como fracción irreducible $\tfrac{p}{q}$. Entonces $p^2 = 2q^2$, así que $p^2$ es par y, por tanto, $p$ es par (si $p$ fuera impar, $p^2$ también sería impar): $p = 2k$. Al reemplazar queda $4k^2 = 2q^2$, es decir, $q^2 = 2k^2$, y $q$ también sería par. Pero una fracción irreducible no puede tener numerador y denominador pares. La suposición era falsa.

La historia no termina en $\mathbb{R}$: $x^2 = -1$ no tiene solución real, y para resolverla se construyen los números complejos, que verás más adelante. Fíjate en otra cosa: al pasar de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ cada número gana un opuesto ($-a$), y al pasar de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ cada número distinto de cero gana un inverso multiplicativo ($\tfrac{1}{a}$).

La densidad: no hay «siguiente»

En $\mathbb{N}$ y en $\mathbb{Z}$ cada número tiene un siguiente: después del 5 viene el 6, y entre 5 y 6 no hay ningún entero. En $\mathbb{Q}$ pasa algo muy distinto. Si $a$ y $b$ son racionales con $a < b$, su punto medio $\tfrac{a + b}{2}$ también es racional (sumar y dividir entre 2 no saca de $\mathbb{Q}$) y queda entre los dos:

$$a < \frac{a + b}{2} < b.$$

Como el proceso se puede repetir con $a$ y el punto medio, y así sin fin, entre dos racionales distintos hay infinitos racionales. Esa propiedad se llama densidad. $\mathbb{R}$ también es denso, y además entre dos reales distintos hay siempre racionales y también irracionales.

Por eso la pregunta «¿qué número sigue a 5?» no tiene respuesta en los reales. Si alguien propone 5,1, el 5,01 queda más cerca; si propone 5,01, el 5,005 está todavía más cerca. Ningún candidato sirve.

Por qué hacen falta otras notaciones

Un conjunto de naturales o de enteros se puede escribir por extensión, listando sus elementos: los naturales mayores que 5 son $\{6;\ 7;\ 8;\ \ldots\}$, y los puntos suspensivos se entienden porque cada uno tiene un siguiente. Con los reales eso es imposible: no hay un «primero después del 5» con el cual empezar la lista. Por la densidad, un subconjunto de $\mathbb{R}$ se describe:

• por comprensión, con la condición que cumplen sus elementos: $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}$;
• como intervalo: $(5;\ \infty)$;
• en la recta, con un tramo sombreado.

La misma condición «$x > 5$» da conjuntos distintos según el sistema: en $\mathbb{N}$ son puntos sueltos; en $\mathbb{R}$, una semirrecta sin huecos.

Propiedades comunes y diferentes

Las propiedades comunes a los cuatro sistemas: la suma y el producto son conmutativos y asociativos, el producto se distribuye sobre la suma, 0 es neutro de la suma y 1 lo es del producto, y dos números cualesquiera se pueden comparar: uno es menor, igual o mayor que el otro.

Las diferentes: el opuesto de cada número existe en $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$, pero no en $\mathbb{N}$; el inverso de cada número distinto de cero existe en $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$, pero no en $\mathbb{Z}$, donde solo 1 y $-1$ lo tienen; $\mathbb{N}$ tiene un elemento mínimo y $\mathbb{Z}$ no; y la densidad separa a $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$. Lo que distingue a $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ es que $\mathbb{R}$ no tiene huecos: $\mathbb{Q}$ es denso pero deja sin número puntos como $\sqrt{2}$, y $\mathbb{R}$ los llena todos.

En resumen

• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ: cada sistema contiene al anterior y resuelve ecuaciones que el anterior no puede, como x + 5 = 2, 3x = 2 y x² = 2.

• Un conjunto es cerrado para una operación si operar dos de sus elementos siempre da un elemento del conjunto; un solo contraejemplo basta para negarlo.

• ℚ y ℝ son densos, ℕ y ℤ no lo son; por eso en los reales ningún número tiene un siguiente.

• Los subconjuntos de ℝ se describen por comprensión, como intervalos o en la recta, porque no se pueden listar uno por uno.

• Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva son comunes a los cuatro sistemas; el opuesto, el inverso y la densidad los distinguen.

Vocabulario

Conjunto cerrado para una operación

Un conjunto es cerrado para una operación si al operar dos elementos cualesquiera del conjunto el resultado también está en el conjunto.

Contraejemplo

Un caso concreto que muestra que una afirmación general es falsa.

Densidad

Propiedad de un conjunto ordenado según la cual entre dos elementos distintos hay siempre otro elemento del conjunto. ℚ y ℝ son densos; ℕ y ℤ no lo son.

Inverso multiplicativo

Para un número a distinto de cero, el número 1/a, que cumple a · (1/a) = 1.