Precisión y exactitud en la medición
Lo que vas a aprender
- Distinguir la precisión de la exactitud a partir de una tabla de medidas repetidas y un valor de referencia.
- Calcular el error absoluto y el error relativo de una medida, y expresar el resultado con las cifras significativas adecuadas.
- Estimar el error de una medida indirecta, como el área de un rectángulo o una rapidez, a partir de los errores de las medidas directas.
- Elegir el instrumento que conviene mejorar para reducir el error de un resultado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En un laboratorio inventado hay una pesa patrón de 50,0 g, cuya masa se conoce muy bien, y dos balanzas. Cada una pesa la misma pesa cuatro veces. La primera da casi el mismo número cada vez, pero ese número no es 50,0. La segunda da números más dispersos, pero su promedio es justo 50,0. ¿Cuál balanza es mejor?
La pregunta no tiene una sola respuesta, porque hay dos cualidades distintas en juego: la precisión y la exactitud. En la industria, en la medicina y en la ciencia se necesita saber cuál de las dos falla, porque se corrigen de formas distintas.
Hoy vas a distinguirlas, a calcular cuánto error tiene una medida y a predecir cuánto error tendrá un resultado que se calcula a partir de varias medidas, como un área o una rapidez.
Antes de empezar recuerda cómo se calculan la media y el rango de un conjunto de datos, y cómo se redondea un decimal.
Explicación
Precisión y exactitud
Piensa en un tablero de dardos. Si los dardos quedan todos juntos, el lanzador es preciso, aunque el grupo esté lejos del centro. Si quedan repartidos alrededor del centro, en promedio apunta bien: es exacto, pero poco preciso. Lo ideal es un grupo apretado y en el centro.
Con las medidas pasa igual:
- La exactitud compara con el valor verdadero o de referencia. Se juzga con la distancia entre el promedio de las medidas y ese valor.
- La precisión compara las medidas entre sí, sin mirar el valor verdadero. Se juzga con su dispersión: el rango o la desviación estándar.
Un instrumento mal calibrado puede ser muy preciso y poco exacto: se equivoca siempre en la misma cantidad. A ese error que se repite se le llama sistemático, y se corrige calibrando. Los errores que cambian de una medida a otra se llaman aleatorios, y se reducen repitiendo la medición y promediando, o usando un instrumento mejor.
Ejemplo resuelto
Dos balanzas y una pesa patrón
Con la pesa patrón de 50,0 g, la balanza A marca 49,1; 49,2; 49,3 y 49,2 g, y la balanza B marca 50,4; 49,6; 50,3 y 49,7 g. ¿Cuál es más precisa y cuál más exacta?
Ver la solución paso a paso
La media de la balanza A:
$$\operatorname{media}\left(\left[49{,}1;\ 49{,}2;\ 49{,}3;\ 49{,}2\right]\right)$$
da
$$49{,}2$$
Su rango, la diferencia entre la mayor y la menor medida:
$$\operatorname{rango}\left(\left[49{,}1;\ 49{,}2;\ 49{,}3;\ 49{,}2\right]\right)$$
$$0{,}2$$
La media de la balanza B:
$$\operatorname{media}\left(\left[50{,}4;\ 49{,}6;\ 50{,}3;\ 49{,}7\right]\right)$$
$$50$$
Su rango:
$$\operatorname{rango}\left(\left[50{,}4;\ 49{,}6;\ 50{,}3;\ 49{,}7\right]\right)$$
$$0{,}8$$
La distancia entre la media de A y el valor de referencia es de casi un gramo, mientras que la media de B coincide con él:
$$\left|49{,}2 - 50{,}0\right| = 0{,}8$$
Las medidas de A están más juntas (rango 0,2 g frente a 0,8 g): A es más precisa. Pero su promedio se aleja 0,8 g del valor verdadero, y el de B no: B es más exacta. A tiene un error sistemático, y calibrarla la volvería precisa y exacta.
Respuesta: A es más precisa (rango 0,2 g) pero poco exacta (media 49,2 g); B es menos precisa (rango 0,8 g) pero más exacta (media 50,0 g).
Balanza A: sus medidas (49,1; 49,2 dos veces y 49,3 g) están juntas pero lejos del patrón de 50,0 g.
Balanza B: sus medidas (49,6; 49,7; 50,3 y 50,4 g) están más dispersas, pero repartidas alrededor del patrón.
Una simulación de dardos que se porta como la balanza A. Lanza 5 dardos y después 20: caen muy juntos, así que el tirador es preciso, pero su centro queda lejos del blanco, así que no es exacto. Juntar más los dardos no arregla el error: hay que corregir hacia dónde apunta, como habría que calibrar la balanza.
La apreciación y el error de una medida
La apreciación de un instrumento es lo más pequeño que permite leer: una regla graduada en milímetros aprecia 1 mm. Con ella no tiene sentido decir que un lápiz mide 152,37 mm. Una medida se escribe con su error: $x = 152 \pm 1$ mm quiere decir que el valor está entre 151 y 153 mm. En esta lección, para una sola lectura, tomamos como error absoluto la apreciación del instrumento; algunos textos usan la mitad, y la idea es la misma.
El error absoluto solo no dice si una medida es buena. Un milímetro de error es poco en el largo de un salón y muchísimo en el grosor de una hoja. Por eso se usa el error relativo, el error absoluto dividido entre la medida:
$$e_r = \frac{\text{error absoluto}}{\text{valor medido}}, \qquad \text{en porcentaje: } e_r \cdot 100\ \%.$$
Cuando se conoce el valor verdadero, como el de una pesa patrón, el error absoluto es la diferencia $|\text{medida} - \text{valor verdadero}|$, y se suele dividir entre el valor verdadero. Si el error es pequeño, dividir entre uno o entre otro casi no cambia el resultado.
Para mejorar la precisión de una medida pequeña hace falta un instrumento con divisiones más finas, como un calibrador en vez de una regla. Cambiar de unidad no basta: 12 mm y 1,2 cm son la misma medida, con el mismo error.
Cifras significativas
Las cifras significativas de una medida son las que se conocen con certeza más la primera dudosa. Las reglas para contarlas: toda cifra distinta de cero cuenta; los ceros entre cifras distintas de cero cuentan; los ceros a la izquierda no cuentan, porque solo ubican la coma; y los ceros finales, los que van después de la última cifra distinta de cero y a la derecha de la coma, sí cuentan. Así, 0,00450 tiene tres cifras significativas (4, 5 y el último 0), y 2,030 tiene cuatro.
Escribir «12,0 cm» no es lo mismo que «12 cm»: el cero final dice que se midió hasta las décimas. Y un resultado no debe llevar más cifras de las que justifica su error: la última cifra que se escribe es la del orden del error.
Ejemplo resuelto
El mismo error, distinto error relativo
Con una cinta de apreciación 0,01 m se mide un pasillo inventado de 8,50 m, y con una regla de apreciación 1 mm se mide el grosor de un cuaderno, 12 mm. Compara los errores relativos.
Ver la solución paso a paso
Error relativo del pasillo:
$$\frac{0{,}01}{8{,}50}$$
Es un poco más de una milésima: alrededor del $0{,}12$ %.
$$0{,}0011 < \frac{0{,}01}{8{,}50} < 0{,}0012$$
Error relativo del cuaderno:
$$\frac{1}{12}$$
Es más de ocho centésimas: alrededor del $8{,}3$ %.
$$0{,}083 < \frac{1}{12} < 0{,}084$$
La regla no es peor instrumento que la cinta, pero el cuaderno es pequeño para ella. Para medir su grosor con más precisión conviene un instrumento de divisiones más finas.
Respuesta: El pasillo tiene un error relativo de cerca del 0,12 %, y el cuaderno, de cerca del 8,3 %: la medida del pasillo es mucho más precisa en proporción.
Medidas indirectas: el error se propaga
Muchas cantidades no se miden directamente: se calculan. El área de un rectángulo sale de medir el largo y el ancho; una rapidez, de medir una distancia y un tiempo. Cada medida directa trae su error, y esos errores pasan al resultado.
La forma más segura de estimarlo es calcular el resultado con los valores extremos posibles. En un producto o un cociente, cuando los errores son pequeños, hay además un atajo: el error relativo del resultado es, aproximadamente, la suma de los errores relativos de las medidas. Ese atajo dice también qué instrumento conviene mejorar: el que aporta el error relativo más grande.
Ejemplo resuelto
El área de un rectángulo medido con error
Un rectángulo mide $12{,}0 \pm 0{,}1$ cm de largo y $8{,}0 \pm 0{,}1$ cm de ancho. ¿Cuál es su área, con su error?
Ver la solución paso a paso
El área con los valores medidos:
$$12{,}0 \cdot 8{,}0$$
$$96$$
La menor área posible, con los dos lados en su valor mínimo:
$$11{,}9 \cdot 7{,}9$$
$$94{,}01$$
La mayor área posible, con los dos lados en su valor máximo:
$$12{,}1 \cdot 8{,}1$$
$$98{,}01$$
El área real puede alejarse unos 2 cm² de 96 cm²:
$$98{,}01 - 96 = 2{,}01$$
Con el atajo: el error relativo del área es cerca de la suma de los de los lados, algo más del 2 %, y el 2 % de 96 es casi 2.
$$0{,}02 < \frac{0{,}1}{12{,}0} + \frac{0{,}1}{8{,}0} < 0{,}021$$
El error está en las unidades, así que el área se escribe sin decimales: tiene sentido escribir 96, no 96,00.
Respuesta: $A = 96 \pm 2$ cm².
Práctica
Cuatro estudiantes miden el largo de una mesa inventada y obtienen 152,3; 152,5; 152,4 y 152,6 cm. ¿Cuál es el rango de sus medidas, en cm?
El rango es 152,6 − 152,3 = 0,3 cm. Un rango pequeño indica medidas precisas; para saber si son exactas haría falta conocer el largo verdadero.
Una balanza inventada marca 198,6 g al pesar una pesa patrón de 200 g. ¿Cuál es el error absoluto, en gramos?
|198,6 − 200| = 1,4 g. El error absoluto se da sin signo y en las mismas unidades que la medida.
Con la misma balanza que marca 198,6 g para la pesa de 200 g, ¿cuál es el error relativo, en porcentaje?
1,4/200 = 0,007, que en porcentaje es 0,7 %. Aquí se divide entre el valor de referencia porque se conoce.
¿Cuál es el error relativo, en porcentaje, de medir un grosor de 4 mm con un calibrador de apreciación 0,05 mm?
0,05/4 = 0,0125, es decir, 1,25 %. Con una regla de apreciación 1 mm, el error relativo de la misma medida sería 1/4 = 25 %: para medidas pequeñas conviene un instrumento más fino.
Redondea 0,0045678 a tres cifras significativas.
Los ceros a la izquierda no cuentan. Las tres primeras cifras significativas son 4, 5 y 6; la siguiente es 7, así que el 6 sube a 7: 0,00457.
Redondea 3,14159 a cuatro cifras significativas.
Las cuatro primeras cifras son 3, 1, 4 y 1; la siguiente es 5, así que el último 1 sube a 2: 3,142.
Un rectángulo mide 20,0 ± 0,1 cm por 5,0 ± 0,1 cm. ¿Cuánto más que el área calculada con los valores medidos puede tener, como máximo, el área real? Responde en centímetros cuadrados.
El área medida es 20,0 · 5,0 = 100 cm², y la mayor posible es 20,1 · 5,1 = 102,51 cm². La diferencia es 2,51 cm². Casi todo viene del ancho: su error relativo es 2 %, y el del largo, 0,5 %.
Un carrito inventado recorre 2,40 m en 3,0 s. ¿Cuál es su rapidez media, en m/s?
La rapidez media es la razón entre la distancia y el tiempo: 2,40 m / 3,0 s = 0,80 m/s. Se escribe 0,80 y no 0,8 porque el tiempo trae dos cifras significativas, y el resultado también. Por cada segundo, el carrito avanza en promedio 0,80 m.
La distancia del carrito, 2,40 m, se midió con un error de 0,01 m, y el tiempo, 3,0 s, con un error de 0,1 s. Con el atajo de sumar errores relativos, ¿cuál es el error relativo aproximado de la rapidez, en porcentaje? Redondea a dos decimales.
0,01/2,40 ≈ 0,42 % y 0,1/3,0 ≈ 3,33 %. La suma es 3,75 %. Casi todo el error viene del cronómetro.
Para la rapidez del carrito, ¿qué conviene mejorar para que el resultado sea más preciso?
El tiempo aporta cerca de 3,33 % y la distancia cerca de 0,42 %. Mejorar la cinta casi no cambia el total; medir el tiempo con más precisión, por ejemplo con un sensor o repitiendo y promediando, sí.
Un termómetro inventado, en agua a 20,0 °C, marca 21,5; 21,4; 21,5 y 21,6 °C. ¿Cómo se describe?
Las lecturas varían a lo sumo 0,2 °C entre sí (precisión alta), pero su promedio se aleja unos 1,5 °C del valor verdadero (exactitud baja). Es un error sistemático: se corrige calibrando.
Reto
Une cada error relativo con su valor decimal.
El error relativo es el error absoluto dividido entre la medida.
Reto
Abre el candado con los errores.
Calcula cada pista en tu cuaderno. Cada respuesta es un dígito.
Reto
Busca las palabras de la medición.
Las palabras pueden estar en horizontal o en vertical.
Cierre
En resumen
La exactitud compara las medidas con el valor verdadero; la precisión compara las medidas entre sí.
Un error sistemático hace un instrumento preciso pero inexacto y se corrige calibrando; los errores aleatorios se reducen repitiendo y promediando.
El error relativo es el error absoluto dividido entre la medida; permite comparar medidas de tamaños distintos.
Las cifras significativas son las cifras seguras más la primera dudosa; los ceros a la izquierda no cuentan.
En un producto o un cociente, con errores pequeños, los errores relativos se suman aproximadamente; conviene mejorar el instrumento que aporta el mayor.
Vocabulario
- Exactitud
Qué tan cerca está una medida, o el promedio de varias, del valor verdadero o de referencia.
- Precisión
Qué tan cerca están entre sí las medidas repetidas de una misma cantidad, hechas en las mismas condiciones.
- Apreciación de un instrumento
La menor variación que el instrumento permite leer; en una escala, el valor de su menor división.
- Error absoluto
La diferencia, en valor absoluto, entre la medida y el valor de referencia; o la incertidumbre que se le asigna a una medida. Tiene las mismas unidades que la medida.
- Error relativo
El error absoluto dividido entre el valor medido. No tiene unidades y se suele dar en porcentaje.
- Cifras significativas
Las cifras de una medida que se conocen con certeza más la primera cifra dudosa. Los ceros a la izquierda no cuentan.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Presente las dos balanzas inventadas y pida que voten cuál es mejor antes de hacer cuentas; anote los argumentos.
- Explicación · 20 min — Precisión frente a exactitud con el ejemplo de las balanzas y las dos rectas; apreciación, error relativo y cifras significativas; el área del rectángulo con valores extremos.
- Práctica · 25 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas. Si hay reglas y cronómetros, mida en grupo una distancia y un tiempo y calcule la rapidez con su error.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe qué instrumento mejoraría para reducir el error de la rapidez y por qué.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un instrumento ser exacto y poco preciso? ¿Cómo se vería en el tablero de dardos?
- ¿Por qué 1 mm de error es mucho en el grosor de una hoja y poco en el largo del salón?
- ¿Qué dice de una medida escribir 12,0 cm en lugar de 12 cm?
- Si el tiempo aporta casi todo el error de una rapidez, ¿sirve de algo comprar una cinta métrica mejor?
Errores típicos
- Usar «preciso» y «exacto» como sinónimos. Pida para cada conjunto de medidas dos frases: una que compare con el valor verdadero y otra que compare las medidas entre sí.
- Contar los ceros a la izquierda como cifras significativas. Escriba la misma medida en otra unidad (0,0045 m = 4,5 mm) y muestre que esos ceros desaparecen.
- Escribir un resultado con más cifras de las que justifica el error, como 96,00 ± 2. Pida identificar en qué cifra está el error y cortar el resultado ahí.
- Sumar errores absolutos de magnitudes distintas (metros con segundos). Recuerde que el error relativo no tiene unidades y por eso sí se puede sumar en un cociente.
Tarea sugerida
Medir cinco veces el largo de un mismo objeto con una regla, calcular la media y el rango, y escribir el resultado con su error; después medir el largo y el ancho de una hoja, calcular su área y estimar su error con los valores extremos.