La idea de límite
Lo que vas a aprender
- Estimar el límite de una función en un punto con tablas de valores que se acercan al punto por la izquierda y por la derecha.
- Leer en una gráfica los límites laterales de una función en un punto.
- Decidir si un límite existe comparando los límites laterales.
- Distinguir el valor de una función en un punto del límite de la función en ese punto.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En 10.º viste que la velocidad en un instante se obtiene mirando hacia dónde van las velocidades medias en intervalos cada vez más cortos. Esa pregunta, «¿hacia dónde van los valores?», aparece en muchas partes: cuando una fórmula no se puede evaluar en un punto pero sí muy cerca de él, cuando una tarifa cambia de golpe al pasar cierto número de minutos o cuando una cantidad crece tanto que ningún número la alcanza.
La herramienta que responde esa pregunta se llama límite. Con ella se construye todo el cálculo: la derivada, que estudiarás en la próxima unidad, es un límite. En esta lección vas a aprender a estimar límites con tablas y gráficas, a mirar cada lado del punto por separado y a reconocer cuándo un límite no existe.
Antes de empezar repasa cómo se evalúa una función en un número decimal y cómo se lee una función definida a trozos.
Explicación
Una función con un hueco
Toma la función $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$ Si intentas calcular $f(2)$, el denominador vale cero y la división no tiene sentido: la función no está definida en $x = 2$. Pero nada impide evaluarla en $1{,}9$, en $1{,}99$ o en $2{,}01$, números tan cercanos a 2 como quieras. La pregunta del límite es esta: cuando $x$ se acerca a 2, ¿se acercan los valores $f(x)$ a algún número?
Para responderla se hace una tabla de aproximaciones sucesivas: se eligen valores de $x$ cada vez más cercanos al punto, unos menores que él (por la izquierda) y otros mayores (por la derecha), y se mira qué pasa con los resultados.
Ejemplo resuelto
Una tabla que se acerca a 4
Para $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$, calcula los valores de la función en $x = 1{,}9$; $1{,}99$; $1{,}999$ y en $x = 2{,}1$; $2{,}01$; $2{,}001$. ¿A qué número se acercan?
Ver la solución paso a paso
La función que estudiamos es
$$\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$$
En $x = 2$ el denominador vale cero, así que $f(2)$ no existe. Por eso nos acercamos a 2 sin tocarlo.
$$2 - 2 = 0$$
Por la izquierda, con $x = 1{,}9$:
$$\frac{\left(1{,}9\right)^{2} - 4}{1{,}9 - 2} = 3{,}9$$
Con $x = 1{,}99$:
$$\frac{\left(1{,}99\right)^{2} - 4}{1{,}99 - 2} = 3{,}99$$
Con $x = 1{,}999$:
$$\frac{\left(1{,}999\right)^{2} - 4}{1{,}999 - 2} = 3{,}999$$
Por la derecha, con $x = 2{,}1$:
$$\frac{\left(2{,}1\right)^{2} - 4}{2{,}1 - 2} = 4{,}1$$
Con $x = 2{,}01$:
$$\frac{\left(2{,}01\right)^{2} - 4}{2{,}01 - 2} = 4{,}01$$
Con $x = 2{,}001$:
$$\frac{\left(2{,}001\right)^{2} - 4}{2{,}001 - 2} = 4{,}001$$
Por la izquierda los valores suben hacia 4; por la derecha bajan hacia 4. Ninguno de los valores calculados es 4, pero cuanto más cerca de 2 está $x$, más cerca de 4 está $f(x)$. Eso es lo que se escribe así:
$$\lim_{x \to 2} \left(\frac{x^{2} - 4}{x - 2}\right) = 4$$
Respuesta: Los valores de f se acercan a 4 por los dos lados: el límite de f cuando x tiende a 2 es 4, aunque f(2) no existe.
Qué quiere decir «el límite es L»
Se escribe $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$ y se lee «el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$». Quiere decir que los valores $f(x)$ quedan tan cerca de $L$ como se quiera con tal de tomar $x$ suficientemente cerca de $a$, pero distinto de $a$.
Fíjate en esa última condición. El límite habla de lo que pasa alrededor del punto, no en el punto. Por eso una función puede tener límite en un punto donde no está definida, como la del ejemplo anterior. Y por eso, aunque la función sí esté definida en $a$, el valor $f(a)$ no decide el límite: puede coincidir con él o no.
Mira la gráfica. Al simplificar, $f$ coincide con la recta $y = x + 2$ en todos los puntos menos en $x = 2$, donde la gráfica tiene un hueco. La altura de la recta junto al hueco es justamente el límite.
La gráfica de y = (x² − 4)/(x − 2) es una recta con un hueco en x = 2, porque la función no está definida ahí; los dos tramos, de distinto color, son la misma función. Las líneas punteadas muestran que, al acercarse x a 2 por cualquier lado, la altura de la curva se acerca a 4.
Los límites laterales
A veces los valores de una función se comportan distinto a cada lado del punto. Por eso se estudian por separado:
- el límite por la izquierda, $\lim_{x \to a^-} f(x)$, usa solo valores $x < a$;
- el límite por la derecha, $\lim_{x \to a^+} f(x)$, usa solo valores $x > a$.
La regla que une todo es esta: el límite de $f$ en $a$ existe y vale $L$ exactamente cuando los dos límites laterales existen y los dos valen $L$. Si los laterales dan números distintos, el límite no existe. Así pasa en las funciones a trozos que «saltan» en el punto donde cambia la fórmula.
Ejemplo resuelto
Una función que salta
La función $f$ vale $f(x) = x + 1$ si $x < 2$, y $f(x) = x^2 - 3$ si $x \ge 2$. Halla sus límites laterales en $x = 2$, decide si el límite existe y compáralo con $f(2)$.
Ver la solución paso a paso
Por la izquierda de 2 la función es $x + 1$. Con $x = 1{,}99$:
$$1{,}99 + 1 = 2{,}99$$
Cerca de 2 por la izquierda, $f$ coincide con $x + 1$, que se acerca a 3. Así que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$:
$$\lim_{x \to 2^{-}} \left(x + 1\right) = 3$$
Por la derecha la función es $x^2 - 3$. Con $x = 2{,}01$:
$$\left(2{,}01\right)^{2} - 3 = 1{,}0401$$
Cerca de 2 por la derecha, $f$ coincide con $x^2 - 3$, que se acerca a 1. Así que $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$:
$$\lim_{x \to 2^{+}} \left(x^{2} - 3\right) = 1$$
Los laterales son distintos (3 y 1), así que $\lim_{x \to 2} f(x)$ no existe. Pero la función sí tiene valor en 2, porque para $x = 2$ se usa la segunda fórmula:
$$2^{2} - 3 = 1$$
El valor $f(2) = 1$ coincide con el límite por la derecha, pero eso no basta: un solo lado no hace un límite.
Respuesta: El límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 1; como son distintos, el límite en x = 2 no existe. En cambio f(2) = 1 sí existe.
La función a trozos salta en x = 2. El trazo de la izquierda llega a la altura 3 sin incluir el punto (2; 3); el de la derecha empieza en el punto (2; 1), que sí pertenece a la gráfica.
El valor en el punto no es el límite
Esta es la idea que más se confunde en el tema. El límite pregunta hacia dónde van los valores cerca de $a$; el valor $f(a)$ dice qué pasa exactamente en $a$. Son dos preguntas distintas y pueden tener respuestas distintas.
Ejemplo resuelto
Un punto fuera de su sitio
La función $g$ vale $g(x) = 2x + 1$ para todo $x \neq 1$, y en el punto $x = 1$ se definió aparte: $g(1) = 5$. ¿Cuánto vale el límite de $g$ cuando $x$ tiende a 1?
Ver la solución paso a paso
Cerca de 1, pero sin tocarlo, $g$ coincide con $2x + 1$. Con $x = 0{,}99$:
$$2 \cdot 0{,}99 + 1 = 2{,}98$$
Con $x = 1{,}01$:
$$2 \cdot 1{,}01 + 1 = 3{,}02$$
Los valores rodean al 3 por los dos lados:
$$\lim_{x \to 1} \left(2x + 1\right) = 3$$
El valor $g(1) = 5$ no es el límite y no cambia nada, porque el límite nunca mira lo que pasa en el punto mismo. En la gráfica, la recta tiene un hueco a la altura 3 y el punto aislado $(1;\ 5)$ queda arriba.
$$\lim_{x \to 1} \left(2x + 1\right) \ne 5$$
Respuesta: El límite de g cuando x tiende a 1 es 3, aunque g(1) = 5. El valor de la función y el límite son cosas distintas.
La función g del ejemplo: la recta y = 2x + 1 con un hueco en (1; 3) y el punto aislado (1; 5), que es el valor g(1). El límite en 1 es la altura del hueco, 3.
Cuándo el límite no existe
Hay dos situaciones que verás con frecuencia:
- Los laterales son distintos, como en la función que salta. Cada lado se acerca a un número, pero no al mismo.
- Los valores crecen sin cota. Con $f(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^2}$, al acercarte a 1 los valores se hacen enormes: superan 100, luego 10 000, luego cualquier número que fijes. No se acercan a ningún número, así que no hay límite numérico. Esa situación se escribe con el símbolo $\infty$, que no es un número: es una forma corta de decir «crece sin cota». La estudiarás a fondo en la lección de asíntotas.
Una advertencia sobre las tablas: sirven para estimar, no para demostrar. Siempre se deben tomar valores de los dos lados y cada vez más cercanos al punto, y escribir todas las cifras que da la calculadora. En la próxima lección aprenderás a calcular límites con álgebra, sin depender de la tabla.
Práctica
Se evalúa $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ en valores de x cada vez más cercanos a 1, por los dos lados. ¿A qué número se acercan los resultados?
f(0,99) = 1,99 y f(1,01) = 2,01: los valores rodean al 2. La función no está definida en x = 1, pero su límite allí es 2. El 1 es el punto al que se acerca x, no el límite.
Para $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$, calcula f(2,99). Escribe el resultado exacto.
2,99² = 8,9401, así que el numerador es −0,0599 y el denominador −0,01: el cociente es 5,99. Por la izquierda de 3 los valores se acercan a 6.
Para $g(x) =$ $\frac{x^{3} - 1}{x - 1}$, calcula g(1,1). Escribe el resultado exacto.
1,1³ = 1,331. El numerador es 0,331 y el denominador 0,1: el cociente es 3,31. Con valores aún más cercanos a 1, los resultados se acercan a 3.
¿Verdadero o falso? Aunque $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ no está definida en x = 3, su límite cuando x tiende a 3 existe y vale 6.
Si haces la tabla, da 5,9; 5,99… por la izquierda y 6,1; 6,01… por la derecha. Que f(3) no exista no impide que el límite exista.
Una función g vale $2x - 1$ para x < 3 y vale $x + 4$ para x > 3. ¿A qué número se acerca g(x) cuando x tiende a 3 por la izquierda?
Por la izquierda se usa la fórmula 2x − 1, que cerca de 3 se acerca a 2 · 3 − 1 = 5. El 7 es el límite por la derecha, y el 3 es el punto, no el límite.
¿Verdadero o falso? Si g vale $2x - 1$ para x < 3 y vale $x + 4$ para x > 3, el límite de g cuando x tiende a 3 existe.
Por la izquierda los valores se acercan a 5 y por la derecha a 7. Como los límites laterales son distintos, el límite en 3 no existe.
Una función h vale $x^{2} + 1$ para todo x distinto de 2, y en el punto se definió aparte h(2) = 10. ¿Cuánto vale el límite de h cuando x tiende a 2?
Cerca de 2, sin tocarlo, h coincide con x² + 1, que se acerca a 5. El valor h(2) = 10 no cuenta para el límite.
¿A qué número se acerca $f(x) =$ $\frac{\left|x\right|}{x}$ cuando x tiende a 0 por la derecha?
Para x > 0, |x| = x, así que f(x) = 1 en todo ese lado. Por la izquierda f(x) = −1, por eso el límite en 0 no existe, aunque el de la derecha sí.
Para $f(x) =$ $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$, calcula f(1,01).
1,01 − 1 = 0,01 y 0,01² = 0,0001; 1 ÷ 0,0001 = 10 000. Con 1,001 daría 1 000 000: los valores crecen sin cota.
¿Verdadero o falso? Cuando x se acerca a 1 por cualquiera de los dos lados, los valores de $f(x) =$ $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$ crecen sin cota, así que f no tiene límite numérico en x = 1.
El denominador (x − 1)² es positivo y cada vez más pequeño, así que el cociente se hace tan grande como se quiera. No se acerca a ningún número.
¿Qué quiere decir que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L?
El límite mira lo que pasa alrededor de a, no en a. Puede que f(a) = L, que f(a) sea otro número o que f(a) no exista; y nada impide que f(x) valga L en algún punto.
Reto
Une cada valor de f(x) = (x² − 1)/(x − 1) con su resultado.
Calcula cada cociente con la calculadora. Fíjate a qué número se acercan todos.
Reto
Abre el candado de los límites.
Cada pista da un dígito de la clave. Piensa en lo que pasa cerca del punto, no en el punto.
Cierre
En resumen
El límite de f(x) cuando x tiende a a es el número al que se acercan los valores f(x) cuando x se acerca a a, sin llegar a ser a.
Una tabla de aproximaciones sucesivas, con valores de los dos lados y cada vez más cercanos, sirve para estimar un límite.
El límite existe solo si los dos límites laterales existen y son iguales.
El valor f(a) y el límite en a son cosas distintas; la función puede ni siquiera estar definida en a.
Si los laterales son distintos o los valores crecen sin cota, el límite no existe como número.
Vocabulario
- Límite
El número al que se acercan los valores f(x) cuando x se acerca a un punto a sin llegar a ser a. Se escribe lím f(x) = L, con x → a debajo.
- Límite lateral
El número al que se acercan los valores f(x) cuando x se acerca al punto solo por un lado: por la izquierda (x → a⁻) o por la derecha (x → a⁺).
- Aproximación sucesiva
Un proceso en el que se calculan valores cada vez más cercanos a uno buscado, para descubrir hacia dónde van.
- Crecer sin cota
Superar cualquier número que se fije, por grande que sea. Una función que hace eso cerca de un punto no tiene límite numérico allí.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero f(x) = (x² − 4)/(x − 2) y pida que calculen f(2). Cuando vean que no se puede, pregunte qué pasará con f(1,9) y f(2,1).
- Explicación · 25 min — La tabla del primer ejemplo con calculadora, por los dos lados; la notación de límite y la gráfica con el hueco; los límites laterales con la función que salta; el punto fuera de su sitio para separar valor y límite.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas con calculadora. El dominó y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja una gráfica en la que f(2) = 1 pero el límite en 2 sea 3, y la compara con la de un compañero.
Preguntas para el salón
- ¿Puede existir el límite de una función en un punto donde la función no está definida? Den un ejemplo.
- Si f(3) = 7, ¿podemos asegurar que el límite en 3 es 7? ¿Por qué no?
- ¿Por qué no basta con mirar los valores de un solo lado del punto?
Errores típicos
- Creer que el límite en a es siempre f(a). Muestre la función del punto fuera de su sitio y pida que digan qué número indica la altura junto al hueco y cuál el punto aislado.
- Concluir que el límite no existe porque la función no está definida en el punto. Vuelva a la tabla de (x² − 4)/(x − 2): la función no existe en 2 y los valores se acercan a 4 de todos modos.
- Hacer la tabla solo por un lado. Use la función que salta: por la derecha la tabla sugiere 1 y por la izquierda 3.
- Tratar ∞ como un número y decir que el límite «es infinito» como si existiera. Pida que digan a qué número se acercan los valores de 1/(x − 1)² y que comprueben que superan cualquier número que se proponga.
Tarea sugerida
Para f(x) = (x² + x − 2)/(x − 1), hacer la tabla con x = 0,9; 0,99; 0,999; 1,1; 1,01 y 1,001, estimar el límite en x = 1 y dibujar la gráfica marcando el hueco. Luego inventar una función a trozos cuyo límite en x = 0 no exista y explicar por qué.