Cálculo de límites
Lo que vas a aprender
- Usar las propiedades de los límites para calcular límites de polinomios y cocientes por sustitución directa.
- Reconocer la indeterminación 0/0 y explicar por qué no es un resultado.
- Resolver límites de la forma 0/0 factorizando y cancelando el factor común.
- Resolver límites de la forma 0/0 con raíces multiplicando por el conjugado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección anterior estimaste límites con tablas. Las tablas convencen, pero son lentas y no demuestran nada: dos o tres renglones no garantizan hacia dónde van los valores. Además, cuando la función es complicada, la calculadora redondea y puede engañarte.
En esta lección vas a calcular límites con álgebra. Hay un motivo más para aprenderlo bien: en la próxima unidad, cada derivada será un límite que, al sustituir, da $\frac{0}{0}$. Las técnicas de hoy, factorizar y racionalizar, son las que vas a usar para resolverlos.
Antes de empezar repasa cómo se factoriza una diferencia de cuadrados, un trinomio de la forma $x^2 + bx + c$ y una diferencia de cubos.
Explicación
Las propiedades de los límites
Supón que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$, con $L$ y $M$ números. Entonces:
- Suma y resta: el límite de $f(x) \pm g(x)$ es $L \pm M$.
- Múltiplo constante: el límite de $c \cdot f(x)$ es $c \cdot L$.
- Producto: el límite de $f(x) \cdot g(x)$ es $L \cdot M$.
- Cociente: el límite de $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ es $\dfrac{L}{M}$, siempre que $M \neq 0$.
- Potencia y raíz: el límite de $f(x)^n$ es $L^n$; el de $\sqrt{f(x)}$ es $\sqrt{L}$ si $L > 0$.
Además, hay dos límites básicos: el de una constante es la misma constante, y $\lim_{x \to a} x = a$. Juntando todo, sale una consecuencia muy útil: en un polinomio el límite se obtiene sustituyendo, y en un cociente de polinomios también, si el denominador no vale cero en $a$. A eso se le llama sustitución directa.
Ejemplo resuelto
Sustitución directa
Calcula $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)$ y $\lim_{x \to 1} \dfrac{x + 3}{x^2 + 1}$.
Ver la solución paso a paso
Por las propiedades de la suma y del múltiplo constante, el límite del polinomio se reparte término a término:
$$\lim_{x \to 2} \left(3x^{2} - 5x + 1\right) = 3\lim_{x \to 2} \left(x^{2}\right) - 5\lim_{x \to 2} x + 1$$
Cada límite se obtiene sustituyendo $x = 2$:
$$3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 1 = 3$$
En el cociente, primero miramos el denominador en $x = 1$. Vale 2, que no es cero, así que se puede usar la propiedad del cociente:
$$1^{2} + 1 = 2$$
Sustituimos arriba y abajo:
$$\lim_{x \to 1} \left(\frac{x + 3}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1 + 3}{1^{2} + 1}$$
Y simplificamos:
$$\frac{1 + 3}{1^{2} + 1} = 2$$
Respuesta: El primer límite vale 3 y el segundo vale 2. En los dos casos bastó sustituir, porque no aparece ninguna división entre cero.
Cuando sale 0/0
La propiedad del cociente exige que el límite del denominador no sea cero. Si al sustituir el numerador y el denominador valen los dos cero, se obtiene la expresión $\frac{0}{0}$, que se llama indeterminación.
Cuidado con tres ideas equivocadas. $\frac{0}{0}$ no es cero. Tampoco es 1. Y tampoco quiere decir que el límite no exista. Quiere decir que la sustitución no alcanza para decidir: el límite puede ser cualquier número, o no existir, y para saberlo hay que transformar la expresión. El siguiente ejemplo lo muestra con cuatro cocientes que dan $\frac{0}{0}$ en el mismo punto: tres tienen límites distintos y el cuarto no tiene límite.
Ejemplo resuelto
Cuatro veces 0/0, cuatro respuestas distintas
Los cuatro cocientes $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$, $\dfrac{x - 3}{x^2 - 9}$, $\dfrac{(x - 3)^2}{x - 3}$ y $\dfrac{x - 3}{(x - 3)^2}$ dan $\frac{0}{0}$ al sustituir $x = 3$. Compara sus límites cuando $x$ tiende a 3.
Ver la solución paso a paso
En $x = 3$ se anulan $x - 3$ y $x^2 - 9$, así que los cuatro cocientes dan $\frac{0}{0}$:
$$3^{2} - 9 = 0$$
El primero tiende a 6 (con tablas lo viste en la lección anterior):
$$\lim_{x \to 3} \left(\frac{x^{2} - 9}{x - 3}\right) = 6$$
El segundo es su inverso, y tiende a un sexto:
$$\lim_{x \to 3} \left(\frac{x - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{6}$$
El tercero, para $x \neq 3$, es igual a $x - 3$, y tiende a 0:
$$\lim_{x \to 3} \left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 3}\right) = 0$$
El cuarto, para $x \neq 3$, es igual a $\dfrac{1}{x - 3}$. Por la derecha de 3 crece sin cota:
$$\lim_{x \to 3^{+}} \left(\frac{x - 3}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
y por la izquierda decrece sin cota. No se acerca a ningún número: no tiene límite.
$$\lim_{x \to 3^{-}} \left(\frac{x - 3}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Los cuatro empezaron con $\frac{0}{0}$ y terminaron en 6, en un sexto, en 0 y sin límite. Por eso $\frac{0}{0}$ no es una respuesta: es una señal de que hay que seguir trabajando.
Respuesta: Los tres primeros límites son 6, 1/6 y 0, y el cuarto no existe. La indeterminación 0/0 no dice el valor del límite, ni siquiera si existe.
Factorizar y cancelar
Si un polinomio vale cero en $x = a$, entonces tiene el factor $(x - a)$. Así que cuando un cociente de polinomios da $\frac{0}{0}$ en $a$, el numerador y el denominador tienen el factor $(x - a)$. La técnica es factorizar los dos y cancelar ese factor.
¿Por qué se puede cancelar? Porque para $x \neq a$ el factor $x - a$ no es cero, y el límite solo mira valores de $x$ distintos de $a$. Las dos expresiones, la original y la simplificada, son iguales en todos los puntos menos en $a$, y por eso tienen el mismo límite. En la gráfica, son la misma curva salvo un hueco.
Ejemplo resuelto
Un límite por factorización
Calcula $\lim_{x \to 3}$ $\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 9}$.
Ver la solución paso a paso
Probamos sustituir $x = 3$. El numerador da
$$3^{2} - 3 - 6 = 0$$
y el denominador da
$$3^{2} - 9 = 0$$
Es la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que los dos polinomios tienen el factor $x - 3$. Partimos de
$$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 9}$$
Factorizamos el trinomio y la diferencia de cuadrados:
$$\frac{\left(x - 3\right)\left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)\left(x + 3\right)}$$
Para $x \neq 3$ el factor $x - 3$ no es cero, y lo cancelamos:
$$\frac{x + 2}{x + 3}$$
Ahora el denominador vale 6 en $x = 3$ y la sustitución directa funciona:
$$\frac{3 + 2}{3 + 3} = \frac{5}{6}$$
Como la expresión simplificada coincide con la original para todo $x \neq 3$, el límite es el mismo:
$$\lim_{x \to 3} \left(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 9}\right) = \frac{5}{6}$$
Respuesta: $\lim_{x \to 3} \left(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 9}\right) = \frac{5}{6}$
Racionalizar con el conjugado
Si en el cociente aparece una raíz, como $\sqrt{x} - 2$, a veces no hay nada que factorizar a simple vista. El truco es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado, $\sqrt{x} + 2$. Así aparece una diferencia de cuadrados que elimina la raíz: $$(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$$ Multiplicar arriba y abajo por lo mismo no cambia el cociente, siempre que ese factor no sea cero; y $\sqrt{x} + 2$ nunca lo es.
Ejemplo resuelto
Un límite por racionalización
Calcula $\lim_{x \to 4}$ $\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.
Ver la solución paso a paso
Al sustituir $x = 4$, el numerador da
$$\sqrt{4} - 2 = 0$$
y el denominador también da cero. Es otra vez $\frac{0}{0}$. Partimos de
$$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$$
Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del numerador:
$$\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}{\left(x - 4\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}$$
Arriba queda $(\sqrt{x})^2 - 2^2 = x - 4$:
$$\frac{x - 4}{\left(x - 4\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}$$
Para $x \neq 4$ cancelamos $x - 4$:
$$\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$$
La sustitución directa ya funciona:
$$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$$
Una comprobación con la calculadora: en $x = 4{,}01$ el cociente original está muy cerca de 0,25.
$$0{,}2498 < \frac{\sqrt{4{,}01} - 2}{4{,}01 - 4} < 0{,}2499$$
Por tanto:
$$\lim_{x \to 4} \left(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\right) = \frac{1}{4}$$
Respuesta: $\lim_{x \to 4} \left(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\right) = \frac{1}{4}$
La gráfica de y = (√x − 2)/(x − 4) tiene un hueco en x = 4, donde la función no está definida; los dos tramos, de distinto color, son la misma función. Las líneas punteadas marcan la altura a la que se acerca la curva: un cuarto.
Un orden para trabajar
- Sustituye primero. Si el denominador no vale cero, ya tienes el límite.
- Si sale $\frac{0}{0}$, transforma: factoriza si hay polinomios, multiplica por el conjugado si hay una raíz.
- Cancela el factor que se anula, recordando que solo vale para $x \neq a$.
- Sustituye otra vez en la expresión simplificada.
Si al sustituir sale un número distinto de cero dividido entre cero, no es $\frac{0}{0}$: es otra situación, la de los valores que crecen sin cota, y la estudiarás en la próxima lección.
Práctica
¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} \left(x^{2} - 4x + 7\right)$?
Es un polinomio: basta sustituir. 3² − 4 · 3 + 7 = 9 − 12 + 7 = 4. El 28 sale de sumar 12 en lugar de restarlo.
Calcula $\lim_{x \to 5} \left(\frac{2x + 1}{x - 4}\right)$.
El denominador vale 5 − 4 = 1, que no es cero, así que se sustituye: (2 · 5 + 1) ÷ 1 = 11.
¿Verdadero o falso? Al sustituir x = 2 en $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ se obtiene 0/0; por tanto, el límite de f cuando x tiende a 2 es 0.
0/0 no es cero: es una indeterminación. Al factorizar, (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 para x ≠ 2, y el límite es 4.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to 5} \left(\frac{x^{2} - 25}{x - 5}\right)$?
x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Para x ≠ 5 se cancela x − 5 y queda x + 5, que en 5 vale 10. Que la sustitución dé 0/0 no quiere decir que el límite no exista.
Calcula $\lim_{x \to 1} \left(\frac{x^{2} + 2x - 3}{x - 1}\right)$.
x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3). Para x ≠ 1 queda x + 3, que en 1 vale 4.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} \left(\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 9}\right)$?
Arriba x² − 3x = x(x − 3); abajo x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Para x ≠ 3 queda x/(x + 3), que en 3 vale 3/6 = 1/2.
Calcula $\lim_{x \to 2} \left(\frac{x^{3} - 8}{x - 2}\right)$.
Es una diferencia de cubos: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). Para x ≠ 2 queda x² + 2x + 4, que en 2 vale 4 + 4 + 4 = 12.
Calcula $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}\right)$. Escribe el resultado como fracción.
Se multiplica arriba y abajo por √(x + 9) + 3. Arriba queda (x + 9) − 9 = x, que se cancela con el x de abajo: queda 1/(√(x + 9) + 3), que en 0 vale 1/(3 + 3) = 1/6.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to 9} \left(\frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}\right)$?
Multiplicando arriba y abajo por √x + 3, abajo queda x − 9, que se cancela con el de arriba. Queda √x + 3, que en 9 vale 6. El 1/6 sale de invertir el cociente.
¿Verdadero o falso? $\lim_{x \to 1} \left(\frac{x^{2} - 1}{x - 1}\right) = \frac{\lim_{x \to 1} \left(x^{2} - 1\right)}{\lim_{x \to 1} \left(x - 1\right)}$
La propiedad del cociente solo vale si el límite del denominador no es cero, y aquí lo es: la derecha queda 0/0, que no es un número. La izquierda sí existe: al factorizar queda x + 1, y el límite es 2.
Al sustituir x = a en un cociente, el numerador y el denominador dan 0. ¿Qué se puede concluir sobre el límite cuando x tiende a a?
Con los mismos 0/0 en x = 3 salieron límites de 6, de 1/6 y de 0. La indeterminación solo avisa que la sustitución no decide.
Reto
Une cada cociente con su forma simplificada.
Factoriza o multiplica por el conjugado. Las dos fichas de cada pareja son iguales para todos los x que no anulan el denominador.
Reto
Completa cada cálculo de límite.
Primero simplifica el cociente; después sustituye el valor al que tiende x.
Cierre
En resumen
Si los límites de f y de g existen, el límite de la suma, del producto y del cociente se obtiene operando con ellos; en el cociente, solo si el límite del denominador no es cero.
En los polinomios, y en los cocientes cuyo denominador no se anula en a, el límite se calcula por sustitución directa.
La expresión 0/0 es una indeterminación; no es cero, ni uno, ni significa que el límite no exista.
Si un cociente de polinomios da 0/0 en a, los dos tienen el factor (x − a); se factoriza, se cancela y se vuelve a sustituir.
Si hay raíces, se multiplica arriba y abajo por el conjugado para eliminar la raíz y poder cancelar.
Vocabulario
- Sustitución directa
Calcular el límite de una función en a reemplazando x por a. Vale para polinomios y para cocientes de polinomios cuyo denominador no se anula en a.
- Indeterminación
Una expresión como 0/0 que sale al sustituir y que no dice cuánto vale el límite: el límite puede ser cualquier número o no existir. Hay que transformar la expresión.
- Conjugado
Para √a − b, el conjugado es √a + b. Su producto es a − b², sin raíz.
- Factor común
Un factor que aparece en el numerador y en el denominador de un cociente; si no vale cero, se puede cancelar.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Recuerde la tabla de (x² − 4)/(x − 2) de la clase anterior y pregunte si hay una forma de llegar a 4 sin calculadora.
- Explicación · 25 min — Propiedades y sustitución directa; los tres cocientes que dan 0/0 con límites distintos (dedique tiempo a este ejemplo); factorización; racionalización con la figura del hueco.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y luego comparación en parejas. El dominó y los huecos se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Pida que cada estudiante escriba el orden para trabajar con sus propias palabras y lo aplique a un límite que proponga un compañero.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué se puede cancelar x − 3 si en x = 3 vale cero?
- Si al sustituir sale 5/0, ¿es una indeterminación como 0/0? ¿Qué creen que pasa con los valores?
- ¿Por qué multiplicar arriba y abajo por el conjugado no cambia el cociente?
Errores típicos
- Escribir que 0/0 es 0 o que el límite no existe en cuanto aparece 0/0. Use el ejemplo de los tres cocientes que dan 0/0 en x = 3 y tienen límites 6, 1/6 y 0.
- Cancelar términos sueltos en vez de factores, por ejemplo tachar x² arriba y abajo. Pida que comprueben la simplificación con un valor de x, como x = 0 o x = 1, en las dos expresiones.
- Seguir escribiendo el símbolo de límite delante de un número, o quitarlo antes de tiempo. Pida que en el cuaderno el símbolo lím acompañe a la expresión mientras haya x y desaparezca al sustituir. Los ejemplos de la lección muestran solo la expresión que se transforma, para que se vea la cuenta.
- Multiplicar solo el numerador por el conjugado. Recuerde que multiplicar por (√x + 2)/(√x + 2) es multiplicar por 1, y eso exige hacerlo arriba y abajo.
Tarea sugerida
Calcular, mostrando la indeterminación y la transformación, los límites de (x² − 7x + 10)/(x − 5) en 5, de (x³ + 1)/(x + 1) en −1 y de (√(x + 1) − 2)/(x − 3) en 3. Comprobar cada uno con un valor de la calculadora muy cercano al punto.