Modelos exponenciales y logarítmicos

¿Para qué sirve esto?

Un laboratorio inventado estudia un medicamento que el cuerpo elimina poco a poco: cada hora desaparece la misma fracción de lo que queda. Saber cuánto queda a las 3 horas es una cuenta con potencias. Pero la pregunta que más le interesa al médico es la contraria: ¿cuándo quedará solo la cuarta parte? Ahí el tiempo está en el exponente, y para sacarlo de ahí hace falta la función que deshace a la exponencial: el logaritmo.

Crecimientos y decaimientos de este tipo aparecen en cultivos de bacterias, en ahorros con interés compuesto, en el enfriamiento de una taza de café o en la pérdida de valor de un carro. En esta lección vas a modelar esas situaciones y a resolver las ecuaciones que salen de ellas.

Antes de empezar repasa la forma $y = a \cdot b^x$, qué significa $\log_b x$ y qué es la función inversa.

La exponencial y su inversa

La función exponencial $f(x) = b^x$, con $b > 0$ y $b \neq 1$, acepta cualquier número real y solo da resultados positivos: su dominio es $\mathbb{R}$ y su rango es $(0;\ \infty)$. Si $b > 1$ siempre crece, y si $0 < b < 1$ siempre decrece; en los dos casos es uno a uno, así que tiene inversa.

Esa inversa es el logaritmo en base $b$:

$$y = b^x \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_b y.$$

Es decir, $\log_b y$ responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar $b$ para obtener $y$?». Como en toda inversa, el dominio y el rango se intercambian: $\log_b x$ solo acepta $x > 0$, y puede dar cualquier número real. La composición en los dos órdenes devuelve el punto de partida: $\log_b(b^x) = x$ para todo $x$, y $b^{\log_b x} = x$ para todo $x > 0$.

En la gráfica, $y = \log_b x$ es el reflejo de $y = b^x$ en la recta $y = x$. La exponencial pasa por $(0;\ 1)$ y se pega al eje $x$ sin tocarlo; el logaritmo pasa por $(1;\ 0)$ y se pega al eje $y$ sin tocarlo.

Las propiedades de los logaritmos

Como los logaritmos son exponentes, heredan las leyes de las potencias. Para $M > 0$, $N > 0$ y cualquier número $k$:

• Producto: $\log_b(M \cdot N) = \log_b M + \log_b N$, porque al multiplicar potencias de la misma base los exponentes se suman.
• Cociente: $\log_b\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$.
• Potencia: $\log_b(M^k) = k \cdot \log_b M$.
• Cambio de base: $\log_b M = \dfrac{\log M}{\log b}$, con logaritmos en cualquier otra base. Así se calculan con una calculadora que solo tiene las teclas «log» (base 10) y «ln» (base $e$).

Y dos valores que conviene tener a mano: $\log_b 1 = 0$ y $\log_b b = 1$.

Cuidado: no hay propiedad para la suma. $\log_b(M + N)$ no se puede separar, y $\log_b M \cdot \log_b N$ no es $\log_b(M \cdot N)$.

Resolver ecuaciones exponenciales

En una ecuación exponencial la incógnita está en el exponente. Hay dos caminos:

1. Igualar bases. Si los dos lados se pueden escribir como potencias de la misma base, los exponentes tienen que ser iguales, porque $b^x$ es uno a uno.
2. Sacar logaritmo. Si no se puede, se despeja la potencia y se aplica el logaritmo de su base: de $b^x = c$ sale $x = \log_b c$. El valor se aproxima con el cambio de base.

En las ecuaciones logarítmicas hay que revisar el dominio antes de resolver: al aplicar las propiedades se pueden colar soluciones que hacen negativo el argumento de algún logaritmo, y esas no sirven.

Modelos de crecimiento y de decaimiento

Una cantidad que empieza en $A_0$ y en cada unidad de tiempo se multiplica por el mismo factor $b$ sigue el modelo $A(t) = A_0 \cdot b^t$. Las variables son el tiempo $t$, que en un problema no es negativo, y la cantidad $A$, que siempre es positiva. El factor se lee en el enunciado:

• si aumenta un $r\,\%$ por unidad de tiempo, $b = 1 + \dfrac{r}{100}$;
• si disminuye un $r\,\%$, $b = 1 - \dfrac{r}{100}$;
• si se duplica cada $T$ unidades, $A(t) = A_0 \cdot 2^{t/T}$; si se reduce a la mitad cada $T$ unidades, $A(t) = A_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.

Con el modelo se responden dos clases de preguntas. «¿Cuánto hay en el tiempo $t$?» se contesta evaluando. «¿Cuándo llega a cierta cantidad?» es una ecuación exponencial, y se contesta con logaritmos.

En resumen

• El logaritmo en base b es la inversa de bˣ: y = bˣ si y solo si x = log_b y. Su dominio es (0; ∞), su rango es ℝ y su gráfica es el reflejo de la exponencial en y = x.

• Propiedades: log_b(MN) = log_b M + log_b N, log_b(M/N) = log_b M − log_b N y log_b(Mᵏ) = k·log_b M; para la suma no hay propiedad.

• Una ecuación exponencial se resuelve igualando bases o sacando logaritmo; el cambio de base permite aproximar el resultado con la calculadora.

• En una ecuación logarítmica se halla el dominio primero y se descartan las candidatas que dejan negativo o nulo algún argumento.

• Un crecimiento o decaimiento exponencial se modela con A(t) = A₀·bᵗ: b = 1 + r/100 si aumenta un r %, b = 1 − r/100 si disminuye, y 2^(t/T) si se duplica cada T.

Vocabulario

Función logarítmica

La función y = log_b x, con b > 0 y b ≠ 1, inversa de y = bˣ: log_b x es el exponente al que hay que elevar b para obtener x.

Ecuación exponencial

Ecuación en la que la incógnita está en un exponente, como 2ˣ⁺¹ = 32.

Tiempo de duplicación

El tiempo que tarda una cantidad con crecimiento exponencial en volverse el doble.

Decaimiento exponencial

Disminución en la que, en cada unidad de tiempo, se conserva siempre la misma fracción de lo que había.