Velocidad y aceleración
Lo que vas a aprender
- Hallar la velocidad v(t) = s'(t) y la aceleración a(t) = v'(t) de un movimiento a partir de su posición, con sus unidades.
- Interpretar el signo de la velocidad y distinguirla de la rapidez.
- Resolver problemas de lanzamiento vertical y caída libre con la gravedad redondeada, y descartar las soluciones sin sentido, como los tiempos negativos.
- Explicar las unidades de cada coeficiente de una fórmula de posición.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En una competencia de clavados, en un tiro libre de baloncesto o en un cohete de agua hecho en el colegio, la pregunta es casi siempre la misma: ¿hasta dónde sube?, ¿cuánto se demora en caer?, ¿con qué velocidad llega al suelo? Si se conoce la fórmula de la altura en función del tiempo, la derivada, junto con esa fórmula, contesta las tres.
La derivada de la posición es la velocidad, y la derivada de la velocidad es la aceleración. Con esas dos ideas, y cuidando las unidades, puedes analizar cualquier movimiento en línea recta. También vas a aprender a desconfiar de una respuesta: una ecuación puede dar dos soluciones y solo una tener sentido.
Antes de empezar repasa cómo se halla una derivada por definición y cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización.
Explicación
Posición, velocidad y aceleración
Si $s(t)$ es la posición de un objeto sobre una recta a los $t$ segundos, su velocidad en cada instante es la razón de cambio instantánea de la posición:
$$v(t) = s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t + h) - s(t)}{h}.$$
La velocidad también cambia con el tiempo, y su razón de cambio instantánea es la aceleración:
$$a(t) = v'(t).$$
Como la aceleración es la derivada de la derivada, también se escribe $s''(t)$, la segunda derivada de la posición.
Las unidades salen de la propia definición. Un cociente incremental de la posición divide metros entre segundos, así que la velocidad queda en m/s. El de la velocidad divide m/s entre segundos, así que la aceleración queda en m/s²: cuántos metros por segundo gana o pierde la velocidad en cada segundo.
El signo importa. Si tomamos hacia arriba como sentido positivo, $v > 0$ quiere decir que el objeto sube y $v < 0$ que baja. La rapidez es $|v|$, que nunca es negativa. Y ojo con un error muy común: que la velocidad sea cero en un instante no quiere decir que la aceleración también lo sea.
La gravedad, redondeada
Cerca de la superficie de la Tierra, y sin contar el aire, un objeto lanzado verticalmente tiene una aceleración constante hacia abajo. En esta lección la tomamos redondeada a 10 m/s², y en un ejemplo la usamos redondeada a 9,8 m/s²: siempre conviene decir cuál se usa. Con aceleración constante $-g$, la altura tiene la forma
$$H(t) = H_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2,$$
donde $H_0$ es la altura inicial, en metros, y $v_0$ la velocidad inicial, en m/s. El coeficiente $-\tfrac{1}{2}g$ se mide en m/s²: multiplicado por $t^2$, en segundos al cuadrado, da metros, igual que los otros dos términos. Así cada sumando de la fórmula está en la misma unidad, como tiene que ser.
Ejemplo resuelto
La velocidad y la aceleración de una pelota
Desde una terraza a 25 m de altura se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Con la gravedad redondeada a 10 m/s², su altura a los $t$ segundos es $H(t) = 25 + 20t - 5t^2$ metros. Halla su velocidad y su aceleración.
Ver la solución paso a paso
La velocidad es la derivada de la altura. Escribimos el cociente incremental:
$$\frac{25 + 20 \cdot \left(t + h\right) - 5 \cdot \left(t + h\right)^{2} - \left(25 + 20t - 5t^{2}\right)}{h}$$
Al desarrollar $(t + h)^2$, se cancelan el 25, el $20t$ y el $-5t^2$:
$$\frac{20h - 10t h - 5h^{2}}{h}$$
Dividimos entre $h \neq 0$:
$$20 - 10t - 5h$$
El límite cuando $h \to 0$ es la velocidad, en m/s:
$$\lim_{h \to 0}\left(- 5 h - 10 t + 20\right) = 20 - 10t$$
Para la aceleración derivamos $v(t) = 20 - 10t$ de la misma manera. El cociente incremental es:
$$\frac{\left(20 - 10 \cdot \left(t + h\right)\right) - \left(20 - 10t\right)}{h}$$
Arriba se cancelan el 20 y el $-10t$, y queda $-10h$:
$$-\frac{10h}{h}$$
Para todo $h \neq 0$ el cociente vale $-10$, así que su límite también es este:
$$-10$$
Comprobamos con el instante inicial que la fórmula de la velocidad devuelve la velocidad del lanzamiento:
$$20 - 10 \cdot 0 = 20$$
Respuesta: v(t) = 20 − 10t m/s y a(t) = −10 m/s². La aceleración es la de la gravedad redondeada, con signo negativo porque apunta hacia abajo: la velocidad pierde 10 m/s en cada segundo.
Ejemplo resuelto
Altura máxima y llegada al suelo
Para la pelota del ejemplo anterior, con $H(t) = 25 + 20t - 5t^2$ y $v(t) = 20 - 10t$, halla la altura máxima y el instante y la velocidad con que llega al suelo.
Ver la solución paso a paso
En el punto más alto la pelota deja de subir y aún no baja: su velocidad es cero.
$$20 - 10t = 0$$
Despejamos:
$$t = 2$$
A los 2 s está en su punto más alto. Su altura, en metros, es:
$$25 + 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^{2} = 45$$
Llega al suelo cuando la altura es cero:
$$25 + 20t - 5t^{2} = 0$$
Dividimos entre $-5$:
$$t^{2} - 4t - 5 = 0$$
Factorizamos:
$$\left(t - 5\right)\left(t + 1\right) = 0$$
Las soluciones son $t = 5$ y $t = -1$. El tiempo se cuenta desde el lanzamiento, así que $t = -1$ no tiene sentido en esta situación y se descarta: la pelota llega al suelo a los 5 s. Su velocidad en ese instante, en m/s, es:
$$20 - 10 \cdot 5 = -30$$
Respuesta: La altura máxima es 45 m, a los 2 s. La pelota llega al suelo a los 5 s con velocidad −30 m/s: el signo dice que baja, y su rapidez es 30 m/s.
La pelota de los ejemplos, lanzada hacia arriba con 20 m/s desde la terraza de 25 m, con g = 10 m/s². Lánzala: sube hasta 45 m, donde la velocidad es cero, y llega al suelo a los 5 s con una rapidez de 30 m/s. Baja la velocidad inicial a 10 m/s: la altura máxima queda en 30 m.
La altura de la pelota, y = 25 + 20x − 5x², con x en segundos y y en metros. La tangente en (1; 40) tiene pendiente 10: a 1 s del lanzamiento la pelota sube a 10 m/s. En el punto más alto, (2; 45), la tangente es horizontal: la velocidad es cero. La curva llega al suelo en x = 5. Ojo: la gráfica es una parábola, pero el movimiento de la pelota es vertical; el eje horizontal es el tiempo.
Las respuestas tienen que tener sentido
Una fórmula como $H(t)$ describe el movimiento solo mientras dura: desde el lanzamiento, en $t = 0$, hasta que la pelota toca el suelo. Fuera de ese intervalo la parábola sigue dibujándose, pero ya no habla de la pelota. Por eso, cada vez que resuelvas una ecuación en un problema de movimiento, revisa tres cosas antes de responder:
- que el tiempo no sea negativo ni posterior al final del movimiento;
- que la unidad sea la que corresponde: metros para la altura, m/s para la velocidad, m/s² para la aceleración;
- que el signo cuente lo que pasa: una velocidad negativa al llegar al suelo está bien, porque la pelota baja.
Ejemplo resuelto
Una piedra que se deja caer
Desde lo alto de un puente, a 44,1 m sobre el agua, se deja caer una piedra. Con la gravedad redondeada a 9,8 m/s², su altura a los $t$ segundos es $H(t) = 44{,}1 - 4{,}9t^2$ metros. ¿Cuándo llega al agua y con qué velocidad?
Ver la solución paso a paso
Llega al agua cuando la altura es cero:
$$44{,}1 - 4{,}9t^{2} = 0$$
Despejamos $t^2$ dividiendo entre 4,9:
$$t^{2} = 9$$
Las soluciones son $t = 3$ y $t = -3$. Como el tiempo se mide desde que se suelta la piedra, descartamos $t = -3$: llega al agua a los 3 s. Ahora la velocidad, con el cociente incremental:
$$\frac{44{,}1 - 4{,}9 \cdot \left(t + h\right)^{2} - \left(44{,}1 - 4{,}9t^{2}\right)}{h}$$
Desarrollamos y cancelamos:
$$\frac{-9{,}8t h - 4{,}9h^{2}}{h}$$
Dividimos entre $h \neq 0$:
$$-9{,}8t - 4{,}9h$$
El límite es la velocidad, en m/s. El coeficiente $-4{,}9$ es la mitad de $-9{,}8$, y al derivar aparece la gravedad completa:
$$\lim_{h \to 0}\left(- 4{,}9 h - 9{,}8 t\right) = -9{,}8t$$
A los 3 s, la velocidad en m/s es:
$$-9{,}8 \cdot 3 = -29{,}4$$
Respuesta: La piedra llega al agua a los 3 s con velocidad −29,4 m/s, es decir, con rapidez 29,4 m/s hacia abajo.
Práctica
Un carrito avanza por una pista recta y su posición es $s(t) =$ $3t^{2} + 2t$ metros a los t segundos. ¿Cuál es su velocidad en t = 4 s, en m/s?
v(t) = s'(t) = 6t + 2, así que v(4) = 24 + 2 = 26 m/s. El 56 sería la posición s(4), en metros.
La posición de una hormiga sobre una regla se mide en centímetros y el tiempo en segundos. ¿En qué unidad queda su aceleración?
La velocidad divide centímetros entre segundos: cm/s. La aceleración divide esos cm/s otra vez entre segundos: cm/s por segundo, que se escribe cm/s².
Una pelota se lanza hacia arriba desde un balcón y su altura es $H(t) =$ $30 + 25t - 5t^{2}$ metros a los t segundos. ¿Cuál es su velocidad en t = 4 s, en m/s?
v(t) = 25 − 10t, así que v(4) = 25 − 40 = −15 m/s. Es negativa: a los 4 s la pelota ya baja. El 50 es la altura H(4), en metros, y el 15 olvida el signo.
Con la misma altura $H(t) =$ $30 + 25t - 5t^{2}$, ¿a los cuántos segundos llega la pelota a su punto más alto?
En el punto más alto la velocidad es cero: 25 − 10t = 0 da t = 2,5 s. El 6 es el instante en que llega al suelo.
Con la misma altura $H(t) =$ $30 + 25t - 5t^{2}$ metros, ¿cuál es la altura máxima que alcanza la pelota, en metros? Escribe el resultado exacto.
La velocidad se anula en t = 2,5 s. Allí H(2,5) = 30 + 62,5 − 31,25 = 61,25 m.
Con la misma altura $H(t) =$ $30 + 25t - 5t^{2}$, ¿en qué instante llega la pelota al suelo?
H(t) = 0 da t² − 5t − 6 = 0, es decir, (t − 6)(t + 1) = 0. La solución t = −1 es un tiempo anterior al lanzamiento y no tiene sentido; la pelota llega al suelo a los 6 s.
La pelota de $H(t) =$ $30 + 25t - 5t^{2}$ llega al suelo a los 6 s. ¿Cuál es su velocidad en ese instante, en m/s?
v(6) = 25 − 60 = −35 m/s. El signo negativo indica que baja; su rapidez es 35 m/s.
Para la pelota de $H(t) =$ $30 + 25t - 5t^{2}$, ¿verdadero o falso? En el punto más alto, como la pelota está quieta un instante, su aceleración es cero.
En el punto más alto la velocidad es cero, pero la aceleración sigue siendo −10 m/s² en todo el movimiento. Por eso la pelota no se queda arriba: su velocidad sigue cambiando y empieza a bajar.
Un robot se mueve sobre un riel y su posición es $s(t) =$ $t^{3} - 6t^{2} + 9t$ metros a los t segundos. Marca todos los instantes en los que está quieto.
Marca todas las que apliquen.
v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3), que se anula en t = 1 s y t = 3 s. En t = 0 la posición es cero, pero el robot se mueve a 9 m/s.
Para el mismo robot, con $s(t) =$ $t^{3} - 6t^{2} + 9t$ metros, ¿cuál es su aceleración en t = 3 s, en m/s²?
a(t) = v'(t) = 6t − 12, así que a(3) = 18 − 12 = 6 m/s². El 0 es la velocidad en ese instante: el robot está quieto, pero su velocidad está cambiando.
Se deja caer una pelota desde lo alto de una torre. Con la gravedad redondeada a 10 m/s², su altura es $H(t) =$ $80 - 5t^{2}$ metros a los t segundos. ¿A los cuántos segundos llega al suelo?
El −5 es la mitad de −10 m/s². H(t) = 0 da t² = 16, con soluciones 4 y −4; el tiempo negativo se descarta. Llega al suelo a los 4 s.
Reto
Abre el candado del movimiento.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Reto
¿La pelota sube o baja?
Cada ficha es la velocidad v(t) = 20 − 10t, en m/s, de la pelota del ejemplo en un instante. Llévala a «Sube» si en ese instante va hacia arriba, o a «Baja» si va hacia abajo.
Cierre
En resumen
La velocidad es la derivada de la posición, v(t) = s'(t), y la aceleración es la derivada de la velocidad, a(t) = v'(t) = s''(t).
Con la posición en metros y el tiempo en segundos, la velocidad se mide en m/s y la aceleración en m/s².
El signo de la velocidad indica el sentido del movimiento; la rapidez es su valor absoluto.
En el punto más alto de un lanzamiento vertical la velocidad es cero, pero la aceleración no.
Las soluciones de un problema se revisan: un tiempo negativo o fuera del movimiento se descarta.
Vocabulario
- Función posición
La función s(t) que da dónde está un objeto, con signo, en cada instante t.
- Velocidad
La derivada de la posición, v(t) = s'(t). Si la posición está en metros y el tiempo en segundos, se mide en m/s.
- Aceleración
La derivada de la velocidad, a(t) = v'(t). Se mide en m/s por segundo, que se escribe m/s².
- Caída libre
El movimiento vertical de un objeto sobre el que solo actúa la gravedad, si se desprecia el aire. Su aceleración es constante.
- Pertinencia de una solución
Que el resultado tenga sentido en la situación: un tiempo negativo o una altura bajo el suelo se descartan.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué datos hacen falta para saber hasta dónde sube un balón lanzado hacia arriba y cuánto tarda en caer.
- Explicación · 25 min — Velocidad y aceleración como derivadas, con sus unidades; la pelota lanzada desde la terraza con la gravedad redondeada a 10 m/s²; la figura con la tangente horizontal; la piedra del puente con 9,8 m/s². Insista en por qué se descarta t = −1.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El candado y las canastas pueden proyectarse.
- Cierre · 5 min — Pida que expliquen con sus palabras las unidades del coeficiente −5 en la fórmula de la altura.
Preguntas para el salón
- Si la velocidad de la pelota es cero en el punto más alto, ¿por qué no se queda allí?
- ¿Qué significa en la situación la solución t = −1? ¿Por qué no sirve como respuesta?
- La gráfica de la altura es una parábola. ¿Quiere decir eso que la pelota se mueve en parábola?
Errores típicos
- Creer que en el punto más alto la aceleración es cero. Calcule la velocidad medio segundo antes y medio segundo después del punto más alto: si cambió, hubo aceleración.
- Dar como respuesta las dos soluciones de la ecuación, incluido el tiempo negativo. Pregunte qué pasaba un segundo antes del lanzamiento y si la fórmula describe ese momento.
- Escribir la aceleración en m/s o la velocidad sin unidades. Exija escribir la unidad del cociente incremental en cada paso: metros entre segundos, m/s entre segundos.
- Confundir la velocidad negativa al caer con un error de cálculo. Recuerde que se eligió hacia arriba como positivo, y que la rapidez es el valor absoluto.
Tarea sugerida
Un balón se patea verticalmente hacia arriba desde el suelo a 15 m/s. Con la gravedad redondeada a 10 m/s², escribir su altura H(t), hallar la velocidad y la aceleración por definición, la altura máxima y el instante en que vuelve al suelo, explicando las unidades de cada resultado y qué soluciones se descartan.