Derivadas de potencias y sumas

¿Para qué sirve esto?

En la unidad anterior calculaste derivadas con la definición: escribir el cociente $\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$, desarrollar, simplificar y tomar el límite cuando $h$ se acerca a cero. Funciona siempre, pero para una función como $4x^5 - 3x^2 + 7x$ es una hoja entera de álgebra, y cada paso es una oportunidad de equivocarse.

Las reglas de derivación hacen ese trabajo de una vez. Quien ya demostró que la derivada de $x^2$ es $2x$ y la de $x^3$ es $3x^2$ no tiene que repetir el límite cada vez: puede usar el patrón. Con cuatro reglas cortas derivarás cualquier polinomio, y también funciones con raíces y con potencias en el denominador, en una o dos líneas. Eso te deja tiempo para lo que importa: leer qué dice la derivada sobre la función, dónde sube, dónde baja y qué tan rápido cambia.

Antes de empezar necesitas recordar que $f'(a)$ es la pendiente de la tangente en $x = a$, y las leyes de los exponentes: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$.

La derivada de una constante

Si $f(x) = c$, con $c$ un número fijo, la gráfica es una recta horizontal. Su pendiente es cero en todos los puntos, así que

$$\frac{d}{dx}(c) = 0.$$

Con la definición se ve igual: $f(x + h) - f(x) = c - c = 0$, y el cociente vale cero para todo $h$. Una cantidad que no cambia tiene razón de cambio nula.

La regla de la potencia

En la unidad anterior obtuviste, con límites, que la derivada de $x^2$ es $2x$, la de $x^3$ es $3x^2$, la de $\dfrac{1}{x}$ es $-\dfrac{1}{x^2}$ y la de $\sqrt{x}$ es $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Las cuatro siguen el mismo patrón:

$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n\,x^{n-1}.$$

Se lee así: el exponente baja a multiplicar y el nuevo exponente es uno menos. La regla vale para todo exponente racional $n$: natural, negativo o fraccionario. La aceptamos sin demostrarla en general, pero cada caso que calculaste por definición la confirma. Por ejemplo, $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$, y la regla da $-1\cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$, lo mismo que el límite.

Dos detalles que causan muchos errores. Primero, al restar uno a un exponente negativo el número se aleja de cero: de $x^{-2}$ se pasa a $x^{-3}$, no a $x^{-1}$. Segundo, con exponentes fraccionarios hay que hacer la resta de fracciones con cuidado: $\tfrac{1}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2}$ y $\tfrac{2}{3} - 1 = -\tfrac{1}{3}$.

Múltiplo constante y suma

Un número que multiplica a la función se queda quieto mientras se deriva:

$$\frac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x).$$

Si una función crece a cierto ritmo, su triple crece al triple de ese ritmo. Y la derivada de una suma (o de una resta) es la suma (o la resta) de las derivadas:

$$\frac{d}{dx}\big(f(x) \pm g(x)\big) = f'(x) \pm g'(x).$$

Con estas cuatro reglas se deriva cualquier polinomio término a término: cada término $a\,x^n$ se convierte en $a\,n\,x^{n-1}$, los términos en $x$ se convierten en su coeficiente y los números sueltos desaparecen.

Reescribir antes de derivar

La regla de la potencia solo sabe derivar $x^n$. Por eso, antes de derivar una raíz o una potencia en el denominador, se escribe como potencia de $x$:

$$\sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}, \qquad \frac{5}{x^3} = 5x^{-3}.$$

Es un error frecuente derivar el denominador por separado y escribir que la derivada de $\dfrac{5}{x^3}$ es $\dfrac{5}{3x^2}$. Eso no es ninguna regla. El camino correcto es $5x^{-3}$, cuya derivada es $-15x^{-4} = -\dfrac{15}{x^4}$. Al terminar conviene volver a escribir el resultado con raíces y fracciones, que es como se lee mejor.

Ten presente el dominio. $\sqrt{x}$ solo existe para $x \ge 0$, y su derivada $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ solo para $x > 0$: en $x = 0$ la tangente es vertical y no tiene pendiente.

Lo que dice la derivada de la función

La derivada es otra función, y su signo cuenta cómo se mueve la original. Donde $f'(x) > 0$ las tangentes suben y la función crece; donde $f'(x) < 0$, la función decrece; donde $f'(x) = 0$, la tangente es horizontal. En la figura de abajo, $f(x) = x^3 - 3x$ cambia de dirección justo donde su derivada $3x^2 - 3$ corta el eje $x$: en $x = -1$ deja de subir y empieza a bajar, y en $x = 1$ deja de bajar y empieza a subir.

En resumen

• La derivada de una constante es cero: su gráfica es una recta horizontal.

• Regla de la potencia: la derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹, para todo exponente racional n.

• Un factor constante se conserva al derivar, y la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

• Raíces y potencias en el denominador se reescriben como xⁿ antes de derivar: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³.

• El valor f′(a) es la pendiente de la tangente en x = a, y el signo de f′ dice si la función sube o baja.

Vocabulario

Regla de la potencia

La derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹, para cualquier exponente racional n.

Múltiplo constante

Una función multiplicada por un número fijo, como 5x³. Su derivada es ese número por la derivada de la función.

Función derivada

La función f′ que a cada x le asigna la pendiente de la tangente a la gráfica de f en ese punto.

Polinomio

Suma de términos de la forma a·xⁿ con n natural, como 4x⁵ − 3x² + 7x − 9.