Inecuaciones cuadráticas y racionales

¿Para qué sirve esto?

En un modelo inventado, la altura de un balón lanzado hacia arriba es $h = 20t - 5t^2$ metros a los $t$ segundos. ¿Durante cuánto tiempo está a más de 15 metros? La pregunta lleva a la inecuación $20t - 5t^2 > 15$, que no es lineal: tiene un $t^2$, y despejar como en noveno no funciona.

Lo mismo pasa con un cociente. Si una expresión tiene la incógnita en el denominador, como $\tfrac{x - 1}{x - 3}$, no se puede «pasar a multiplicar» el denominador sin más, porque no sabes si es positivo o negativo, y de eso depende el sentido de la desigualdad.

La herramienta para los dos casos es la misma: estudiar el signo de un producto o de un cociente. Hoy vas a justificarla con las propiedades de orden y a organizarla en una tabla de signos.

Antes de empezar recuerda cómo se factoriza un trinomio como $x^2 - 2x - 8$ y cómo se escribe una unión de intervalos.

El signo de un producto

Para dos reales $a$ y $b$:

• $ab > 0$ exactamente cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo;
• $ab < 0$ exactamente cuando tienen signos contrarios;
• $ab = 0$ exactamente cuando $a = 0$ o $b = 0$.

No es una regla para memorizar: sale de las propiedades de orden. Si $b > 0$ y multiplicas los dos lados por $a > 0$, el sentido se conserva: $ab > a \cdot 0 = 0$. Si multiplicas $b > 0$ por $a < 0$, el sentido se invierte: $ab < 0$. Con los dos negativos, $-a$ y $-b$ son positivos y $ab = (-a)(-b) > 0$.

Para un cociente $\tfrac{a}{b}$ vale lo mismo, porque $\tfrac{a}{b}$ y $ab$ tienen el mismo signo, con una diferencia importante: $b$ no puede ser cero. Un cociente vale cero solo cuando el numerador es cero y el denominador no.

La tabla de signos

Para resolver una inecuación cuadrática o racional:

1. Pasa todo a un lado, para comparar con cero.
2. Factoriza el numerador y, si lo hay, el denominador.
3. Halla los puntos críticos: los valores que anulan algún factor.
4. Ubícalos en la recta. Dentro de cada intervalo que queda entre ellos, cada factor conserva su signo, así que basta con un valor de prueba por intervalo.
5. Con la regla de los signos, escribe el signo de la expresión en cada intervalo y elige los que cumplen la desigualdad.
6. Decide los extremos: con $\le$ o $\ge$ entran los ceros del numerador; los ceros del denominador son valores excluidos y no entran nunca, porque ahí la expresión no existe.

¿Por qué cada factor conserva su signo dentro de un intervalo? Un factor como $x - 4$ solo cambia de signo al pasar por su cero, $x = 4$. Si en el intervalo no hay puntos críticos, ningún factor pasa por cero y ningún signo cambia.

Dos errores que la tabla evita

Multiplicar por el denominador. En $\tfrac{x + 2}{x - 1} \ge 1$ es tentador multiplicar los dos lados por $x - 1$. Pero $x - 1$ es positivo para unos valores de $x$ y negativo para otros, y al multiplicar por un negativo el sentido se invierte. Lo seguro es restar 1 a los dos lados y comparar con cero, como en el ejemplo que sigue.

Sacar raíz a una desigualdad. $x^2 < 9$ no equivale a $x < 3$: con $x = -5$ se cumple $x < 3$, pero $(-5)^2 = 25$ no es menor que 9. Al «sacar raíz» se pierde la cota de abajo. Lo correcto es factorizar, $(x + 3)(x - 3) < 0$, y usar la tabla.

El dominio también decide

Las propiedades que usamos son de los reales. Si el problema trabaja en otro dominio, el conjunto solución cambia. La inecuación $x^2 < 9$ tiene en $\mathbb{R}$ el intervalo $(-3;\ 3)$; en $\mathbb{Z}$, los enteros $\{-2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2\}$; y en $\mathbb{N}$, solo $\{0;\ 1;\ 2\}$. Y si $x$ es un tiempo o una longitud, solo tienen sentido los valores no negativos (o solo los positivos, según el problema): primero se resuelve en $\mathbb{R}$ y después se recorta.

En resumen

• Un producto de reales es positivo si los factores tienen el mismo signo y negativo si tienen signos contrarios; un cociente sigue la misma regla, con el denominador distinto de cero.

• Para resolver una inecuación cuadrática o racional se compara con cero, se factoriza, se hallan los puntos críticos y se hace la tabla de signos.

• Con ≤ o ≥ entran los ceros del numerador; los ceros del denominador son valores excluidos y no entran nunca.

• No se multiplica por una expresión con x sin conocer su signo, y x² < a no equivale a x < √a, sino a −√a < x < √a.

• El conjunto solución se recorta según el dominio del problema: enteros, naturales o valores positivos.

Vocabulario

Inecuación cuadrática

Inecuación que, al pasar todo a un lado, compara con cero un polinomio de grado 2, como x² − 2x − 8 > 0.

Inecuación racional

Inecuación en la que la incógnita aparece en un denominador, como (x − 1)/(x − 3) ≤ 0.

Punto crítico

Valor de x que anula un factor del numerador o del denominador; en él la expresión puede cambiar de signo.

Valor excluido

Valor de x que anula un denominador. La expresión no existe en él, así que nunca pertenece al conjunto solución.

Tabla de signos

Tabla que muestra el signo de cada factor, y el de la expresión completa, en cada intervalo determinado por los puntos críticos.