Funciones: dominio, rango y composición
Lo que vas a aprender
- Hallar el dominio de una función que combina raíces, cocientes y logaritmos, reuniendo todas sus condiciones.
- Determinar el rango de una función a partir de las funciones básicas que la forman y de su gráfica.
- Calcular la composición f∘g de dos funciones, su valor en un número y su dominio.
- Descomponer una función en dos funciones más simples y comprobar la descomposición.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En una fábrica inventada de jugos, la cantidad de fruta que se compra depende de cuántas botellas se quieren llenar, y el costo depende de la cantidad de fruta. Si conoces las dos reglas por separado, puedes juntarlas en una sola: del número de botellas al costo, sin pasar por la fruta. Encadenar así dos funciones se llama componerlas, y es una de las ideas que más se usan en ciencias, en economía y en la programación de computadores: cada programa grande está hecho de funciones pequeñas que se pasan resultados unas a otras.
Antes de encadenar hay que saber qué números acepta cada función. Una calculadora responde «Error» si le pides la raíz cuadrada de un negativo, el logaritmo de cero o una división por cero. Esos «errores» son los bordes del dominio, y en esta lección vas a aprender a encontrarlos aunque la fórmula mezcle raíces, fracciones y logaritmos.
Antes de empezar repasa qué son el dominio y el rango, cómo se resuelve una inecuación cuadrática con una tabla de signos y qué significa $\log_b a$.
Explicación
Dónde está definida una fórmula
Cuando una función se da solo con su fórmula, su dominio son todos los números reales para los que la fórmula produce un número real. En el bachillerato hay tres operaciones que ponen condiciones:
- Un cociente: el denominador tiene que ser distinto de cero.
- Una raíz de índice par ($\sqrt{\ }$, $\sqrt[4]{\ }$…): lo de dentro tiene que ser mayor o igual que cero.
- Un logaritmo: el argumento tiene que ser estrictamente positivo. El logaritmo de cero no existe, porque ninguna potencia de una base positiva da cero, y el de un negativo tampoco, porque esas potencias siempre son positivas.
Si una fórmula tiene varias de esas operaciones, se escribe una condición por cada una y el dominio son los números que cumplen todas a la vez: la intersección de los conjuntos. Un error frecuente es resolver solo la condición más visible y olvidar las otras.
Fíjate en la diferencia entre la raíz y el logaritmo: en $\sqrt{u}$ el cero sí sirve, porque $\sqrt{0} = 0$; en $\log_b u$ el cero no sirve. Por eso una condición lleva «$\ge$» y la otra «$>$».
Ejemplo resuelto
Una raíz sobre un denominador
Halla el dominio de $f(x) =$ $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$.
Ver la solución paso a paso
En $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ hay dos operaciones que ponen condiciones: la raíz del numerador y el denominador.
La raíz pide que lo de dentro no sea negativo:
$$x + 2 \ge 0$$
Restamos 2 a ambos lados.
$$x \ge -2$$
El denominador no puede valer cero:
$$x - 3 \ne 0$$
Sumamos 3.
$$x \ne 3$$
Los dos requisitos se cumplen a la vez desde $-2$ (incluido, porque $\sqrt{0}$ existe) en adelante, saltando el 3. El dominio es $[-2;\ 3) \cup (3;\ \infty)$.
Respuesta: $[-2;\ 3) \cup (3;\ \infty)$
Ejemplo resuelto
El dominio y el rango de un logaritmo
Halla el dominio y el rango de $g(x) =$ $\log_{2} \left(x^{2} - 9\right)$.
Ver la solución paso a paso
El argumento del logaritmo en $\log_{2} \left(x^{2} - 9\right)$ es $x^2 - 9$, y tiene que ser estrictamente positivo.
Planteamos la condición.
$$x^{2} - 9 > 0$$
Factorizamos la diferencia de cuadrados.
$$\left(x - 3\right)\left(x + 3\right) > 0$$
El producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo: los dos positivos ($x > 3$) o los dos negativos ($x < -3$). Esa pareja de casos es lo mismo que pedir que $x$ esté a más de 3 unidades del cero:
$$\left|x\right| > 3$$
El dominio es $(-\infty;\ -3) \cup (3;\ \infty)$. Para el rango, piensa en lo que entra al logaritmo: en ese dominio, $x^2 - 9$ toma todos los valores positivos, muy cerca de 0 cuando $x$ se acerca a 3 y tan grandes como quieras cuando $x$ crece. Y el logaritmo en base 2 de los positivos da todos los reales. Por ejemplo, para que $g(x) = 4$, el argumento tiene que valer $2^4$:
$$x^{2} - 9 = 2^{4}$$
Sumamos 9.
$$x^{2} = 25$$
Las soluciones son 5 y $-5$, y las dos están en el dominio. Comprobamos con $x = 5$:
$$\log_{2} \left(5^{2} - 9\right) = 4$$
Con cualquier otro valor de $y$ se razona igual: $x^2 = 9 + 2^y$ siempre tiene solución. El rango es $\mathbb{R}$.
Respuesta: Dominio $(-\infty;\ -3) \cup (3;\ \infty)$; rango $\mathbb{R}$.
El rango: de las piezas a la función
El rango es más difícil de calcular que el dominio, porque hay que saber qué valores salen, no cuáles entran. La estrategia más útil es partir de las funciones básicas, cuyo rango ya conoces, y seguir lo que les hace cada operación:
- $\sqrt{u}$ nunca es negativa: si $u$ toma todos los valores desde 0, la raíz también.
- $\dfrac{1}{u}$ nunca vale cero, por grande que sea $u$; y si $u$ recorre todos los reales distintos de cero, $\dfrac{1}{u}$ toma todos los valores salvo el 0.
- $b^u$, con $b > 0$, siempre es positiva.
- $\log_b u$ toma todos los valores reales si $u$ recorre todos los positivos.
Después, sumar una constante sube o baja el rango, y multiplicar por un negativo lo voltea. Así, $\sqrt{x - 1}$ toma los valores de $[0;\ \infty)$, y $\sqrt{x - 1} + 2$ toma los de $[2;\ \infty)$. La gráfica lo confirma: la curva empieza a la altura 2 y sube sin detenerse.
Otra forma de comprobar si un número $y_0$ está en el rango es preguntarse si la ecuación $f(x) = y_0$ tiene solución en el dominio. Es lo que hicimos con el logaritmo: para cada $y$ encontramos un $x$.
La curva y = √(x − 1) + 2 empieza en el punto (1; 2) y sube sin detenerse: su dominio es [1; ∞) y su rango es [2; ∞).
Componer funciones
Imagina dos máquinas en fila. La primera, $g$, recibe un número $x$ y entrega $g(x)$. Ese resultado entra a la segunda máquina, $f$, que entrega $f(g(x))$. La máquina completa es la composición de $f$ con $g$, y se escribe
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)).$$
Se lee «$f$ compuesta con $g$» o «$f$ de $g$ de $x$». El orden importa: en $f \circ g$ actúa primero la función de la derecha, $g$, que se llama interior, y después $f$, la exterior. En general $f \circ g$ y $g \circ f$ son funciones distintas. Con $f(x) = x + 3$ y $g(x) = 2x$, por ejemplo, $f(g(x)) = 2x + 3$ pero $g(f(x)) = 2x + 6$.
Para calcular la fórmula de $f(g(x))$, se escribe la fórmula de $f$ y cada $x$ se reemplaza por la expresión completa de $g(x)$, entre paréntesis.
El dominio de una composición
Un número $x$ puede entrar a $f \circ g$ si pasa dos controles:
- $x$ tiene que estar en el dominio de $g$, porque la primera máquina tiene que poder trabajar con él;
- el resultado $g(x)$ tiene que estar en el dominio de $f$.
Cuidado con la trampa más común: simplificar primero y buscar el dominio después. Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x - 2}$, la fórmula de $f(g(x))$ se simplifica a $x - 2$, que parece aceptar cualquier número. Pero $x = 0$ no puede entrar: la primera máquina tendría que calcular $\sqrt{-2}$. El dominio de $f \circ g$ es $[2;\ \infty)$, el de $g$, aunque la fórmula final no lo muestre.
Ejemplo resuelto
Una composición y su dominio
Sean $f(x) =$ $\frac{1}{x - 3}$ y $g(x) =$ $\sqrt{x}$. Halla la fórmula de $(f \circ g)(x)$, su dominio y el valor $(f \circ g)(16)$.
Ver la solución paso a paso
La función exterior es $f(x) =$ $\frac{1}{x - 3}$.
La interior es $g(x) =$ $\sqrt{x}$.
En la fórmula de $f$ reemplazamos $x$ por $\sqrt{x}$: $f(g(x)) =$ $\frac{1}{\sqrt{x} - 3}$.
Primer control: $x$ tiene que estar en el dominio de $g$.
$$x \ge 0$$
Segundo control: lo que entra a $f$ no puede ser 3, porque anularía su denominador. Lo que entra a $f$ es $\sqrt{x}$:
$$\sqrt{x} \ne 3$$
Elevando al cuadrado, $\sqrt{x} = 3$ pasa justo en $x = 9$. Juntando los dos controles, el dominio es $[0;\ 9) \cup (9;\ \infty)$. Ahora el valor en 16, por pasos. Primero la máquina $g$:
$$\sqrt{16}$$
Sale $4$, que entra a $f$:
$$\frac{1}{4 - 3}$$
$$1$$
Con la fórmula compuesta da lo mismo, como tenía que pasar:
$$\frac{1}{\sqrt{16} - 3} = 1$$
Respuesta: $(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 3}$, con dominio $[0;\ 9) \cup (9;\ \infty)$, y $(f \circ g)(16) = 1$.
Descomponer una función
El camino inverso también es útil: mirar una fórmula complicada y reconocer en ella dos funciones más simples encadenadas. La pregunta clave es: si tuvieras que calcular el valor con una calculadora, ¿qué harías primero? Eso es la función interior. Lo que harías con ese resultado es la exterior.
Una misma función admite varias descomposiciones, y todas son correctas si al componerlas se recupera la fórmula original. Más adelante, en el cálculo de derivadas, saber descomponer será indispensable.
Ejemplo resuelto
Reconocer las dos máquinas
Escribe $h(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 9}$ como $f(g(x))$ y comprueba la descomposición en $x = 4$.
Ver la solución paso a paso
Para calcular $\sqrt{x^{2} + 9}$ con una calculadora, primero elevas al cuadrado y sumas 9; después sacas la raíz.
Por eso la interior es $g(x) = x^2 + 9$ y la exterior es $f(x) = \sqrt{x}$. Comprobamos en $x = 4$. La máquina $g$ da:
$$4^{2} + 9$$
$$25$$
Ese 25 entra a $f$:
$$\sqrt{25}$$
$$5$$
Y la fórmula de $h$ da el mismo valor:
$$\sqrt{4^{2} + 9} = 5$$
También sirve $g(x) = x^2$ con $f(x) = \sqrt{x + 9}$: lo que importa es que la composición devuelva $h$.
Respuesta: $g(x) = x^2 + 9$ y $f(x) = \sqrt{x}$; en $x = 4$, $g(4) = 25$ y $f(25) = 5 = h(4)$.
Las dos máquinas del ejemplo en fila: g eleva al cuadrado y suma 9, y f saca la raíz. Mete el 4: g lo vuelve 25 y f lo vuelve 5, que es h(4). Después mira la tabla con las máquinas al revés: con el 4, f da 2 y g da 13. Componer en otro orden da otra función.
Práctica
¿Cuál es el dominio de f(x) = $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 5}$?
La raíz pide x − 1 ≥ 0, es decir, x ≥ 1, y el denominador pide x ≠ 5. El 1 sí entra, porque √0 = 0 y 0/(−4) = 0.
¿Cuál es el dominio de f(x) = $\log_{3} \left(2x - 8\right)$?
El argumento tiene que ser positivo: 2x − 8 > 0, es decir, x > 4. El 4 no entra, porque el logaritmo de 0 no existe. (0; ∞) es el dominio de log₃ x, no el de esta función.
Marca todos los números que están en el dominio de f(x) = $\frac{\sqrt{6 - x}}{x - 2}$.
Marca todas las que apliquen.
La raíz pide 6 − x ≥ 0, o sea x ≤ 6, y el denominador pide x ≠ 2. El 6 entra (√0 = 0), el 7 deja negativo lo de dentro de la raíz y el 2 anula el denominador. Los negativos sirven: 6 − (−3) = 9.
¿Cuál es el rango de f(x) = $\frac{3}{x - 1} + 2$?
La fracción 3/(x − 1) toma cualquier valor menos el 0: puede ser positiva o negativa, pero nunca cero. Al sumar 2, f toma cualquier valor menos el 2. (−∞; 1) ∪ (1; ∞) es el dominio: ahí el que falta es el 1.
¿Cuál es el rango de f(x) = $\sqrt{x + 4} - 3$?
√(x + 4) toma todos los valores desde 0 (en x = −4). Al restar 3, todos bajan 3: el rango es [−3; ∞). [−4; ∞) es el dominio.
Si f(x) = $x^{2} - 1$ y g(x) = $3x - 4$, ¿cuánto vale (f ∘ g)(2)?
Primero actúa g: g(2) = 3 · 2 − 4 = 2. Después f: f(2) = 2² − 1 = 3. Si se aplica primero f, sale g(f(2)) = g(3) = 5, que es (g ∘ f)(2).
Si f(x) = $x^{2} + 1$ y g(x) = $2x - 3$, ¿cuál es la fórmula de (f ∘ g)(x)?
En f se reemplaza cada x por (2x − 3), entre paréntesis: (2x − 3)² + 1. 2(x² + 1) − 3 es g(f(x)), la composición al revés; (x² + 1)(2x − 3) es el producto f · g, y 4x² + 10 sale de elevar mal al cuadrado: (2x − 3)² no es 4x² + 9.
¿Verdadero o falso? Si f(x) = $x + 3$ y g(x) = $2x$, entonces f ∘ g y g ∘ f son la misma función.
f(g(x)) = 2x + 3, mientras que g(f(x)) = 2(x + 3) = 2x + 6. Componer no es conmutativo: el orden de las máquinas cambia el resultado.
Si f(x) = $x^{2}$ y g(x) = $\sqrt{x - 2}$, la fórmula de f(g(x)) se simplifica a x − 2. ¿Cuál es el dominio de f ∘ g?
Para entrar a f ∘ g, x tiene que poder entrar primero a g: x − 2 ≥ 0, x ≥ 2. Como f acepta cualquier número, no hay más condiciones. La fórmula simplificada esconde la restricción, pero no la borra.
Si f(x) = $\frac{1}{x - 4}$ y g(x) = $\sqrt{x}$, el dominio de f ∘ g son los x ≥ 0 menos un número. ¿Cuál es ese número?
Lo que entra a f no puede ser 4, que anula su denominador. Lo que entra es √x, y √x = 4 cuando x = 16. Por eso el dominio es [0; 16) ∪ (16; ∞).
¿Verdadero o falso? Si f(x) = $\sqrt{x}$ y g(x) = $3x + 1$, entonces h(x) = $3\sqrt{x} + 1$ es f(g(x)).
f(g(x)) = √(3x + 1): primero se multiplica y se suma, y la raíz va al final. 3√x + 1 es g(f(x)): primero la raíz y después la función g.
Reto
Completa el dominio de cada función.
Escribe una condición por cada raíz, denominador o logaritmo. El logaritmo pide un argumento estrictamente positivo.
Reto
¿Cuál de estos cálculos no da un número real?
En cada ronda, toca la expresión que no existe en los reales: una raíz de un negativo, un logaritmo de un número que no es positivo o una división entre cero.
Reto
Abre el candado componiendo funciones.
Cada pista da un dígito. Aplica primero la función de adentro y después la de afuera.
Cierre
En resumen
El dominio de una fórmula se halla con una condición por operación: denominador ≠ 0, radicando de raíz par ≥ 0 y argumento del logaritmo > 0; valen los x que cumplen todas.
El rango se obtiene siguiendo el rango de las funciones básicas (raíz, recíproco, exponencial, logaritmo) a través de las sumas y los productos, y se confirma en la gráfica.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)): primero actúa g, la interior, y después f, la exterior; en general f ∘ g y g ∘ f son distintas.
El dominio de f ∘ g son los x del dominio de g cuyo resultado g(x) está en el dominio de f; simplificar la fórmula no borra esas restricciones.
Descomponer una función es reconocer qué se calcula primero (la interior) y qué se hace después con ese resultado (la exterior).
Vocabulario
- Dominio
El conjunto de los valores de x para los que la fórmula de la función da un número real.
- Rango
El conjunto de todos los valores que toma f(x) cuando x recorre el dominio.
- Composición
La función f∘g que a cada x le asigna f(g(x)): primero se aplica g y al resultado se le aplica f.
- Función interior y exterior
En f(g(x)), g es la función interior (la que actúa primero) y f la exterior (la que actúa sobre el resultado).
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que calculen en la calculadora √(−4), log 0 y 5 ÷ 0, y que expliquen por qué cada uno da «Error». Esos tres casos son las tres reglas del dominio.
- Explicación · 20 min — Los dos ejemplos de dominio en el tablero, escribiendo una condición por renglón; el rango con la figura; la composición con el dibujo de dos máquinas en fila y el ejemplo de f(g(16)) por los dos caminos.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Antes de la pregunta de f(x) = x² con g(x) = √(x − 2), pida que voten si el dominio es ℝ y luego que prueben con x = 0.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una función que sea la composición de dos y se la pasa a un compañero para que la descomponga.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el cero entra en el dominio de √x y no en el de log x?
- Si una fórmula se simplifica, ¿su dominio puede cambiar? Den un ejemplo.
- ¿Existen dos funciones f y g distintas con f ∘ g = g ∘ f? Busquen una pareja.
- ¿Cómo explicarían a un compañero qué función de f(g(x)) actúa primero?
Errores típicos
- Resolver solo una de las condiciones del dominio (por ejemplo, la de la raíz) y olvidar la del denominador o la del logaritmo. Pida que, antes de resolver nada, subrayen cada raíz, cada denominador y cada logaritmo y escriban una condición por cada uno.
- Escribir x − 4 ≥ 0 para el argumento de un logaritmo. Pregunte qué potencia de 2 da 0. Al no encontrarla, queda claro que el extremo no entra.
- Calcular g(f(x)) cuando se pide f(g(x)). Lean la expresión de adentro hacia afuera: el paréntesis más interno es lo primero que se calcula.
- Hallar el dominio de f ∘ g en la fórmula ya simplificada. Use f(x) = x² y g(x) = √(x − 2): pida evaluar (f ∘ g)(0) paso a paso y vean dónde se detiene la cuenta.
Tarea sugerida
Hallar el dominio de √(x + 1)/(x² − 4) y de log₂(9 − x²); para f(x) = 1/x y g(x) = x − 5, escribir f ∘ g y g ∘ f con sus dominios; y descomponer h(x) = (2x + 1)⁵ de dos maneras distintas.