Límites al infinito y asíntotas
Lo que vas a aprender
- Describir con límites laterales infinitos lo que pasa con una función racional cerca de un valor que anula su denominador.
- Calcular el límite de una función racional cuando x crece sin cota, dividiendo entre la mayor potencia de x.
- Hallar las asíntotas verticales y horizontales de una función racional y ubicarlas en su gráfica.
- Distinguir una asíntota vertical de un hueco.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Hay preguntas que miran muy lejos: si una fábrica produce cada vez más unidades, ¿a qué valor se acerca el costo de cada una? Si a una piscina le entra agua con sal cada vez por más tiempo, ¿a qué concentración se acerca la mezcla? Otras miran muy cerca de un punto peligroso: ¿qué pasa con una fórmula cuando su denominador está a punto de valer cero?
Las dos preguntas se responden con límites, y las dos dejan una huella en la gráfica: unas rectas, llamadas asíntotas, a las que la curva se pega sin necesidad de tocarlas. Saber hallarlas te permite dibujar el comportamiento de una función sin calcular cientos de puntos.
Antes de empezar repasa los límites laterales y cómo se reconoce la indeterminación $\frac{0}{0}$.
Explicación
Valores que crecen sin cota
En la lección anterior quedó pendiente un caso: ¿qué pasa si al sustituir sale un número distinto de cero dividido entre cero? Toma $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ cerca de $x = 2$. El numerador vale 1 y el denominador se hace cada vez más pequeño. Dividir 1 entre un número diminuto da un número enorme.
Ejemplo resuelto
Una tabla que se dispara
Para $f(x) =$ $\frac{1}{x - 2}$, calcula los valores de la función a la derecha de 2, en $x = 2{,}1$; $2{,}01$ y $2{,}001$, y a la izquierda, en $x = 1{,}9$ y $1{,}99$.
Ver la solución paso a paso
La función es
$$\frac{1}{x - 2}$$
Por la derecha, con $x = 2{,}1$:
$$\frac{1}{2{,}1 - 2} = 10$$
Con $x = 2{,}01$:
$$\frac{1}{2{,}01 - 2} = 100$$
Con $x = 2{,}001$:
$$\frac{1}{2{,}001 - 2} = 1000$$
Por la izquierda el denominador es negativo. Con $x = 1{,}9$:
$$\frac{1}{1{,}9 - 2} = -10$$
Con $x = 1{,}99$:
$$\frac{1}{1{,}99 - 2} = -100$$
Por la derecha los valores crecen sin cota; por la izquierda decrecen sin cota. No se acercan a ningún número. Se escribe $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$.
Respuesta: Por la derecha de 2 los valores de f crecen sin cota (+∞) y por la izquierda decrecen sin cota (−∞). El límite en 2 no existe y la recta x = 2 es una asíntota vertical.
Límites infinitos y asíntotas verticales
El símbolo $\infty$ no es un número. Escribir $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ es una forma corta de decir «el límite no existe, y no existe porque los valores crecen sin cota». Por eso con $\infty$ no se hacen cuentas como con los números.
Cuando al menos uno de los límites laterales en $a$ es $+\infty$ o $-\infty$, la recta vertical $x = a$ se llama asíntota vertical: cerca de ella, la gráfica sube o baja sin fin. En una función racional, las asíntotas verticales están donde el denominador vale cero y el numerador no.
Si los dos valen cero, cuidado: es $\frac{0}{0}$, y puede que haya un hueco en vez de una asíntota. Por ejemplo, $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ tiene límite 4 en $x = 2$: allí la gráfica tiene un hueco, no una asíntota. Antes de buscar asíntotas verticales conviene simplificar.
La gráfica de y = 1/(x − 2) tiene dos ramas, en dos colores, que son la misma función. La línea punteada es la asíntota vertical x = 2: a su derecha la curva sube sin fin y a su izquierda baja sin fin.
Cuando x crece sin cota
Ahora la pregunta es la otra: ¿qué pasa con $f(x)$ cuando $x$ se hace cada vez más grande? Eso se escribe $x \to \infty$, y $x \to -\infty$ cuando $x$ se hace cada vez más negativo. El hecho básico es que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$ porque dividir 1 entre números cada vez más grandes da números cada vez más cercanos a 0. Lo mismo pasa con $\frac{c}{x^2}$, $\frac{c}{x^3}$ y cualquier constante dividida entre una potencia positiva de $x$.
Ejemplo resuelto
El costo de cada cuaderno
Un taller (datos inventados) gasta $600\,000$ pesos fijos al mes y 2000 pesos por cada cuaderno. Si hace $x$ cuadernos, el costo promedio de cada uno es $C(x) =$ $\frac{2000x + 600\,000}{x}$ pesos. ¿A qué valor se acerca el costo promedio cuando la producción crece sin cota?
Ver la solución paso a paso
El costo total dividido entre el número de cuadernos es
$$\frac{2000x + 600\,000}{x}$$
Dividimos cada término del numerador entre $x$:
$$2000 + \frac{600\,000}{x}$$
Con 100 cuadernos:
$$\frac{2000 \cdot 100 + 600\,000}{100} = 8000$$
Con 1000 cuadernos:
$$\frac{2000 \cdot 1000 + 600\,000}{1000} = 2600$$
Con 10 000 cuadernos:
$$\frac{2000 \cdot 10\,000 + 600\,000}{10\,000} = 2060$$
Como $\frac{600\,000}{x}$ se acerca a 0 cuando $x$ crece sin cota, el costo promedio se acerca a 2000:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2000x + 600\,000}{x}\right) = 2000$$
Respuesta: El costo promedio se acerca a 2000 pesos por cuaderno, el costo de cada uno, porque el gasto fijo se reparte entre cada vez más cuadernos. Nunca llega a 2000: siempre queda la parte 600 000/x.
Dividir entre la mayor potencia
Para un cociente de polinomios, la técnica es dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador. Cuando el grado de arriba no es mayor que el de abajo, así todos los términos, menos los principales, quedan como una constante dividida entre una potencia de $x$, y se van a cero. El caso en que el grado de arriba es mayor aparece un poco más abajo.
Ejemplo resuelto
Un límite cuando x tiende a infinito
Calcula $\lim_{x \to \infty}$ $\frac{3x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$.
Ver la solución paso a paso
Partimos del cociente
$$\frac{3x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$$
La mayor potencia del denominador es $x^2$. Dividimos cada término de arriba y de abajo entre $x^2$ (para $x \neq 0$):
$$\frac{3 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$$
Cuando $x$ crece sin cota, $\frac{1}{x^2}$ y $\frac{4}{x^2}$ se acercan a 0. Queda $\frac{3 + 0}{1 - 0}$. Una comprobación con $x = 100$:
$$3 < \frac{3 \cdot 100^{2} + 1}{100^{2} - 4} < 3{,}002$$
Por tanto:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\right) = 3$$
Cuando $x \to -\infty$ pasa lo mismo, porque $x^2$ también crece sin cota:
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\right) = 3$$
Respuesta: El límite es 3 cuando x tiende a ∞ y también cuando tiende a −∞. La recta y = 3 es una asíntota horizontal.
Asíntotas horizontales y la regla de los grados
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$, la recta $y = L$ es una asíntota horizontal: lejos del origen, la gráfica se pega a ella. Para un cociente de polinomios, el ejemplo anterior deja ver una regla que depende de los grados:
- si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es 0 y la asíntota es $y = 0$;
- si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales;
- si el grado del numerador es mayor, los valores crecen o decrecen sin cota y no hay asíntota horizontal.
Una diferencia importante con las verticales: en una función racional, la gráfica nunca cruza una asíntota vertical, porque allí la función no está definida; en cambio, sí puede cruzar una horizontal en algún punto. La asíntota horizontal solo describe lo que pasa lejos.
Ejemplo resuelto
Las dos asíntotas de una función
Halla las asíntotas de $f(x) =$ $\frac{2x + 1}{x - 1}$.
Ver la solución paso a paso
El denominador $x - 1$ vale cero en $x = 1$:
$$1 - 1 = 0$$
Y el numerador allí no es cero, así que no es $\frac{0}{0}$:
$$2 \cdot 1 + 1 = 3$$
Esto anuncia una asíntota vertical en $x = 1$. La función es
$$\frac{2x + 1}{x - 1}$$
Lo confirmamos con la tabla. A la derecha de 1, con $x = 1{,}01$:
$$\frac{2 \cdot 1{,}01 + 1}{1{,}01 - 1} = 302$$
A la izquierda, con $x = 0{,}99$:
$$\frac{2 \cdot 0{,}99 + 1}{0{,}99 - 1} = -298$$
Para la horizontal, los grados son iguales y los coeficientes principales son 2 y 1:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right) = 2$$
Y hacia la izquierda también:
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right) = 2$$
Respuesta: La gráfica tiene una asíntota vertical, x = 1, y una asíntota horizontal, y = 2.
La gráfica de y = (2x + 1)/(x − 1) tiene dos ramas, en dos colores, que son la misma función. Las dos líneas punteadas son las asíntotas: la horizontal y = 2 y la vertical x = 1.
Práctica
¿Cuánto vale $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5x - 2}{x + 3}\right)$?
Los grados son iguales: el límite es el cociente de los coeficientes principales, 5 ÷ 1 = 5. El −2/3 es el valor en x = 0, que no tiene que ver con lo que pasa lejos.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4x^{2} - x}{2x^{2} + 7}\right)$.
Al dividir entre x² queda (4 − 1/x)/(2 + 7/x²), que se acerca a 4 ÷ 2 = 2.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x + 1}{x^{2} + 1}\right)$?
El grado de arriba (1) es menor que el de abajo (2). Al dividir entre x² queda (3/x + 1/x²)/(1 + 1/x²), que se acerca a 0/1 = 0.
La gráfica de $y =$ $\frac{6x - 1}{2x + 5}$ tiene una asíntota horizontal de la forma y = c. ¿Cuánto vale c?
Los grados son iguales, así que c = 6 ÷ 2 = 3. El −5/2 es donde está la asíntota vertical, y −1/5 es el valor en x = 0.
¿En qué valor de x tiene una asíntota vertical la gráfica de $y =$ $\frac{x + 1}{x - 4}$?
El denominador se anula en x = 4 y el numerador allí vale 5, que no es cero. En x = −1 se anula el numerador: ahí la gráfica corta el eje x, no hay asíntota.
¿Verdadero o falso? Cuando x tiende a 3 por la derecha, los valores de $f(x) =$ $\frac{1}{x - 3}$ crecen sin cota.
A la derecha de 3, x − 3 es positivo y cada vez más pequeño, así que 1/(x − 3) es positivo y cada vez más grande.
¿Verdadero o falso? Cuando x tiende a 3 por la izquierda, los valores de $f(x) =$ $\frac{1}{x - 3}$ crecen sin cota.
A la izquierda de 3, x − 3 es negativo, así que el cociente es negativo: los valores decrecen sin cota (−∞). Por eso el límite en 3 no existe.
Para $f(x) =$ $\frac{2x + 1}{x - 1}$, calcula f(1000). Redondea a tres decimales.
f(1000) = 2001 ÷ 999 ≈ 2,003. Ya está muy cerca de la asíntota horizontal y = 2, y un poco por encima de ella.
La función $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ no está definida en x = 1. ¿Cuánto vale su límite cuando x tiende a 1?
Al sustituir sale 0/0. Al factorizar, f(x) = x + 1 para x ≠ 1, y el límite es 2. Como el límite es un número, en x = 1 hay un hueco y no una asíntota vertical.
¿Verdadero o falso? Cuando x crece sin cota, los valores de $f(x) =$ $\frac{x^{3} + 2}{x^{2} - 5}$ se acercan a 1.
El grado de arriba (3) es mayor que el de abajo (2): los valores crecen sin cota y la gráfica no tiene asíntota horizontal. El 1 sería el cociente de los coeficientes principales, pero esa regla solo vale con grados iguales.
Un taller (datos inventados) tiene un costo fijo de 300000 pesos al mes y cada unidad le cuesta 1500 pesos. ¿A qué valor se acerca el costo promedio por unidad, en pesos, cuando la producción crece sin cota?
El costo promedio es (1500x + 300 000)/x = 1500 + 300 000/x. La segunda parte se acerca a 0, así que el promedio se acerca a 1500 pesos.
¿Qué quiere decir que el límite de 1/(x − 2) cuando x tiende a 2 por la derecha sea +∞?
∞ no es un número: la notación describe cómo deja de existir el límite. La función ni siquiera está definida en 2, y la recta asociada es la vertical x = 2.
Reto
Une cada límite cuando x tiende a infinito con su valor.
Compara los grados de arriba y de abajo antes de calcular.
Reto
Abre el candado de las asíntotas.
Cada pista da un dígito de la clave. Busca dónde se anula el denominador y compara los grados.
Cierre
En resumen
Si al sustituir sale un número distinto de cero dividido entre cero, los valores crecen o decrecen sin cota; se escribe ∞ o −∞, que no son números.
La recta x = a es una asíntota vertical si algún límite lateral en a es ∞ o −∞; en una racional simplificada, está donde se anula el denominador y no el numerador.
Para el límite de un cociente de polinomios cuando x → ∞, se divide entre la mayor potencia de x del denominador.
Grado de arriba menor, límite 0; grados iguales, cociente de los coeficientes principales; grado de arriba mayor, no hay asíntota horizontal.
Si el límite cuando x → ∞ o x → −∞ es L, la recta y = L es una asíntota horizontal, y la gráfica puede cruzarla.
Vocabulario
- Límite infinito
Se escribe lím f(x) = ∞ cuando los valores f(x) crecen sin cota al acercarse x al punto. No es un número: describe cómo el límite deja de existir.
- Límite al infinito
El número al que se acercan los valores f(x) cuando x crece sin cota (x → ∞) o decrece sin cota (x → −∞).
- Asíntota vertical
La recta x = a cuando al menos uno de los límites laterales de f en a es ∞ o −∞.
- Asíntota horizontal
La recta y = L cuando el límite de f(x) cuando x → ∞ o cuando x → −∞ es L.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué pasa con el costo de cada cuaderno si un taller produce cada vez más, con un costo fijo mensual. Deje que estimen con la calculadora.
- Explicación · 25 min — La tabla de 1/(x − 2) y la asíntota vertical; la diferencia entre asíntota y hueco; el costo promedio y la división entre la mayor potencia; la regla de los grados; el análisis completo de (2x + 1)/(x − 1) con su gráfica.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El dominó y el candado pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una función racional con asíntota vertical x = 3 y asíntota horizontal y = 2, y un compañero la comprueba.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la gráfica de una función racional no puede cruzar una asíntota vertical y sí una horizontal?
- Si el denominador se anula en x = 2, ¿siempre hay asíntota vertical allí? Den un contraejemplo.
- ¿Por qué el costo promedio nunca llega a ser exactamente el costo de cada unidad?
Errores típicos
- Tratar ∞ como un número y hacer cuentas con él, como ∞ − ∞ = 0. Insista en que ∞ solo describe que los valores crecen sin cota, y muestre que x² − x crece sin cota aunque «∞ − ∞» sugiera 0.
- Poner una asíntota vertical en todo valor que anula el denominador, sin revisar el numerador. Compare 1/(x − 2) con (x² − 4)/(x − 2) en una gráfica: una tiene asíntota y la otra un hueco.
- Usar el cociente de coeficientes principales aunque los grados sean distintos. Pida que dividan entre la mayor potencia y vean qué términos se van a cero en cada caso.
- Creer que la curva nunca toca la asíntota horizontal. Muestre que x/(x² + 1) vale 0 en x = 0 y tiene asíntota y = 0.
Tarea sugerida
Para f(x) = (3x − 6)/(x + 2) y g(x) = (x² − 9)/(x − 3), hallar las asíntotas verticales y horizontales o los huecos, comprobar cada una con una tabla de dos valores y dibujar las dos gráficas.