La función inversa

¿Para qué sirve esto?

En un club de matemáticas (inventado) se mandan mensajes en clave: cada letra se cambia por su número de orden, y cada número $x$ se transforma en $3x + 5$. Quien recibe el mensaje tiene que hacer el camino de vuelta: restar 5 y dividir entre 3. Ese camino de vuelta es otra función, la inversa de la primera.

Deshacer es algo que haces todo el tiempo: pasar de pesos a dólares y de dólares a pesos, de la temperatura que marca un termómetro a la que marca otro, de una contraseña cifrada a la original. En matemáticas, la inversa explica de dónde salen las raíces (deshacen las potencias) y los logaritmos (deshacen las exponenciales), que vas a estudiar en la próxima lección.

Pero no toda función se puede deshacer. En esta lección vas a ver cuándo existe la inversa, cómo se calcula y cómo se ve su gráfica.

Antes de empezar repasa la composición de funciones y cómo se despeja una letra en una fórmula.

Deshacer lo que hace una función

La inversa de una función $f$ es la función $f^{-1}$ que recorre el camino al revés: si $f$ lleva $a$ hasta $b$, entonces $f^{-1}$ lleva $b$ de vuelta hasta $a$.

$$f(a) = b \quad\Longleftrightarrow\quad f^{-1}(b) = a.$$

Cuidado con la notación: el $-1$ de $f^{-1}$ no es un exponente. $f^{-1}(x)$ no es $\dfrac{1}{f(x)}$. Es el nombre de la función que deshace a $f$.

Si se aplica $f$ y después $f^{-1}$, se vuelve al punto de partida. Dicho con composición:

$$f^{-1}(f(x)) = x \ \text{ para todo } x \text{ del dominio de } f, \qquad f(f^{-1}(x)) = x \ \text{ para todo } x \text{ del dominio de } f^{-1}.$$

Esa es la prueba de que una función es la inversa de otra: componerlas en los dos órdenes y obtener $x$. Como $f^{-1}$ intercambia lo que entra con lo que sale, el dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y el rango de $f^{-1}$ es el dominio de $f$.

No todas las funciones tienen inversa

Piensa en $f(x) = x^2$. Como $f(3) = 9$ y $f(-3) = 9$, si alguien te dice «el resultado fue 9» no puedes saber si el número de partida era 3 o $-3$. Una inversa tendría que devolver dos valores para el 9, y entonces no sería una función.

Por eso solo tienen inversa las funciones uno a uno: las que nunca le dan la misma imagen a dos números distintos. En la gráfica se reconocen con la prueba de la recta horizontal: si alguna recta horizontal corta la curva en dos o más puntos, hay dos valores de $x$ con la misma imagen, y la función no es uno a uno. No la confundas con la prueba de la recta vertical, que decide si una curva es la gráfica de una función.

Las funciones que siempre crecen, o que siempre decrecen, pasan la prueba: al avanzar hacia la derecha nunca regresan a una altura por la que ya pasaron.

Cómo se halla la fórmula de la inversa

Si $f$ es uno a uno, su inversa se encuentra despejando:

1. Escribe $y = f(x)$.
2. Despeja $x$ en función de $y$. Eso dice qué número de partida produce cada resultado $y$.
3. Intercambia los nombres de las letras para escribir la inversa con la variable $x$, como todas las funciones: $f^{-1}(x) = \ldots$
4. Comprueba con la composición que $f(f^{-1}(x)) = x$ y que $f^{-1}(f(x)) = x$.

El paso 3 es solo un cambio de nombre, pero tiene una consecuencia en la gráfica que verás más abajo.

La gráfica de la inversa: un espejo en y = x

Si el punto $(a;\ b)$ está en la gráfica de $f$, es porque $f(a) = b$. Entonces $f^{-1}(b) = a$, y el punto $(b;\ a)$ está en la gráfica de $f^{-1}$. Cada punto de la inversa es un punto de $f$ con las coordenadas intercambiadas.

Intercambiar las coordenadas es reflejar en la recta $y = x$, como si esa recta fuera un espejo. Por eso la gráfica de $f^{-1}$ es el reflejo de la gráfica de $f$ respecto de la recta $y = x$. Si doblas el papel por esa recta, una curva cae exactamente sobre la otra.

Restringir el dominio

Cuando una función no es uno a uno, todavía se puede quedarse con un pedazo de su dominio en el que sí lo sea, y definir la inversa solo para ese pedazo. Es lo que se hace con $x^2$: en todos los reales no tiene inversa, pero si solo se usan los $x \ge 0$, cada resultado viene de un único número, y la inversa es $\sqrt{x}$. Por eso la raíz cuadrada siempre da el valor no negativo.

Para elegir el pedazo se busca un intervalo donde la función solo crezca o solo decrezca. En una parábola, eso es a un lado del vértice.

En resumen

• La inversa f⁻¹ deshace a f: f(a) = b si y solo si f⁻¹(b) = a. No es el recíproco 1/f.

• Solo tienen inversa las funciones uno a uno, las que pasan la prueba de la recta horizontal; las que siempre crecen o siempre decrecen la pasan.

• Para hallar la inversa se despeja x en y = f(x), se intercambian los nombres de las variables y se comprueba que f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x.

• El dominio de f⁻¹ es el rango de f, y el rango de f⁻¹ es el dominio de f.

• La gráfica de f⁻¹ es el reflejo de la de f en la recta y = x; si f no es uno a uno, se restringe su dominio a un tramo donde solo crezca o solo decrezca.

Vocabulario

Función uno a uno

Función en la que dos valores distintos del dominio tienen siempre imágenes distintas: si a ≠ b, entonces f(a) ≠ f(b).

Función inversa

La función f⁻¹ que deshace lo que hace f: f⁻¹(b) = a exactamente cuando f(a) = b.

Prueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si ninguna recta horizontal corta su gráfica en más de un punto.

Restringir el dominio

Quedarse con una parte del dominio de una función en la que sí es uno a uno, para poder definir su inversa.