La recta tangente
Lo que vas a aprender
- Escribir la ecuación de la recta tangente y = f(a) + f'(a)(x − a) a una curva en un punto.
- Escribir la ecuación de la recta normal usando que su pendiente es −1/f'(a).
- Hallar el punto de una curva donde la tangente tiene una pendiente dada.
- Aproximar valores de una función con la recta tangente y juzgar qué tan buena es la aproximación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si haces zoom sobre una curva suave alrededor de uno de sus puntos, llega un momento en que ya no se distingue de una recta. Esa recta es la tangente, y es la mejor aproximación sencilla que existe de la curva cerca de ese punto. Los ingenieros la usan para calcular de forma rápida, las calculadoras para estimar raíces y los diseñadores para empalmar dos tramos de una carretera sin que haya un quiebre brusco.
Ya sabes calcular la pendiente de la tangente: es la derivada. En esta lección vas a escribir la ecuación completa de esa recta, la de su perpendicular, la recta normal, y vas a usar la tangente para aproximar valores sin calculadora.
Antes de empezar recuerda la forma punto-pendiente de una recta, $y = y_1 + m(x - x_1)$, y que dos rectas no verticales son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es $-1$.
Explicación
La ecuación de la recta tangente
La recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de abscisa $a$ pasa por el punto $(a;\ f(a))$ y tiene pendiente $f'(a)$. Con la forma punto-pendiente:
$$y = f(a) + f'(a)(x - a).$$
Para escribirla hacen falta solo dos números: la altura del punto, $f(a)$, y la pendiente, $f'(a)$. Un error muy frecuente es usar la función derivada completa $f'(x)$ como si fuera la pendiente: el resultado ya no es una recta. Primero se evalúa la derivada en $a$, y con ese número se escribe la ecuación.
Una buena costumbre es comprobar al final que la recta pasa por el punto de tangencia: con $x = a$ tiene que dar $y = f(a)$.
Ejemplo resuelto
La tangente a y = x³ en x = 2
Escribe la ecuación de la recta tangente a $f(x) = x^3$ en el punto de abscisa $x = 2$.
Ver la solución paso a paso
La altura del punto de tangencia es:
$$2^{3} = 8$$
La derivada de $x^3$ es $3x^2$, así que la pendiente en $x = 2$ es:
$$3 \cdot 2^{2} = 12$$
Con la forma punto-pendiente, con el punto $(2;\ 8)$ y $m = 12$:
$$8 + 12 \cdot \left(x - 2\right)$$
Simplificamos:
$$12x - 16$$
Comprobamos que pasa por el punto de tangencia:
$$12 \cdot 2 - 16 = 8$$
Respuesta: La recta tangente es y = 12x − 16.
La curva y = x³ y su recta tangente y = 12x − 16 en el punto (2; 8). Cerca del punto la recta y la curva casi se confunden; lejos, se separan.
La recta normal
La recta normal a la curva en $(a;\ f(a))$ pasa por el mismo punto, pero es perpendicular a la tangente. Si $f'(a) \neq 0$, su pendiente es el opuesto del inverso de la pendiente de la tangente:
$$y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a).$$
Si $f'(a) = 0$ la tangente es horizontal, $y = f(a)$, y la normal es la recta vertical $x = a$, que no tiene pendiente.
Ejemplo resuelto
Tangente y normal a la hipérbola
Escribe las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en el punto de abscisa $x = 2$.
Ver la solución paso a paso
La altura del punto es $f(2) = \tfrac{1}{2}$. La derivada de $\tfrac{1}{x}$ es $-\tfrac{1}{x^2}$, así que la pendiente de la tangente es:
$$-\frac{1}{2^{2}} = -\frac{1}{4}$$
La tangente, con el punto $(2;\ \tfrac{1}{2})$:
$$\frac{1}{2} - \frac{\left(x - 2\right)}{4}$$
Simplificada:
$$1 - \frac{x}{4}$$
La pendiente de la normal es el opuesto del inverso de $-\tfrac{1}{4}$:
$$-1 \div \left(-\frac{1}{4}\right) = 4$$
Comprobamos que las dos rectas son perpendiculares: el producto de sus pendientes es $-1$.
$$\left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 4 = -1$$
La normal, por el mismo punto y con pendiente 4:
$$\frac{1}{2} + 4 \cdot \left(x - 2\right)$$
Simplificada:
$$4x - \frac{15}{2}$$
Respuesta: La tangente es y = 1 − x/4 y la normal es y = 4x − 15/2.
La hipérbola y = 1/x, su recta tangente y = 1 − x/4 y su recta normal y = 4x − 15/2 en el punto (2; 1/2). La tangente baja suavemente, como la curva; la normal es perpendicular a ella.
El camino de vuelta: ¿dónde tiene la tangente cierta pendiente?
A veces se conoce la pendiente y se busca el punto. Como $f'(x)$ da la pendiente de la tangente en cada $x$, basta resolver la ecuación $f'(x) = m$. Por ejemplo, para que la tangente sea paralela a una recta dada, se iguala $f'(x)$ a la pendiente de esa recta; y para que sea horizontal, se iguala a cero.
Ejemplo resuelto
Una tangente paralela a una recta dada
Halla el punto de la parábola $f(x) = x^2$ en el que la recta tangente es paralela a la recta $y = 4x + 1$, y escribe la ecuación de esa tangente.
Ver la solución paso a paso
Rectas paralelas tienen la misma pendiente. La pendiente de la tangente es $f'(x) = 2x$ y la de la recta dada es 4:
$$2x = 4$$
Despejamos:
$$x = 2$$
El punto de tangencia tiene altura $f(2)$:
$$2^{2} = 4$$
La tangente pasa por $(2;\ 4)$ con pendiente 4:
$$4 + 4 \cdot \left(x - 2\right)$$
Simplificada:
$$4x - 4$$
Respuesta: El punto es (2; 4) y la tangente es y = 4x − 4, paralela a y = 4x + 1.
Aproximar con la tangente
Cerca del punto de tangencia, la recta y la curva casi coinciden. Por eso, para $x$ cercano a $a$,
$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).$$
Esta aproximación lineal convierte una cuenta difícil en una suma y un producto. Su precisión depende de qué tan cerca esté $x$ de $a$: mientras más lejos, más se separan la recta y la curva y mayor es el error. También conviene saber si la tangente queda por encima o por debajo de la curva, para saber si la estimación se pasa o se queda corta.
Para elegir el punto $a$ se buscan dos cosas a la vez: que esté cerca del valor que se quiere estimar y que en él la función y su derivada sean fáciles de calcular. Para una raíz cuadrada, el mejor $a$ suele ser el cuadrado perfecto más cercano. Si en lugar de eso se usa un punto lejano, la cuenta sigue siendo fácil, pero el resultado puede quedar tan lejos del valor real que ya no sirve. Por eso una estimación con la tangente siempre se acompaña de una idea de su error: no basta con dar el número, hay que saber cuánto confiar en él.
Ejemplo resuelto
Estimar √9,6 sin calculadora
Usa la recta tangente a $f(x) = \sqrt{x}$ en $x = 9$ para estimar $\sqrt{9{,}6}$, y compara con el valor real.
Ver la solución paso a paso
Elegimos $a = 9$ porque es un cuadrado perfecto cercano a 9,6: $f(9) = 3$. La derivada de $\sqrt{x}$ es $\tfrac{1}{2\sqrt{x}}$, así que la pendiente es:
$$\frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6}$$
Evaluamos la tangente en $x = 9{,}6$:
$$3 + \frac{\left(9{,}6 - 9\right)}{6}$$
Como $0{,}6 \div 6 = 0{,}1$:
$$3{,}1$$
El valor real está entre 3,098 y 3,099, así que el error de la estimación es menor que dos milésimas:
$$3{,}098 < \sqrt{9{,}6} < 3{,}099$$
La estimación se pasa un poco, porque la curva de $\sqrt{x}$ se dobla hacia abajo y queda por debajo de su tangente.
Respuesta: La tangente da √9,6 ≈ 3,1; el valor real es un poco menor, entre 3,098 y 3,099.
Práctica
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a $y =$ $x^{2}$ en el punto de abscisa x = 3?
El punto es (3; 9) y la pendiente f'(3) = 6: y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9. La recta 9x − 18 usa la altura 9 como pendiente.
La recta tangente a $y =$ $x^{3}$ en el punto de abscisa x = 1, ¿en qué valor corta el eje y?
El punto es (1; 1) y la pendiente f'(1) = 3: y = 1 + 3(x − 1) = 3x − 2. Con x = 0 queda y = −2.
¿Cuál es la pendiente de la recta normal a $y =$ $x^{2}$ en el punto de abscisa x = 1?
La tangente tiene pendiente f'(1) = 2, así que la normal tiene pendiente −1/2. El 1/2 olvida el signo y el −2 olvida invertir.
¿Cuál es la ecuación de la recta normal a $y =$ $\sqrt{x}$ en el punto de abscisa x = 4?
f(4) = 2 y f'(4) = 1/4, así que la normal tiene pendiente −4: y = 2 − 4(x − 4) = −4x + 18. La recta x/4 + 1 es la tangente, no la normal.
Usa la recta tangente a $y =$ $\sqrt{x}$ en x = 4 para estimar el valor de la función en x = 4,2. Escribe el resultado exacto de la estimación.
f(4) = 2 y f'(4) = 1/4: la tangente da 2 + (1/4) · 0,2 = 2 + 0,05 = 2,05.
Para $y =$ $\sqrt{x}$, ¿verdadero o falso? La estimación que da la tangente en x = 4 para el valor en x = 4,2 es mayor que el valor real.
La raíz de 4,2 es un poco menor que 2,05 (está entre 2,049 y 2,05). La tangente de √x queda por encima de la curva, así que la estimación se pasa.
¿En qué valor de x la recta tangente a $y =$ $x^{2}$ es paralela a la recta y = 8x + 3?
La tangente tiene pendiente 2x y la recta dada tiene pendiente 8: 2x = 8 da x = 4, en el punto (4; 16). El 3 de la recta no importa: solo cuenta la pendiente.
La parábola $y =$ $x^{2} - 6x + 5$ tiene una tangente horizontal. ¿Cuál es la ordenada del punto de tangencia?
La derivada es 2x − 6, que vale cero en x = 3. El punto es (3; −4), el vértice, y la tangente horizontal es y = −4.
La recta tangente a y = x³ en el punto (2; 8) es y = 12x − 16. Marca todos los valores de x en los que esa recta y la curva se encuentran.
Marca todas las que apliquen.
x³ − 12x + 16 = (x − 2)²(x + 4), que se anula en x = 2 y en x = −4. La tangente toca la curva en el punto de tangencia y la vuelve a cortar más lejos: tangente no quiere decir que toque en un solo punto.
En un punto de una curva la derivada vale cero. ¿Cómo es la recta normal en ese punto?
Si f'(a) = 0 la tangente es horizontal, y la perpendicular a una recta horizontal es vertical. La fórmula −1/f'(a) no sirve, pero la normal sí existe: es x = a.
Reto
Completa la tangente y la normal.
Toca cada hueco y elige la opción correcta.
Reto
Une cada tangente escrita como punto-pendiente con su forma simplificada.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Cierre
En resumen
La recta tangente a y = f(x) en el punto de abscisa a es y = f(a) + f'(a)(x − a): necesita la altura f(a) y la pendiente f'(a).
Si f'(a) ≠ 0, la recta normal tiene pendiente −1/f'(a); si f'(a) = 0, la normal es la recta vertical x = a.
Para hallar dónde la tangente tiene pendiente m se resuelve f'(x) = m; paralela a una recta quiere decir la misma pendiente.
Cerca de a, f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a); la aproximación empeora a medida que x se aleja de a.
Una tangente puede volver a cortar la curva lejos del punto de tangencia.
Vocabulario
- Recta tangente
La recta que pasa por (a; f(a)) con pendiente f'(a): y = f(a) + f'(a)(x − a).
- Recta normal
La recta que pasa por (a; f(a)) y es perpendicular a la tangente. Si f'(a) ≠ 0, su pendiente es −1/f'(a).
- Aproximación lineal
Usar el valor de la recta tangente en lugar del de la función, para x cerca de a: f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a).
- Punto de tangencia
El punto (a; f(a)) en el que la recta tangente toca la curva.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte una curva y haga zoom alrededor de un punto hasta que parezca una recta. Pregunte qué recta es.
- Explicación · 25 min — La ecuación de la tangente con x³; la normal a 1/x y la comprobación de perpendicularidad; la tangente paralela a una recta dada; la estimación de √9,6.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Los huecos y el dominó pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Pida a cada estudiante estimar √16,8 con la tangente en x = 16 y decir si la estimación se pasa o se queda corta.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se puede usar f'(x) completa como pendiente en la ecuación de la tangente?
- ¿Toda recta tangente toca la curva en un solo punto? Busquen un contraejemplo en la lección.
- ¿Por qué para estimar √9,6 conviene usar la tangente en x = 9 y no en x = 4?
Errores típicos
- Escribir la tangente con la función derivada f'(x) en lugar del número f'(a). Pida graficar el resultado: si no sale una recta, la pendiente quedó con x.
- Usar f(a) como pendiente o f'(a) como altura. Exija escribir aparte el punto (a; f(a)) y la pendiente m = f'(a) antes de armar la ecuación.
- Tomar como pendiente de la normal 1/f'(a) o −f'(a). Pida comprobar que el producto de las dos pendientes da −1.
- Aproximar con la tangente en un punto lejano. Compare en la figura de x³ la distancia entre la recta y la curva cerca y lejos de (2; 8).
Tarea sugerida
Escribir la tangente y la normal a f(x) = x² − 2x en x = 3, comprobar que son perpendiculares y graficar las tres. Luego estimar √25,5 con la tangente a √x en x = 25 y decir si la estimación se pasa o se queda corta.