La derivada como límite
Lo que vas a aprender
- Escribir la definición de la derivada de f en un punto a como el límite del cociente incremental.
- Calcular por definición las derivadas de x², x³, 1/x y √x.
- Distinguir la derivada en un punto, que es un número, de la función derivada, que es una función.
- Reconocer en qué puntos una función no tiene derivada, como √x en x = 0.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección anterior calculaste la velocidad de una canica en un instante, la razón de cambio del área de un círculo y la velocidad de una atleta. Las tres cuentas tenían el mismo esqueleto: un cociente incremental, una simplificación y un límite. Cuando una misma idea aparece en lugares tan distintos, vale la pena darle un nombre y estudiarla sola: es la derivada.
Con la derivada podrás, más adelante, saber dónde crece una función, dónde alcanza su máximo o cómo diseñar la caja más económica. Todo eso se apoya en lo de hoy: calcular la derivada directamente desde su definición, sin fórmulas prestadas, para entender de dónde salen las reglas que usarás después.
Antes de empezar repasa el cuadrado y el cubo de un binomio, la suma de fracciones con distinto denominador y cómo se racionaliza una resta de raíces.
Explicación
La derivada en un punto
La derivada de $f$ en $a$ es
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h},$$
siempre que ese límite exista. Se lee «$f$ prima de $a$». Es un número, y ese número se puede leer de tres maneras: como la razón de cambio instantánea de $f$ en $a$, como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en $(a;\ f(a))$ y, si $f$ es una posición, como la velocidad en el instante $a$.
Si el límite existe, se dice que $f$ es derivable en $a$. Si no existe, o si da infinito, $f$ no tiene derivada allí. Eso pasa, por ejemplo, donde la gráfica tiene una punta o una tangente vertical.
La función derivada
Calcular la derivada en $a = 1$, luego en $a = 2$, luego en $a = 5$, repitiendo cada vez las mismas cuentas, sería una pérdida de tiempo. Es mejor hacer la cuenta una sola vez, con una letra en lugar del número:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$$
El resultado ya no es un número, sino una función: la función derivada $f'$. A cada $x$ le asigna la pendiente de la tangente en ese punto. Para obtener la derivada en un punto concreto basta con evaluarla: si $f'(x) = 2x$, entonces $f'(3) = 6$.
No confundas las dos cosas: $f'(x)$ es una función, $f'(3)$ es un número. Y tampoco confundas $f'(3)$ con $f(3)$: el primero es la inclinación de la curva en ese punto; el segundo, su altura.
Ejemplo resuelto
La derivada de x²
Halla por definición la función derivada de $f(x) = x^2$ y úsala para calcular $f'(3)$ y $f'(-1)$.
Ver la solución paso a paso
Escribimos el cociente incremental con $x$ como letra:
$$\frac{\left(x + h\right)^{2} - x^{2}}{h}$$
Desarrollamos $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$, y los $x^2$ se cancelan:
$$\frac{2x h + h^{2}}{h}$$
Como $h \neq 0$, dividimos cada término entre $h$:
$$2x + h$$
El límite cuando $h \to 0$ se calcula por sustitución directa:
$$\lim_{h \to 0}\left(h + 2 x\right) = 2x$$
La función derivada es $f'(x) = 2x$. Evaluada en $x = 3$:
$$2 \cdot 3 = 6$$
Y en $x = -1$:
$$2 \cdot \left(-1\right) = -2$$
Respuesta: f'(x) = 2x; por eso f'(3) = 6 y f'(−1) = −2. A la izquierda del vértice la tangente baja y a la derecha sube.
Ejemplo resuelto
La derivada de x³
Halla por definición la función derivada de $f(x) = x^3$.
Ver la solución paso a paso
El cociente incremental es:
$$\frac{\left(x + h\right)^{3} - x^{3}}{h}$$
Con el cubo del binomio, $(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$. Los $x^3$ se cancelan:
$$\frac{3x^{2}h + 3x h^{2} + h^{3}}{h}$$
Dividimos entre $h \neq 0$:
$$3x^{2} + 3x h + h^{2}$$
Los dos últimos términos tienden a cero con $h$:
$$\lim_{h \to 0}\left(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}\right) = 3x^{2}$$
Respuesta: f'(x) = 3x². Como 3x² nunca es negativo, la tangente a y = x³ nunca baja; en x = 0 es horizontal.
Cuando el álgebra pide otra herramienta
Con los polinomios basta desarrollar y cancelar. Con $\tfrac{1}{x}$ hay que restar fracciones con denominador común antes de simplificar. Con $\sqrt{x}$ la resta de raíces no se deja simplificar directamente, y se usa la racionalización que viste en el cálculo de límites: multiplicar arriba y abajo por el conjugado, $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$, para que la diferencia de cuadrados elimine las raíces del numerador.
Ejemplo resuelto
La derivada de 1/x
Halla por definición la función derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x}$, para $x \neq 0$.
Ver la solución paso a paso
El cociente incremental es:
$$\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$$
Restamos las fracciones de arriba con el denominador común $x(x + h)$:
$$\frac{x - \left(x + h\right)}{h x\left(x + h\right)}$$
En el numerador queda $-h$, que se cancela con la $h$ del denominador porque $h \neq 0$:
$$-\frac{1}{x\left(x + h\right)}$$
Cuando $h \to 0$, el denominador tiende a $x \cdot x$:
$$\lim_{h \to 0}\left(- \frac{1}{x \left(h + x\right)}\right) = -\frac{1}{x^{2}}$$
Por ejemplo, en $x = 2$ la pendiente de la tangente es:
$$-\frac{1}{2^{2}} = -\frac{1}{4}$$
Respuesta: f'(x) = −1/x² para x ≠ 0. Es negativa en todas partes: la hipérbola y = 1/x baja en cada uno de sus puntos.
Ejemplo resuelto
La derivada de √x
Halla por definición la función derivada de $f(x) = \sqrt{x}$ para $x > 0$, y explica qué pasa en $x = 0$.
Ver la solución paso a paso
El cociente incremental es:
$$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$
Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$. Arriba queda una diferencia de cuadrados, $(x + h) - x$:
$$\frac{\left(x + h\right) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)}$$
El numerador es $h$, que se cancela con el del denominador:
$$\frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$
Con $x > 0$, el denominador tiende a $2\sqrt{x}$:
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{h + x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
En $x = 4$, por ejemplo:
$$\frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$$
En $x = 0$ la cosa cambia: el cociente es $\tfrac{\sqrt{h}}{h}$, que solo tiene sentido con $h > 0$. Con $h = 0{,}01$ vale:
$$\frac{\sqrt{0{,}01}}{0{,}01} = 10$$
Y con $h = 0{,}0001$ ya vale cien. Cada vez que $h$ se divide entre 100, el cociente se multiplica por 10: crece sin cota cuando $h \to 0^+$. La tangente en el origen es vertical y $\sqrt{x}$ no es derivable en $x = 0$.
$$\frac{\sqrt{0{,}0001}}{0{,}0001} = 100$$
Respuesta: f'(x) = 1/(2√x) para x > 0. En x = 0 la función existe pero no es derivable: su tangente es vertical.
La curva y = √x y su recta tangente en el punto (4; 2). La pendiente de la tangente es f'(4) = 1/4: por cada 4 unidades a la derecha, la recta sube 1. Cerca del origen la curva se empina tanto que su tangente en x = 0 es vertical.
Lo que va quedando
Reunimos lo que salió por definición:
| $f(x)$ | $x^2$ | $x^3$ | $\dfrac{1}{x}$ | $\sqrt{x}$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $2x$ | $3x^2$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Dos casos más salen sin esfuerzo. Si $f(x) = c$ es constante, $f(x + h) - f(x) = 0$ y la derivada es $0$: una recta horizontal no cambia. Si $f(x) = mx + b$, el cociente vale $m$ para todo $h$, así que $f'(x) = m$: la tangente a una recta es la misma recta. Y cuando $f$ es una suma, como $x^2 + 3x$, su cociente incremental es la suma de los cocientes, y el límite de una suma es la suma de los límites: la derivada es $2x + 3$.
¿Ves un patrón en la tabla? Escribe $\tfrac{1}{x}$ como $x^{-1}$ y $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$, y compara cada exponente con el número que baja adelante. Esa sospecha se convertirá en una regla en la unidad siguiente.
Práctica
Para $f(x) =$ $4x^{2}$, ¿cuál es el cociente incremental (f(1 + h) − f(1))/h simplificado, con h distinto de cero?
4(1 + h)² − 4 = 4 + 8h + 4h² − 4 = 8h + 4h². Al dividir entre h queda 8 + 4h. 8h + 4h² es el numerador, todavía sin dividir entre h.
Si $f(x) =$ $x^{2}$, ¿cuánto vale la derivada f'(5)?
La función derivada es f'(x) = 2x, así que f'(5) = 10. El 25 sería f(5), la altura del punto, no la pendiente.
¿Cuál es la función derivada de $f(x) =$ $x^{3}$?
Del cociente incremental queda 3x² + 3xh + h², que tiende a 3x² cuando h tiende a 0.
Para $f(x) =$ $x^{3}$, ¿verdadero o falso? f'(2) = 8.
f'(2) = 3 · 2² = 12. El 8 es f(2) = 2³, el valor de la función, no el de su derivada.
Para $f(x) =$ $\frac{1}{x}$, ¿cuánto vale f'(4)? Escribe el resultado como fracción.
f'(x) = −1/x², así que f'(4) = −1/16. Es negativa porque la hipérbola baja; el 1/4 es f(4).
Para $f(x) =$ $\sqrt{x}$, ¿cuánto vale f'(9)?
f'(x) = 1/(2√x), así que f'(9) = 1/(2 · 3) = 1/6. El 1/3 olvida el 2 del denominador; el 1/18 olvida sacar la raíz de 9; el 3 es f(9).
Marca todos los valores de x en los que la recta tangente a $y =$ $x^{3}$ tiene pendiente 12.
Marca todas las que apliquen.
La pendiente en x es f'(x) = 3x². La ecuación 3x² = 12 da x² = 4, es decir, x = 2 o x = −2: hay dos puntos con tangentes paralelas.
Para $f(x) =$ $x^{2} + 3x$, ¿cuánto vale f'(2)?
La derivada de una suma es la suma de las derivadas: f'(x) = 2x + 3, y f'(2) = 4 + 3 = 7. Por definición sale igual: el cociente se simplifica a 7 + h.
¿Cuál es la función derivada de la función constante $f(x) =$ $7$?
f(x + h) − f(x) = 7 − 7 = 0 para todo h, así que el cociente vale 0 y su límite también. Una constante no cambia: su razón de cambio es cero.
¿Verdadero o falso? La recta tangente a $y =$ $x^{2}$ en el punto de abscisa x = −3 tiene pendiente negativa.
f'(−3) = 2 · (−3) = −6, que es negativo: a la izquierda del vértice la parábola baja y su tangente también.
Para f(x) = x² se halló que f'(x) = 2x. ¿Qué es f'(3)?
f'(x) = 2x es la función derivada; f'(3) es su valor en x = 3, un número: 6. El 9 es f(3), y y = 6x − 9 es la recta cuya pendiente es ese número.
Reto
Completa la derivada por definición.
Toca cada hueco y elige la opción correcta.
Reto
Une cada función con su derivada.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Cierre
En resumen
La derivada de f en a es f'(a) = lím (f(a + h) − f(a))/h cuando h tiende a 0, si el límite existe; es un número.
Ese número es la pendiente de la tangente en (a; f(a)) y la razón de cambio instantánea de f en a.
Haciendo la cuenta con x en lugar de a se obtiene la función derivada f'(x); evaluarla da la derivada en cada punto.
Por definición, las derivadas de x², x³, 1/x y √x son 2x, 3x², −1/x² y 1/(2√x).
Una función puede existir en un punto y no ser derivable allí, como √x en x = 0, donde la tangente es vertical.
Vocabulario
- Derivada de f en a
El número f'(a) = lím (f(a + h) − f(a))/h cuando h tiende a 0, si ese límite existe. Es la pendiente de la recta tangente en (a; f(a)).
- Función derivada
La función f'(x) que a cada x le asigna la derivada de f en ese punto. Se halla con el mismo límite, dejando x como letra.
- Función derivable en un punto
Una función cuya derivada en ese punto existe: el límite del cociente incremental es un número real.
- Racionalizar
Multiplicar numerador y denominador por el conjugado de una expresión con raíces, para eliminar la resta de raíces.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Recuerde las tres cuentas de la lección anterior y pida que señalen qué tienen en común. Escriba la definición de f'(a) a partir de esa respuesta.
- Explicación · 25 min — La derivada en un punto y la función derivada; x² y x³ en el tablero; luego 1/x con denominador común y √x con racionalización. Insista en la diferencia entre f'(x), f'(3) y f(3).
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y comparación en parejas. Los huecos y el dominó pueden proyectarse.
- Cierre · 5 min — Complete con el grupo la tabla de derivadas y pregunte qué patrón ven en los exponentes.
Preguntas para el salón
- Si f'(x) = 2x, ¿qué información da f'(3) que no da f(3)?
- ¿Por qué la derivada de una función constante es cero? Explíquenlo con la gráfica.
- √x existe en x = 0. ¿Por qué decimos que no es derivable allí?
Errores típicos
- Confundir f'(a) con f(a). Pida que marquen en la gráfica de √x la altura del punto (4; 2) y la inclinación de la tangente, y que digan cuál es f(4) y cuál f'(4).
- Calcular el límite poniendo h = 0 antes de simplificar. Haga escribir el cociente con h = 0 para que vean el 0/0, y luego repitan después de simplificar.
- Desarrollar mal (x + h)² o (x + h)³, olvidando los términos del medio. Repase los productos notables con un número: (3 + 1)² frente a 3² + 1².
- Racionalizar solo el numerador o perder la h del denominador. Escriba el conjugado multiplicando arriba y abajo en un mismo renglón antes de simplificar.
Tarea sugerida
Hallar por definición la derivada de f(x) = x² − 6x y de g(x) = 2/x. Para cada una, calcular la pendiente de la tangente en x = 1 y en x = 3, y explicar con un dibujo qué indica su signo.