Funciones a trozos y modelos funcionales
Lo que vas a aprender
- Evaluar una función definida por partes eligiendo primero el tramo que corresponde al valor de x.
- Escribir una función con valor absoluto como función a trozos y trazar su gráfica.
- Plantear un modelo funcional a trozos para una tarifa o un impuesto inventado, identificando las variables, sus unidades y sus rangos de variación.
- Usar el modelo en los dos sentidos, para calcular el valor de la función y para hallar el valor de x que produce un resultado dado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Muchas cuentas de la vida diaria cambian de regla en ciertos puntos. Un plan de celular cobra un valor fijo hasta cierta cantidad de datos y, desde ahí, cobra cada gigabyte de más. Una empresa de agua cobra los primeros metros cúbicos a un precio y los siguientes a otro. Un impuesto no cobra nada a los ingresos bajos y cobra porcentajes distintos a los altos.
Ninguna de esas situaciones cabe en una sola fórmula, pero todas se describen con una función definida por partes: una fórmula para cada tramo. Saber leerlas y escribirlas te permite revisar una factura, comparar dos planes o entender por qué ganar un poco más no hace que «todo» pague un impuesto más alto.
Antes de empezar repasa la notación de intervalos, la función afín $y = mx + b$ y el significado del valor absoluto. Todas las tarifas e impuestos de esta lección son inventados.
Explicación
Funciones definidas por partes
Una función a trozos usa una fórmula distinta en cada parte de su dominio. Se escribe con una llave:
$$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ 6 - x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$
Para calcular $f(a)$ hay dos pasos, y el orden importa:
- mirar las condiciones y decidir en qué tramo está $a$;
- reemplazar $a$ solo en la fórmula de ese tramo.
Lo más claro es que los tramos no se superpongan: si un mismo número cumpliera dos condiciones y las fórmulas dieran resultados distintos, ese número tendría dos imágenes y la regla no sería una función. Por eso en los extremos de cada tramo hay que fijarse en si la desigualdad es estricta ($<$) o no ($\le$): eso decide a qué tramo pertenece el punto de corte.
En la gráfica, cada fórmula se dibuja solo sobre su tramo. Donde dos tramos se encuentran, la gráfica puede seguir sin cortarse o puede dar un salto.
Ejemplo resuelto
Evaluar tramo por tramo
Sea $f$ la función que vale $x + 3$ si $x < 0$, vale $x^{2}$ si $0 \le x < 2$ y vale $6 - x$ si $x \ge 2$. Calcula $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$ y $f(5)$.
Ver la solución paso a paso
Primer tramo, para los negativos: $x + 3$.
Segundo tramo: $x^{2}$.
Tercer tramo: $6 - x$.
f(−2). Como $-2 < 0$, usamos el primer tramo:
$$-2 < 0$$
$$-2 + 3$$
$$1$$
f(0). El cero no cumple $x < 0$, pero sí $0 \le x < 2$: segundo tramo.
$$0 \le 0 < 2$$
$$0^{2}$$
$$0$$
f(2). El 2 está en el tercer tramo, porque el segundo no lo incluye.
$$2 \ge 2$$
$$6 - 2$$
$$4$$
f(5). También en el tercer tramo:
$$5 \ge 2$$
$$6 - 5$$
$$1$$
Un error frecuente es calcular $f(0)$ con el primer tramo y obtener 3. El 0 no es negativo: en $x = 0$ la gráfica salta de la altura 3 a la altura 0.
Respuesta: $f(-2) = 1$, $f(0) = 0$, $f(2) = 4$ y $f(5) = 1$.
Cada fórmula se dibuja solo en su tramo. En x = 0 la gráfica salta: f(0) = 0, el punto lleno (0; 0), y el extremo (0; 3) del primer tramo queda hueco. En x = 2 los dos tramos se juntan en (2; 4).
El valor absoluto es una función a trozos
El valor absoluto deja igual a un número positivo o cero y le cambia el signo a un negativo:
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
Lo mismo vale para el valor absoluto de una expresión: el punto donde cambia la regla es donde lo de adentro vale cero. A un lado de ese punto la expresión se queda igual; al otro, se le cambia el signo. Por eso la gráfica de $|ax + b|$ tiene forma de V, con el vértice sobre el eje $x$.
Ejemplo resuelto
Quitar el valor absoluto
Escribe $h(x) =$ $\left|2x - 6\right|$ como función a trozos.
Ver la solución paso a paso
El signo de lo de adentro de $\left|2x - 6\right|$ decide la regla.
Lo de adentro es positivo o cero cuando:
$$2x - 6 \ge 0$$
Sumamos 6 y dividimos entre 2.
$$x \ge 3$$
Para $x \ge 3$, $h(x) = 2x - 6$. Para $x < 3$ lo de adentro es negativo, y el valor absoluto le cambia el signo:
$$-\left(2x - 6\right)$$
$$6 - 2x$$
Comprobamos con $x = 1$, que está en el tramo $x < 3$:
$$\left|2 \cdot 1 - 6\right| = 6 - 2 \cdot 1$$
Queda $h(x) = 6 - 2x$ si $x < 3$ y $h(x) = 2x - 6$ si $x \ge 3$. El vértice de la V es $(3;\ 0)$ y el rango es $[0;\ \infty)$.
Respuesta: $h(x) = 6 - 2x$ si $x < 3$; $h(x) = 2x - 6$ si $x \ge 3$.
La gráfica de |2x − 6| hecha con sus dos tramos: y = 6 − 2x a la izquierda de 3 y y = 2x − 6 a la derecha. Se juntan en el vértice (3; 0).
y = 2|x − 3| es la misma |2x − 6| del ejemplo: a la izquierda de 3 sigue el tramo 6 − 2x y a la derecha el tramo 2x − 6, y los dos se unen en el vértice (3; 0). Mueve h y mira cómo el punto donde cambia la regla se corre con el vértice. Baja k a −4: la gráfica corta el eje x en 1 y en 5.
Plantear un modelo funcional
Para convertir una situación en una función conviene seguir siempre el mismo orden:
- Las variables. ¿Qué cantidad depende de cuál? La que se elige libremente es la independiente ($x$); la que resulta es la dependiente. Escribe sus unidades.
- Los rangos de variación. ¿Qué valores tienen sentido para cada variable? Un consumo no es negativo, una cantidad de personas es un entero, un tanque tiene una capacidad. Ese es el dominio del problema, que puede ser más pequeño que el de la fórmula.
- La regla. Si la situación cambia de regla en algún valor, cada regla es un tramo. Escribe la fórmula de cada tramo y revisa qué pasa justo en el punto de cambio.
- La revisión. Prueba el modelo con un caso sencillo que puedas calcular de cabeza.
Un detalle típico de las tarifas: el segundo tramo no empieza de cero. Lo que se pagó en el primer tramo se suma, y la tarifa nueva solo se aplica a lo que pasa del límite.
Ejemplo resuelto
La factura del agua
Una empresa de agua inventada cobra cada metro cúbico a 2 mil pesos hasta los 20 m³; cada metro cúbico que pase de 20 lo cobra a 3 mil. Escribe el modelo, calcula el cobro por 15 m³ y por 32 m³, y halla el consumo de una familia que pagó 61 mil pesos.
Ver la solución paso a paso
Las variables son el consumo $x$, en metros cúbicos, y el cobro $C$, en miles de pesos. El consumo no puede ser negativo. En el primer tramo, de 0 a 20 m³, el cobro es $2x$.
En el segundo tramo, $x > 20$, se pagan los 20 primeros metros a 2 mil y el resto a 3 mil: $40 + 3 \cdot \left(x - 20\right)$.
El 40 sale de los 20 primeros metros:
$$2 \cdot 20 = 40$$
15 m³ está en el primer tramo:
$$15 \le 20$$
$$2 \cdot 15$$
$$30$$
32 m³ está en el segundo:
$$32 > 20$$
$$40 + 3 \cdot \left(32 - 20\right)$$
$$40 + 36$$
$$76$$
Pagó 61 mil. En el primer tramo el cobro llega como mucho a 40, así que la familia está en el segundo tramo:
$$61 > 40$$
$$40 + 3 \cdot \left(x - 20\right) = 61$$
Restamos 40.
$$3 \cdot \left(x - 20\right) = 21$$
Dividimos entre 3.
$$x - 20 = 7$$
$$x = 27$$
El resultado cumple $x > 20$, así que es válido. En $x = 20$ los dos tramos dan 40: el cobro no salta. El rango de variación del consumo es $[0;\ \infty)$ y el del cobro también.
Respuesta: $C(x) = 2x$ si $0 \le x \le 20$ y $C(x) = 40 + 3(x - 20)$ si $x > 20$, en miles de pesos. $C(15) = 30$, $C(32) = 76$, y quien pagó 61 mil consumió 27 m³.
El cobro del agua, con x en metros cúbicos y y en miles de pesos. Desde (20; 40) la recta es más empinada: cada metro cúbico extra cuesta más.
Ejemplo resuelto
Un impuesto por tramos
En un país inventado, el impuesto $T$ (en millones de pesos) sobre un ingreso anual $x$ (en millones) es $0$ si $x \le 30$, es $0{,}1 \cdot \left(x - 30\right)$ si $30 < x \le 80$ y es $5 + 0{,}2 \cdot \left(x - 80\right)$ si $x > 80$. ¿Cuánto paga quien gana 100 millones?
Ver la solución paso a paso
Hasta 30 millones no se paga: $0$.
Entre 30 y 80 se paga el 10 % de lo que pasa de 30: $0{,}1 \cdot \left(x - 30\right)$.
Desde 80 se pagan 5 millones más el 20 % de lo que pasa de 80: $5 + 0{,}2 \cdot \left(x - 80\right)$.
Los 5 millones son lo que se paga al llegar a 80 con el segundo tramo, así que en 80 no hay salto:
$$0{,}1 \cdot \left(80 - 30\right) = 5$$
Como 100 es mayor que 80, usamos el tercer tramo:
$$100 > 80$$
$$5 + 0{,}2 \cdot \left(100 - 80\right)$$
$$5 + 4$$
$$9$$
Paga 9 millones. No paga el 20 % de todo su ingreso, que sería:
$$0{,}2 \cdot 100 = 20$$
El 20 % solo se cobra sobre los 20 millones que pasan de 80. Por eso ganar un poco más nunca hace que se pague más impuesto por lo que ya se ganaba.
Respuesta: Paga 9 millones de pesos.
Práctica
La función f vale $2x + 1$ si x < 3 y vale $x^{2} - 4$ si x ≥ 3. ¿Cuánto vale f(3)?
El 3 no cumple x < 3, pero sí x ≥ 3: se usa el segundo tramo, 3² − 4 = 5. Con el primero saldría 7, que no es el valor de la función.
La función g vale $x^{2} + 1$ si x ≤ −1, vale $2x + 3$ si −1 < x < 2 y vale $7$ si x ≥ 2. ¿Cuánto vale g(−1)?
−1 cumple x ≤ −1, así que se usa el primer tramo: (−1)² + 1 = 2. El segundo tramo no incluye el −1 (su desigualdad es estricta).
Con la misma g, que vale $x^{2} + 1$ si x ≤ −1, $2x + 3$ si −1 < x < 2 y $7$ si x ≥ 2, ¿cuánto vale g(5)?
5 ≥ 2, así que g(5) = 7: en ese tramo la función es constante y no hay nada que reemplazar. 13 y 26 salen de usar los otros tramos, y 35 de multiplicar 7 por 5.
La función f vale $2x + 1$ si x < 3 y vale $x^{2} - 4$ si x ≥ 3. ¿Para qué valores de x se cumple f(x) = 5?
En el primer tramo, 2x + 1 = 5 da x = 2, que cumple x < 3. En el segundo, x² − 4 = 5 da x = 3 o x = −3, pero −3 no cumple x ≥ 3. Quedan 2 y 3.
¿Para qué valores de x se cumple $\left|x + 4\right| = -x - 4$?
|x + 4| = −(x + 4) justo cuando lo de adentro es negativo o cero: x + 4 ≤ 0, es decir, x ≤ −4. El −4 entra, porque ahí los dos lados valen 0.
Una regla dice que y = $x$ si x ≤ 2 y que y = $x + 1$ si x ≥ 2. ¿Verdadero o falso? Las dos fórmulas le asignan el mismo valor a x = 2, así que la regla es una función.
El 2 cumple las dos condiciones, y las fórmulas dan 2 y 3. Un mismo x con dos imágenes: la regla no es una función. Habría que dejar el 2 en uno solo de los tramos.
Un plan de celular inventado cuesta 30000 pesos al mes e incluye 10 GB; cada GB adicional cuesta 4000 pesos. ¿Cuántos pesos paga quien usa 14 GB?
Pasa del límite en 14 − 10 = 4 GB, que cuestan 4 · 4000 = 16000. El total es 30000 + 16000 = 46000. Cobrar 4000 por cada uno de los 14 GB es olvidar que los primeros 10 ya están incluidos.
Con el mismo plan (30000 pesos con 10 GB incluidos y 4000 pesos por cada GB adicional), una persona pagó 58000 pesos. ¿Cuántos GB usó?
Como pagó más de 30000, pasó del límite. Lo adicional fue 58000 − 30000 = 28000 pesos, es decir, 28000 ÷ 4000 = 7 GB. En total usó 10 + 7 = 17 GB.
Con el impuesto inventado del ejemplo (nada hasta 30 millones; el 10 % de lo que pase de 30, hasta 80; desde 80, 5 millones más el 20 % de lo que pase de 80), ¿cuántos millones paga quien gana 130 millones?
130 > 80, así que se usa el tercer tramo: 5 + 0,2 · (130 − 80) = 5 + 10 = 15 millones.
Un tanque inventado de 500 litros se llena desde vacío a razón de 20 litros por minuto, así que V(t) = 20t. ¿Cuál es el rango de variación del tiempo t, en minutos, mientras el tanque se llena?
El volumen va de 0 a 500 litros: 0 ≤ 20t ≤ 500, es decir, 0 ≤ t ≤ 25. [0; 500] es el rango de variación del volumen, no el del tiempo, y después de 25 minutos el tanque ya está lleno.
En el plan de celular inventado, el pago depende de los gigabytes usados. ¿Cuál es la variable independiente y en qué unidades se mide?
La persona decide cuántos datos usa, y de eso resulta el pago: los GB son la variable independiente y el pago, en pesos, la dependiente. Los 10 GB y los 4000 pesos son datos fijos del plan, no variables.
Reto
Completa las cuentas de las tarifas inventadas.
Primero decide en qué tramo estás; en el segundo tramo, suma lo del primero.
Reto
Abre el candado evaluando funciones a trozos.
Cada pista da un dígito. Elige el tramo antes de reemplazar.
Cierre
En resumen
Una función a trozos usa una fórmula distinta en cada tramo de su dominio; lo más claro es que los tramos no se superpongan, porque si un punto cae en dos tramos con resultados distintos la regla deja de ser función.
Para evaluarla, primero se decide en qué tramo está x, mirando bien si cada desigualdad es estricta, y después se usa solo la fórmula de ese tramo.
|ax + b| es una función a trozos: vale ax + b donde lo de adentro es positivo o cero y −(ax + b) donde es negativo; su gráfica es una V.
Un modelo funcional se plantea nombrando las variables con sus unidades, fijando sus rangos de variación, escribiendo la regla de cada tramo y probando con un caso sencillo.
En las tarifas y los impuestos por tramos, la tarifa nueva solo se aplica a lo que pasa del límite; lo de los tramos anteriores se suma.
Vocabulario
- Función a trozos
Función definida con fórmulas distintas en distintos intervalos de su dominio, llamados tramos.
- Tramo
Cada uno de los intervalos del dominio en que una función a trozos usa una misma fórmula.
- Modelo funcional
Una función que describe cómo una cantidad de una situación depende de otra, con sus unidades y los valores que tienen sentido.
- Rango de variación
El intervalo de valores que puede tomar una variable en la situación que se modela.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una factura de agua o de celular inventada y pregunte por qué el costo no es simplemente un precio por unidad.
- Explicación · 25 min — Evaluar tramo por tramo con la primera figura; el valor absoluto como función a trozos; los cuatro pasos para plantear un modelo con la factura del agua; el impuesto por tramos y el error de cobrar el 20 % de todo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. En las de tarifas, pida que primero escriban el modelo completo con sus tramos y sus unidades, y después calculen.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una tarifa de dos tramos (un parqueadero, un gimnasio) y le pide a otra que calcule dos cobros.
Preguntas para el salón
- Si en una función a trozos dos tramos incluyen el mismo punto, ¿cuándo no hay problema y cuándo deja de ser función?
- ¿Por qué el segundo tramo de la factura del agua empieza en 40 y no en 0?
- En el impuesto inventado, ¿alguien que gana 81 millones paga el 20 % de 81 millones? ¿Cuánto paga?
- ¿Qué valores de x tienen sentido en un modelo que cuenta personas? ¿Y en uno que mide tiempo?
Errores típicos
- Reemplazar el valor en la fórmula equivocada por no mirar si la desigualdad del extremo es estricta. Haga marcar sobre una recta numérica los tramos con punto lleno o hueco antes de evaluar.
- Aplicar la tarifa del segundo tramo a toda la cantidad. Pida calcular a mano el costo de 21 m³ metro por metro y compararlo con la fórmula.
- Escribir |x − 3| = x + 3 para x < 3, cambiando solo un signo. Pruebe con x = 0: |0 − 3| = 3, mientras que 0 + 3 = 3 parece funcionar; con x = 1, |1 − 3| = 2 y 1 + 3 = 4 ya no. La regla es −(x − 3) = 3 − x.
- Dejar el dominio del problema como todos los reales. Pregunte siempre qué significa un valor negativo o muy grande de x en la situación.
Tarea sugerida
Un parqueadero inventado cobra 3000 pesos por las dos primeras horas y 1500 por cada hora adicional. Escribir el modelo a trozos con sus variables, unidades y rangos de variación (el parqueadero abre 12 horas), graficarlo, calcular el cobro de 5 horas y hallar cuántas horas estuvo un carro por el que se pagaron 9000 pesos.