Continuidad
Lo que vas a aprender
- Decidir si una función es continua en un punto comprobando las tres condiciones de la definición.
- Clasificar una discontinuidad como evitable, de salto o infinita.
- Redefinir una función en un punto para eliminar una discontinuidad evitable.
- Hallar el valor de una constante que hace continua una función definida a trozos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La temperatura de una ciudad no pasa de 18 °C a 25 °C sin pasar por todos los valores intermedios: cambia de forma continua. En cambio, la tarifa de un parqueadero que cobra por hora o fracción salta al cumplirse cada hora, y el saldo de una cuenta cambia de golpe con cada pago. Distinguir un cambio continuo de un salto importa al modelar: muchas propiedades útiles, como la de encontrar un valor intermedio o la de tener derivada, solo valen donde la función es continua.
La idea intuitiva es que una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz. En esta lección vas a convertir esa idea en una definición que se puede comprobar con límites, punto por punto.
Antes de empezar repasa cómo se calculan los límites laterales de una función a trozos y cómo se resuelve una indeterminación $\frac{0}{0}$ factorizando.
Explicación
Las tres condiciones
Una función $f$ es continua en $x = a$ si se cumplen las tres condiciones:
- $f(a)$ existe: la función está definida en $a$.
- $\lim_{x \to a} f(x)$ existe: los dos límites laterales existen y son iguales.
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: el valor en el punto coincide con el límite.
Las tres son necesarias, y en ese orden. Si falla una, la función es discontinua en $a$. La tercera condición dice, en palabras, que el valor de la función en el punto es justamente el número al que se acercan los valores de alrededor: no hay hueco, ni salto, ni punto fuera de su sitio.
Hay muchas funciones que son continuas en todos los puntos donde están definidas: los polinomios son continuos en todos los reales, y un cociente de polinomios es continuo en todos los puntos donde su denominador no vale cero. Por eso la sustitución directa funcionaba: en un punto de continuidad, el límite es el valor de la función.
Ejemplo resuelto
Un polinomio que cumple las tres
Comprueba que $f(x) =$ $x^{2} - 2x + 3$ es continua en $x = 2$.
Ver la solución paso a paso
Primera condición. Calculamos $f(2)$:
$$2^{2} - 2 \cdot 2 + 3 = 3$$
Segunda condición. El límite de un polinomio existe y se calcula sustituyendo. La función es
$$x^{2} - 2x + 3$$
y su límite en 2 es
$$\lim_{x \to 2} \left(x^{2} - 2x + 3\right) = 3$$
Tercera condición. El límite, 3, es igual a $f(2) = 3$. Se cumplen las tres.
Respuesta: f(2) = 3, el límite en 2 es 3 y los dos coinciden: f es continua en x = 2.
Tres clases de discontinuidad
Cuando una función no es continua en $a$, conviene decir por qué:
- Evitable. El límite en $a$ existe, pero $f(a)$ no existe o es distinto del límite. En la gráfica hay un hueco, o un punto fuera de su sitio. Se llama evitable porque se arregla definiendo (o redefiniendo) $f(a)$ igual al límite.
- De salto. Los dos límites laterales existen, pero son distintos. La gráfica salta de una altura a otra, como la tarifa del parqueadero.
- Infinita. Al menos uno de los límites laterales es $+\infty$ o $-\infty$. La gráfica tiene una asíntota vertical en $x = a$, como $\dfrac{1}{(x - 2)^2}$ en $x = 2$.
y = 1/(x − 2) tiene una discontinuidad infinita en x = 2: f(2) no existe, y cerca de 2 la curva sube sin tope por la derecha y baja sin tope por la izquierda, pegada a la asíntota punteada. Mueve h: la discontinuidad se corre con la asíntota, y en todos los demás puntos la función es continua.
Ejemplo resuelto
Una discontinuidad evitable
Estudia la continuidad de $g(x) =$ $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ en $x = 1$. Si es discontinua, ¿se puede evitar?
Ver la solución paso a paso
Primera condición. En $x = 1$ el denominador vale cero, así que $g(1)$ no existe y $g$ es discontinua en 1:
$$1 - 1 = 0$$
¿Existe el límite? Partimos de la función
$$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$$
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
$$\frac{\left(x - 1\right)\left(x + 1\right)}{x - 1}$$
Para $x \neq 1$ cancelamos $x - 1$:
$$x + 1$$
El límite existe:
$$\lim_{x \to 1} \left(\frac{x^{2} - 1}{x - 1}\right) = 2$$
Como el límite existe, la discontinuidad es evitable. Si definimos aparte $g(1) = 2$, la nueva función cumple las tres condiciones en 1: la gráfica es la recta $y = x + 1$ sin hueco.
Respuesta: g es discontinua en x = 1 porque g(1) no existe, pero su límite allí es 2. La discontinuidad es evitable: basta definir g(1) = 2.
Ejemplo resuelto
Una discontinuidad de salto
La función $f$ vale $f(x) = 2x + 1$ si $x < 2$, y $f(x) = x^2$ si $x \ge 2$. ¿Es continua en $x = 2$?
Ver la solución paso a paso
Primera condición. Para $x = 2$ se usa la segunda fórmula:
$$2^{2} = 4$$
Segunda condición. Por la izquierda de 2, $f$ coincide con $2x + 1$, así que $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ es
$$\lim_{x \to 2^{-}} \left(2x + 1\right) = 5$$
Por la derecha, $f$ coincide con $x^2$, así que $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ es
$$\lim_{x \to 2^{+}} \left(x^{2}\right) = 4$$
Los laterales existen pero son distintos (5 y 4): el límite en 2 no existe y falla la segunda condición. No hace falta revisar la tercera. Es una discontinuidad de salto, y ningún valor de $f(2)$ la arregla.
Respuesta: f(2) = 4 existe, pero los límites laterales son 5 y 4: el límite no existe. f tiene una discontinuidad de salto en x = 2.
La función a trozos del ejemplo salta en x = 2: el trazo de la izquierda llega a la altura 5 sin incluir el punto (2; 5), y el de la derecha empieza en el punto (2; 4), que sí pertenece a la gráfica.
Hacer continua una función a trozos
En una función definida a trozos, cada fórmula suele ser un polinomio, y por eso cada trozo es continuo por su cuenta. El único punto dudoso es el punto de unión, donde cambia la fórmula. Allí la función es continua si los dos trozos llegan a la misma altura y esa altura es el valor de la función. Cuando una fórmula tiene una constante desconocida, esa condición da una ecuación para hallarla.
Ejemplo resuelto
El valor que une los trozos
La función $f$ vale $f(x) = x^2 + k$ si $x < 3$, y $f(x) = 2x + 5$ si $x \ge 3$. Halla el valor de $k$ que la hace continua en $x = 3$.
Ver la solución paso a paso
Para que exista el límite en 3, los dos límites laterales tienen que ser iguales. Cerca de 3, por la izquierda $f$ coincide con $x^2 + k$ y por la derecha con $2x + 5$:
$$\lim_{x \to 3} \left(x^{2} + k\right) = \lim_{x \to 3} \left(2x + 5\right)$$
Calculamos cada límite por sustitución directa:
$$9 + k = 11$$
Despejamos $k$:
$$k = 2$$
Falta la tercera condición: con $k = 2$, el límite en 3 vale 11, y el valor de la función, que usa la segunda fórmula, también:
$$2 \cdot 3 + 5 = 11$$
Y el trozo de la izquierda, con $k = 2$, llega a la misma altura:
$$3^{2} + 2 = 11$$
Respuesta: $k = 2$
Con k = 2, los dos trozos de la función se unen en el punto (3; 11): la gráfica se dibuja sin levantar el lápiz y la función es continua en x = 3.
Un orden para decidir
Para estudiar la continuidad en un punto, revisa las condiciones en orden y detente en la primera que falle. Si $f(a)$ no existe, ya es discontinua; aun así vale la pena calcular el límite, porque te dice de qué clase es la discontinuidad. Y recuerda que tener límite no basta: una función puede tener límite en $a$ y no ser continua allí, si $f(a)$ falta o está fuera de su sitio.
Práctica
Una función vale $k x - 1$ para x < 2 y vale $x^{2} + 1$ para x ≥ 2. ¿Qué valor de k la hace continua en x = 2?
Por la derecha el límite es 2² + 1 = 5 y ese es también f(2). Por la izquierda es 2k − 1. Igualando, 2k − 1 = 5 y k = 3. El 5/2 sale de olvidar el −1.
Una función vale $m x + 3$ para x < 1 y vale $x^{2} + 4x$ para x ≥ 1. ¿Qué valor de m la hace continua en x = 1?
Por la derecha el trozo llega a 1 + 4 = 5; por la izquierda, a m + 3. Igualando, m + 3 = 5 y m = 2. El 5 es la altura de la unión, no el valor de m.
La función $g(x) =$ $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 2}$ no está definida en x = 2. ¿Qué valor hay que asignarle a g(2) para que sea continua en x = 2?
x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3). Para x ≠ 2 queda x + 3, cuyo límite en 2 es 5. Definiendo g(2) = 5 se cumplen las tres condiciones.
Una función h vale $x^{2} + 1$ para todo x distinto de 1, y en el punto se definió h(1) = 5. ¿Qué valor debería tener h(1) para que h fuera continua en x = 1?
El límite en 1 es 1² + 1 = 2 y h(1) = 5 es distinto: falla la tercera condición. La discontinuidad es evitable; con h(1) = 2 la función sería continua.
¿Verdadero o falso? La función que vale $x^{2} - 1$ para x < 3 y vale $2x + 1$ para x ≥ 3 es continua en x = 3.
Por la izquierda el límite es 9 − 1 = 8; por la derecha, 6 + 1 = 7. Como son distintos, el límite no existe y la función tiene una discontinuidad de salto.
La función vale $x^{2} - 1$ para x < 3 y vale $2x + 1$ para x ≥ 3. ¿Cuánto mide el salto en x = 3, es decir, el límite por la izquierda menos el límite por la derecha?
El límite por la izquierda es 8 y el de la derecha es 7: el salto mide 8 − 7 = 1.
¿Verdadero o falso? Para $f(x) =$ $x^{3} - 2x$ se cumple la tercera condición de continuidad en x = 1: el límite cuando x tiende a 1 es igual a f(1).
f(1) = 1 − 2 = −1 y, como f es un polinomio, su límite en 1 también es −1. Los polinomios son continuos en todos los reales.
¿En qué valores de x es discontinua la función $f(x) =$ $\frac{x + 2}{x^{2} - 9}$?
Un cociente de polinomios es continuo donde el denominador no se anula. x² − 9 = 0 en x = −3 y en x = 3. En x = −2 se anula el numerador: allí f vale 0 y es continua.
¿Verdadero o falso? La función $f(x) =$ $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}$ tiene en x = 2 una discontinuidad infinita: sus valores crecen sin cota cuando x se acerca a 2.
f(2) no existe y, a cada lado de 2, el denominador es positivo y cada vez más pequeño: el cociente crece sin cota. La recta x = 2 es una asíntota vertical.
Una función cumple que su límite por la izquierda en x = 4 es 6, su límite por la derecha es 2 y su valor en el punto es 2. ¿Qué clase de discontinuidad tiene en x = 4?
Los laterales existen pero son distintos, así que el límite no existe y ningún valor de la función en 4 puede arreglarlo. Coincidir con un solo lado no basta para la continuidad.
Si el límite de f cuando x tiende a a existe, ¿qué se puede asegurar sobre la continuidad de f en a?
Tener límite es solo la segunda condición. La función (x² − 1)/(x − 1) tiene límite 2 en x = 1 y no es continua allí, porque no está definida en 1.
Reto
Revisa la continuidad en el punto de unión.
Calcula cada límite con la fórmula del lado correspondiente, y f(2) con la fórmula que incluye al 2.
Reto
Abre el candado de la continuidad.
Cada pista da un dígito de la clave. Busca el valor que tapa el hueco o une los trozos.
Cierre
En resumen
Una función es continua en a si se cumplen tres condiciones: f(a) existe, el límite en a existe y los dos son iguales.
Los polinomios son continuos en todos los reales; un cociente de polinomios es continuo donde su denominador no vale cero.
Una discontinuidad es evitable si el límite existe; se elimina definiendo f(a) igual al límite.
Es de salto si los límites laterales existen y son distintos, e infinita si algún lateral es ∞ o −∞.
En una función a trozos se revisa el punto de unión; igualar los límites laterales da la ecuación para la constante que la hace continua.
Vocabulario
- Función continua en un punto
f es continua en a si f(a) existe, el límite de f en a existe y los dos son iguales.
- Discontinuidad evitable
El límite en a existe, pero f(a) no existe o es distinto del límite. Se elimina definiendo f(a) igual al límite.
- Discontinuidad de salto
Los dos límites laterales en a existen, pero son distintos: la gráfica salta.
- Discontinuidad infinita
Al menos uno de los límites laterales en a es ∞ o −∞: la gráfica tiene una asíntota vertical en x = a.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que dibujen en el aire la temperatura de un día y la tarifa de un parqueadero por horas, y pregunte en cuál tuvieron que levantar la mano.
- Explicación · 25 min — Las tres condiciones con el polinomio; las tres clases de discontinuidad; el hueco evitable de (x² − 1)/(x − 1); el salto con su gráfica; hallar k con la gráfica de los trozos unidos.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Los huecos y el candado pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja una función con una discontinuidad de cada clase y escribe cuál de las tres condiciones falla en cada una.
Preguntas para el salón
- ¿Puede una función tener límite en un punto y no ser continua allí? Den un ejemplo.
- ¿Por qué una discontinuidad de salto no se puede evitar redefiniendo un solo punto?
- En una función a trozos hecha con polinomios, ¿por qué solo hay que revisar los puntos de unión?
Errores típicos
- Revisar solo que f(a) existe, o solo que el límite existe, y concluir que la función es continua. Exija escribir las tres condiciones en orden, con su cálculo, en cada ejercicio.
- Igualar f(a) con uno solo de los límites laterales. Use el salto del ejemplo: f(2) coincide con el límite por la derecha y la función sigue siendo discontinua.
- Usar la fórmula equivocada para f(a) en una función a trozos (no fijarse en el ≤ o el <). Pida que subrayen en cada trozo el signo que dice dónde va el punto de unión.
- Llamar evitable a una discontinuidad infinita porque «se puede quitar el punto». Recuerde que evitable exige que el límite exista como número; con ∞ no hay número que poner en f(a).
Tarea sugerida
Hallar el valor de a que hace continua la función que vale ax + 1 para x < 2 y x² − 1 para x ≥ 2, comprobar las tres condiciones con ese valor y dibujarla. Además, clasificar las discontinuidades de (x² − 4)/(x² − 2x) y explicar cuál se puede evitar.