Razón de cambio instantánea
Lo que vas a aprender
- Calcular velocidades medias en intervalos [a; a + h] cada vez más cortos y reconocer el valor al que se acercan.
- Hallar la velocidad en un instante como el límite de la velocidad media cuando h tiende a 0.
- Interpretar ese límite como la pendiente de la recta tangente a la gráfica y como razón de cambio instantánea de cualquier magnitud, con sus unidades.
- Usar la velocidad instantánea para decidir en qué momento un movimiento es más rápido.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un radar de tránsito no mide cuánto se demoró un carro de una ciudad a otra: mide qué tan rápido va en el instante en que pasa frente a él. Un médico que mira cómo baja la fiebre de un paciente no pregunta solo cuántos grados bajó en el día, sino qué tan rápido está bajando ahora. En los dos casos se busca una razón de cambio en un instante, no en un intervalo.
En 10.º calculaste razones de cambio promedio, como la velocidad media, que necesitan dos instantes, y estimaste con tablas la velocidad en un instante. En esta lección vas a calcularla con los límites de la unidad anterior: pasar del promedio en un intervalo al valor exacto en un instante. Ese paso es la puerta de entrada al cálculo diferencial: en la próxima lección este número tendrá nombre propio, la derivada.
Antes de empezar recuerda cómo se calcula la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y cómo se resuelve un límite que da $\tfrac{0}{0}$ simplificando primero.
Explicación
De la velocidad media a la velocidad en un instante
Supón que un objeto se mueve sobre una recta y que su posición a los $t$ segundos es $d(t)$. La velocidad media entre el instante $a$ y un instante un poco posterior, $a + h$, es
$$\bar v = \frac{d(a + h) - d(a)}{h}.$$
El numerador es el desplazamiento y el denominador, el tiempo transcurrido. Mientras más pequeño es $h$, más se parece esta velocidad media a lo que pasa en el instante $a$. Pero no podemos poner $h = 0$: el cociente quedaría $\tfrac{0}{0}$, que no es ningún número.
La salida es la misma que en la unidad de límites: no reemplazamos $h$ por $0$, sino que preguntamos a qué valor se acerca la velocidad media cuando $h$ se acerca a $0$, por la derecha y por la izquierda. Ese límite es la velocidad instantánea en $t = a$:
$$v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{d(a + h) - d(a)}{h}.$$
Hay dos maneras de encontrarlo. Una es numérica: calcular velocidades medias con $h$ cada vez más pequeño y mirar hacia dónde van. La otra es algebraica: simplificar el cociente para $h \neq 0$ hasta que el límite se pueda calcular por sustitución directa. La primera da una buena sospecha; la segunda la confirma.
Ejemplo resuelto
La velocidad de una canica a los 2 segundos
Una canica rueda por una canaleta inclinada. A los $t$ segundos ha recorrido $d(t) = 3t^2$ centímetros. Halla su velocidad en el instante $t = 2$ s.
Ver la solución paso a paso
Primero la sospecha numérica. Velocidad media entre $t = 2$ s y $t = 2{,}1$ s, en cm/s:
$$\frac{3 \cdot \left(2{,}1\right)^{2} - 3 \cdot 2^{2}}{2{,}1 - 2} = 12{,}3$$
Entre $t = 2$ s y $t = 2{,}01$ s:
$$\frac{3 \cdot \left(2{,}01\right)^{2} - 3 \cdot 2^{2}}{2{,}01 - 2} = 12{,}03$$
Entre $t = 1{,}99$ s y $t = 2$ s, es decir, con $h$ negativo:
$$\frac{3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot \left(1{,}99\right)^{2}}{2 - 1{,}99} = 11{,}97$$
Los valores rodean al 12 por los dos lados. Ahora la confirmación algebraica: el cociente incremental en $a = 2$ es
$$\frac{3 \cdot \left(2 + h\right)^{2} - 3 \cdot 2^{2}}{h}$$
Desarrollamos el cuadrado: $3(4 + 4h + h^2) - 12 = 12h + 3h^2$.
$$\frac{12h + 3h^{2}}{h}$$
Como $h \neq 0$, dividimos cada término entre $h$. Esta expresión vale lo mismo que el cociente para todo $h$ distinto de cero:
$$12 + 3h$$
Ahora sí, el límite se calcula sustituyendo $h = 0$:
$$\lim_{h \to 0}\left(3 h + 12\right) = 12$$
Respuesta: La velocidad de la canica en el instante t = 2 s es 12 cm/s.
La pendiente de la tangente
Lo mismo se puede leer en la gráfica. Si dibujas $y = f(x)$, el cociente $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a;\ f(a))$ y $(a + h;\ f(a + h))$. Cuando $h$ se acerca a $0$, el segundo punto se desliza por la curva hacia el primero y la secante gira hasta acomodarse en una posición límite: la recta tangente a la curva en $(a;\ f(a))$. Su pendiente es
$$m_{\tan} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$
En la figura se ve con la función de la canica: las secantes desde $(2;\ 12)$ se van pareciendo a la tangente, que tiene pendiente 12, el mismo número que la velocidad.
Una razón de cambio para cualquier magnitud
Nada de esto depende de que la variable sea el tiempo. Si $f$ es el área de una lámina en función de su lado, el costo de una producción en función de las unidades, o la temperatura de un horno en función de los minutos, el mismo límite mide qué tan rápido cambia $f$ en el punto $a$. Se llama razón de cambio instantánea y sus unidades son las de $f$ divididas entre las de $x$: centímetros por segundo, centímetros cuadrados por centímetro, grados por minuto. Como la velocidad media, nace de una razón entre dos magnitudes; la instantánea es el límite de esa razón.
La parábola y = 3x², con x en segundos y y en centímetros, y tres rectas por el punto (2; 12): la secante hasta (3; 27), de pendiente 15; la secante hasta (2,5; 18,75), de pendiente 13,5; y la recta tangente, de pendiente 12. Al acercar el segundo punto, la secante se parece cada vez más a la tangente.
Ejemplo resuelto
Qué tan rápido crece el área de un círculo
Una mancha de tinta circular se agranda sobre un papel. Su área es $A(r) = \pi r^2$ cm² cuando el radio mide $r$ cm. Halla la razón de cambio instantánea del área respecto del radio cuando $r = 3$ cm.
Ver la solución paso a paso
El cociente incremental entre $r = 3$ y $r = 3 + h$ es:
$$\frac{\pi\left(3 + h\right)^{2} - \pi \cdot 3^{2}}{h}$$
Desarrollamos el cuadrado y cancelamos $9\pi$:
$$\frac{6\pi h + \pi h^{2}}{h}$$
Dividimos entre $h \neq 0$:
$$6\pi + \pi h$$
Y calculamos el límite por sustitución directa:
$$\lim_{h \to 0}\left(\pi h + 6 \pi\right) = 6\pi$$
Fíjate en lo que salió: es el perímetro de la circunferencia de radio 3 cm. Cuando el radio crece un poquito, el área gana una franja delgada alrededor del borde, y esa franja mide casi lo mismo que el perímetro.
$$2\pi \cdot 3 = 6\pi$$
Respuesta: La razón de cambio es 6π cm² por cada centímetro de radio, unos 18,8 cm²/cm, que coincide con el perímetro del círculo de radio 3 cm.
La atleta: cuándo corre más rápido
Cuando una atleta sale a correr, su velocidad no es constante. Arranca desde el reposo, va ganando velocidad hasta un máximo y después, por el cansancio, se va frenando poco a poco. La velocidad media de toda la prueba no dice en qué momento fue más rápida; la velocidad instantánea sí. Para eso conviene calcularla en un instante cualquiera $a$, no en uno solo: así se obtiene una fórmula que relaciona el tiempo con la velocidad y se puede estudiar cómo cambia la una con el otro.
Un detalle importante sobre el signo. Si la posición aumenta, la velocidad instantánea es positiva; si disminuye, porque el objeto va hacia atrás, es negativa. El signo dice el sentido del movimiento. El valor sin signo, $|v|$, es la rapidez, y es lo que marca un velocímetro.
Ejemplo resuelto
La mayor velocidad de una atleta
En una prueba de 15 segundos, la distancia que lleva recorrida una atleta a los $t$ segundos es $d(t) = 0{,}9t^2 - 0{,}03t^3$ metros. ¿En qué instante alcanza su mayor velocidad y cuántos metros ha recorrido hasta ese momento?
Ver la solución paso a paso
Calculamos la velocidad en un instante cualquiera $a$. El cociente incremental es:
$$\frac{0{,}9 \cdot \left(a + h\right)^{2} - 0{,}03 \cdot \left(a + h\right)^{3} - \left(0{,}9a^{2} - 0{,}03a^{3}\right)}{h}$$
Al desarrollar los binomios, los términos $0{,}9a^2$ y $0{,}03a^3$ se cancelan y todo lo que queda arriba tiene el factor $h$:
$$\frac{1{,}8a h + 0{,}9h^{2} - 0{,}09a^{2}h - 0{,}09a h^{2} - 0{,}03h^{3}}{h}$$
Dividimos entre $h \neq 0$ y agrupamos:
$$1{,}8a - 0{,}09a^{2} + \left(0{,}9 - 0{,}09a\right)h - 0{,}03h^{2}$$
El límite cuando $h \to 0$ se obtiene sustituyendo $h = 0$. Esa es la velocidad, en m/s, en el instante $a$:
$$\lim_{h \to 0}\left(- 0{,}03 h^{2} - 0{,}09 a^{2} + 1{,}8 a + h \left(- 0{,}09 a + 0{,}9\right)\right) = 1{,}8a - 0{,}09a^{2}$$
La velocidad $v(a) = 1{,}8a - 0{,}09a^2$ es una parábola que abre hacia abajo, así que su máximo está en el vértice:
$$\frac{-1{,}8}{2 \cdot \left(-0{,}09\right)} = 10$$
Ese instante cae dentro de la prueba, que dura 15 s:
$$0 < 10 < 15$$
Antes del segundo 10 la velocidad crece y después decrece. La mayor velocidad, en m/s, es:
$$1{,}8 \cdot 10 - 0{,}09 \times 10^{2} = 9$$
Y la distancia recorrida hasta ese instante, en metros:
$$0{,}9 \times 10^{2} - 0{,}03 \times 10^{3} = 60$$
Respuesta: La atleta alcanza su mayor velocidad, 9 m/s, a los 10 s, cuando ha recorrido 60 m. Después sigue avanzando, pero cada vez más despacio.
La distancia de la atleta, y = 0,9x² − 0,03x³, con x en segundos y y en metros, y su recta tangente en el punto (10; 60). La pendiente de la tangente, 9, es la velocidad en ese instante: la mayor de toda la prueba. Antes de ese punto la curva se empina cada vez más; después, cada vez menos.
Práctica
Un carrito avanza por un riel y su posición es $s(t) =$ $2t^{2}$ metros a los t segundos. ¿Cuál es su velocidad media entre t = 3 s y t = 3,1 s, en m/s? Escribe el resultado exacto.
s(3,1) = 2 · 9,61 = 19,22 m y s(3) = 18 m. El desplazamiento es 1,22 m en 0,1 s: 1,22 ÷ 0,1 = 12,2 m/s. Es una velocidad media, todavía no la del instante t = 3 s.
Para el mismo carrito, con $s(t) =$ $2t^{2}$, ¿cuál es el cociente incremental (s(3 + h) − s(3))/h simplificado, con h distinto de cero?
2(3 + h)² − 18 = 2(9 + 6h + h²) − 18 = 12h + 2h². Al dividir entre h queda 12 + 2h. El 6 + 2h olvida multiplicar por 2 el término 6h.
Con $s(t) =$ $2t^{2}$ metros, ¿cuál es la velocidad instantánea del carrito en t = 3 s, en m/s?
El cociente simplificado es 12 + 2h, y cuando h tiende a 0 se acerca a 12. La velocidad en el instante t = 3 s es 12 m/s; la velocidad media de la primera pregunta, 12,2 m/s, era una aproximación.
Con $s(t) =$ $2t^{2}$, ¿verdadero o falso? La velocidad media entre t = 3 s y t = 3,1 s es igual a la velocidad en el instante t = 3 s.
La velocidad media en ese intervalo es 12,2 m/s y la instantánea es 12 m/s. En este movimiento, por corto que sea el intervalo, la velocidad media solo se acerca a la instantánea; la igualdad aparece en el límite.
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a $y =$ $x^{2} - 4x$ en el punto de abscisa x = 1?
El cociente ((1 + h)² − 4(1 + h) − (−3))/h se simplifica a −2 + h, que tiende a −2. El −3 es el valor de la función en x = 1, la altura del punto, no la inclinación de la tangente.
¿Verdadero o falso? La pendiente de la recta tangente a $y =$ $x^{2}$ en el punto de abscisa x = 3 es 9.
El cociente ((3 + h)² − 9)/h se simplifica a 6 + h, que tiende a 6. El 9 es la altura del punto (3; 9), no la pendiente de la tangente.
Una baldosa cuadrada de lado l centímetros tiene área $A(l) =$ $l^{2}$ cm². ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del área respecto del lado cuando l = 6 cm, en cm² por cada cm?
((6 + h)² − 36)/h = (12h + h²)/h = 12 + h, que tiende a 12. El área crece a razón de 12 cm² por cada centímetro de lado; el 36 es el área, no su razón de cambio.
La atleta del ejemplo recorre $d(t) =$ $0{,}9t^{2} - 0{,}03t^{3}$ metros a los t segundos. ¿Cuál es su velocidad en el instante t = 5 s, en m/s?
Con la fórmula del ejemplo, v(5) = 1,8 · 5 − 0,09 · 25 = 9 − 2,25 = 6,75 m/s. El 18,75 es la distancia recorrida en 5 s, el 3,75 la velocidad media de esos 5 s y el 9 la velocidad máxima, que llega a los 10 s.
Un carro de juguete retrocede hacia el punto de referencia y su posición es $s(t) =$ $40 - 3t^{2}$ metros a los t segundos. ¿Cuál es su velocidad en el instante t = 2 s, en m/s?
(40 − 3(2 + h)² − 28)/h = (−12h − 3h²)/h = −12 − 3h, que tiende a −12. La velocidad es −12 m/s: negativa porque la posición disminuye. El 28 es la posición en t = 2 s.
Para el mismo carro, con $s(t) =$ $40 - 3t^{2}$ metros, ¿cuál es su rapidez en el instante t = 2 s, en m/s?
La rapidez es el valor absoluto de la velocidad: |−12| = 12 m/s. La velocidad lleva el signo del sentido del movimiento; la rapidez solo dice qué tan rápido va.
¿Por qué no se puede hallar la velocidad en un instante reemplazando h por 0 en la velocidad media (d(a + h) − d(a))/h?
Con h = 0 el numerador es d(a) − d(a) = 0 y el denominador también es 0. La expresión 0/0 no tiene valor; por eso se simplifica para h ≠ 0 y se calcula el límite.
Reto
Abre el candado del cambio instantáneo.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Reto
Une cada idea con su pareja.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Cierre
En resumen
La velocidad media entre a y a + h es (d(a + h) − d(a))/h; la velocidad instantánea es su límite cuando h tiende a 0.
El límite no se calcula poniendo h = 0 en el cociente, que daría 0/0, sino simplificando primero para h ≠ 0.
En la gráfica, ese límite es la pendiente de la recta tangente, el límite de las pendientes de las secantes.
La razón de cambio instantánea sirve para cualquier magnitud y se mide en unidades de f por unidad de x.
La velocidad tiene signo, que indica el sentido; la rapidez es su valor absoluto.
Vocabulario
- Cociente incremental
La razón (f(a + h) − f(a))/h: el cambio de la función dividido entre el cambio h de la variable. Es la pendiente de la secante entre x = a y x = a + h.
- Velocidad instantánea
El límite de la velocidad media en el intervalo [a; a + h] cuando h tiende a 0. Tiene signo: dice hacia dónde se mueve el objeto.
- Rapidez
El valor absoluto de la velocidad instantánea. Nunca es negativa.
- Recta tangente
La recta por el punto (a; f(a)) cuya pendiente es el límite de las pendientes de las secantes.
- Razón de cambio instantánea
El límite del cociente incremental cuando h tiende a 0. Se mide en unidades de f por unidad de x.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué mide un radar de tránsito y en qué se diferencia de la velocidad media de un viaje. Anote las ideas en el tablero.
- Explicación · 25 min — La canica con la tabla de velocidades medias y luego con el cociente simplificado; la figura de las secantes; el círculo para mostrar una razón de cambio que no es de movimiento; la atleta para estudiar cuándo la velocidad es máxima.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El candado y el dominó pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe con sus palabras la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea, y entre velocidad y rapidez.
Preguntas para el salón
- ¿Qué pasa con la velocidad media de la canica si el intervalo dura una milésima de segundo? ¿Y si dura cero?
- ¿Por qué la razón de cambio del área del círculo coincide con su perímetro?
- La atleta sigue avanzando después del segundo 10. ¿Por qué decimos que va más despacio si la distancia sigue creciendo?
Errores típicos
- Reemplazar h por 0 antes de simplificar y concluir que el cociente vale 0 o no existe. Pida que escriban el cociente con h = 0 y que digan qué número es 0/0; luego simplifiquen y comparen con la tabla de la canica.
- Confundir el valor de la función en a con la pendiente de la tangente en a. Señale en la figura la altura del punto (2; 12) y la inclinación de la tangente, y pregunte cuál de las dos es la velocidad.
- Creer que una velocidad negativa es un error de cuenta. Use el carro que retrocede: pregunte si su posición aumenta o disminuye y qué marcaría su velocímetro.
- Pensar que la velocidad es máxima cuando la distancia es máxima. En la figura de la atleta, compare la inclinación de la curva en t = 10 s y en t = 15 s.
Tarea sugerida
Para d(t) = 5t² metros, calcular la velocidad media entre t = 1 s y t = 1,1 s, entre t = 1 s y t = 1,01 s, y después la velocidad en t = 1 s simplificando el cociente incremental. Explicar por escrito por qué los dos primeros resultados se acercan al tercero.