Inecuaciones con valor absoluto

¿Para qué sirve esto?

Un taller inventado fabrica ejes que deben tener 20 mm de diámetro. Ninguna máquina corta exacto, así que el cliente acepta los ejes cuyo diámetro $d$ se aleja de 20 mm a lo sumo 0,05 mm. Esa condición cabe en una línea: $|d - 20| \le 0{,}05$.

En la industria casi todas las medidas vienen así: una medida nominal y una tolerancia. Y las preguntas que importan son inecuaciones: ¿qué piezas se aceptan? Si una pieza se arma con varias partes, ¿cuánto error se le puede permitir a cada parte?

En décimo resolviste desigualdades como $|x - 3| < 2$. Hoy vas a resolver las de la forma $|ax + b| < c$ y $|ax + b| \ge c$, a justificar la regla con lo que sabes del producto de reales y a usarla en problemas de tolerancia.

Antes de empezar recuerda que $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta.

El valor absoluto es una distancia

El valor absoluto de un número es su distancia al cero: $|5| = 5$ y $|-5| = 5$. Por eso nunca es negativo. Y $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$: da lo mismo medir de $x$ a $a$ o de $a$ a $x$, así que $|x - a| = |a - x|$.

Con esa lectura, cada inecuación es una frase. Si $c$ es positivo:

• $|u| < c$ dice que $u$ está a menos de $c$ unidades del cero: $-c < u < c$.
• $|u| > c$ dice que $u$ está a más de $c$ unidades del cero, a un lado o al otro: $u < -c$ o $u > c$.

Con $\le$ o $\ge$ los extremos se incluyen. Aquí $u$ puede ser cualquier expresión, como $2x - 3$.

Por qué vale la regla

La regla se justifica con el signo de un producto. Si $c > 0$, los dos lados de $|u| < c$ son no negativos, y para dos números no negativos, el menor tiene el cuadrado menor. Entonces $|u| < c$ equivale a $u^2 < c^2$, es decir, a

$$(u - c)(u + c) < 0.$$

Ese producto es negativo cuando los factores tienen signos contrarios, y eso pasa justo entre $-c$ y $c$. Es la misma tabla de signos de la lección anterior, y da $-c < u < c$.

Cuando c no es positivo

Antes de aplicar la regla, mira el signo de $c$. Como una distancia nunca es negativa:

• $|u| < -2$ no tiene solución, y $|u| < 0$ tampoco.
• $|u| \le 0$ solo se cumple cuando $u = 0$.
• $|u| > -2$ y $|u| \ge 0$ se cumplen para todos los reales.
• $|u| > 0$ se cumple para todos los reales salvo los que hacen $u = 0$.

Aplicar la regla a ciegas con $c$ negativo da conjuntos sin sentido, como $2 < x < -2$.

El centro y el radio de |ax + b| < c

Para leer $|ax + b| < c$ como una distancia, se saca $a$ de las barras: $|ax + b| = |a| \cdot \left|x + \tfrac{b}{a}\right|$. Al dividir entre $|a|$, que es positivo, queda $\left|x - \left(-\tfrac{b}{a}\right)\right| < \tfrac{c}{|a|}$: el centro es $-\tfrac{b}{a}$ y el radio es $\tfrac{c}{|a|}$. No hace falta hacerlo siempre, pero sirve para comprobar el resultado.

Tolerancias en fabricación

Una pieza con medida nominal $m$ y tolerancia $t$ se acepta si su medida $x$ cumple $|x - m| \le t$, es decir, si está en $[m - t;\ m + t]$. Las rechazadas cumplen la desigualdad contraria, $|x - m| > t$: están fuera del intervalo, por exceso o por defecto.

Muchas veces la tolerancia se da en porcentaje: «220 con tolerancia del 5 %» quiere decir $t = 0{,}05 \cdot 220$. Y al revés, si te dan el intervalo aceptado, el centro es la medida nominal y la mitad de la longitud es la tolerancia.

Cuando una pieza se arma con varias partes iguales, sus errores se suman. Si la pieza debe cumplir una tolerancia, a cada parte le toca una fracción de ella, como en el ejemplo que sigue.

En resumen

• |x − a| es la distancia entre x y a, y nunca es negativa.

• Si c > 0, |u| < c equivale a −c < u < c, y |u| > c equivale a u < −c o u > c; con ≤ o ≥ los extremos se incluyen.

• La regla se justifica porque, con c > 0, |u| < c equivale a (u − c)(u + c) < 0.

• Si c es negativo, |u| < c no tiene solución y |u| > c la cumplen todos los reales; |u| ≤ 0 solo se cumple cuando u = 0.

• Una tolerancia se escribe |x − m| ≤ t; si una pieza se arma con n partes iguales, a cada parte le toca t/n.

Vocabulario

Valor absoluto

|u| es u si u ≥ 0, y −u si u < 0. Es la distancia de u a 0, y nunca es negativo.

Distancia entre dos números

La distancia entre x y a es |x − a|, que también es igual a |a − x|.

Tolerancia

La mayor diferencia que se acepta entre la medida real de una pieza y su medida nominal.

Medida nominal

La medida ideal con la que se diseña una pieza; es el centro del intervalo de medidas aceptadas.