Derivadas del producto y del cociente
Lo que vas a aprender
- Derivar productos de funciones con la regla del producto, sin multiplicar las derivadas.
- Derivar cocientes con la regla del cociente, respetando el orden del numerador.
- Decidir cuándo conviene simplificar una expresión antes de derivarla.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Muchas cantidades son el producto o el cociente de otras dos. El ingreso de una tienda es el precio por la cantidad vendida; el área de un rectángulo que se deforma es el largo por el ancho; el costo promedio de producir es el costo total dividido entre las unidades. Si las dos cantidades cambian a la vez, ¿cómo cambia el resultado?
Con lo que sabes, podrías multiplicar o dividir primero y derivar después, pero muchas veces esa cuenta es larga o imposible de simplificar. Las reglas del producto y del cociente derivan directamente, sin desarrollar. Y traen una advertencia que conviene aprender desde el primer día: la derivada de un producto no es el producto de las derivadas.
Antes de empezar necesitas la regla de la potencia, la derivada de una suma y saber simplificar fracciones algebraicas.
Explicación
El error que hay que evitar
La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Es natural sospechar que con el producto pasa lo mismo. Un contraejemplo lo descarta: $x \cdot x = x^2$, cuya derivada es $2x$. Pero si derivamos cada factor, $x$ da $1$ y $1 \cdot 1 = 1$, que no es $2x$. Basta un caso en que falle para que la «regla» sea falsa.
La regla del producto
Piensa en un rectángulo de lados $f$ y $g$ que van creciendo. Cuando $x$ aumenta un poco, el largo crece un poco y el ancho también. El área nueva está formada por dos tiras delgadas, una a lo largo de cada lado, más un cuadradito en la esquina tan pequeño que desaparece en el límite. Una tira mide «lo que creció $f$» por $g$; la otra, $f$ por «lo que creció $g$». Por eso:
$$\big(f \cdot g\big)' = f' \cdot g + f \cdot g'.$$
En palabras: la derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Son dos términos, y en cada uno se deriva un solo factor. Como la suma es conmutativa, el orden de los dos términos no importa.
La regla del cociente
Para un cociente $\dfrac{f}{g}$, en los puntos donde $g(x) \neq 0$:
$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}.$$
Aquí el orden sí importa, porque hay una resta. Una manera de recordarlo es «la derivada de arriba por la de abajo sin derivar, menos la de arriba sin derivar por la derivada de la de abajo, todo sobre la de abajo al cuadrado». Si inviertes el orden de la resta, obtienes el resultado con el signo contrario. Y tampoco hay un atajo con las derivadas por separado: la derivada de $\dfrac{f}{g}$ no es $\dfrac{f'}{g'}$.
El denominador de la derivada es $g^2$, que conviene dejar factorizado. Lo que sí se simplifica es el numerador: allí se multiplican los paréntesis y se reducen términos semejantes, como en el segundo ejemplo de abajo.
¿Simplificar antes o derivar de una vez?
Las reglas siempre funcionan, pero no siempre son el camino más corto. Antes de derivar, mira la expresión:
- Si un producto se puede multiplicar fácilmente, como $x^2 \cdot x^5 = x^7$, multiplica y usa la regla de la potencia.
- Si un cociente tiene un monomio en el denominador, divide cada término: $\dfrac{x^3 - 4x}{x} = x^2 - 4$ para $x \neq 0$. La derivada es $2x$, sin regla del cociente.
- Si el numerador es un número, escribe una potencia negativa: $\dfrac{5}{x^2} = 5x^{-2}$.
- Si el denominador es una suma, como $x^2 + 1$, no se puede repartir: ahí la regla del cociente es la herramienta.
Hay una prueba sencilla de que no te equivocaste: deriva por los dos caminos y compara. El tercer ejemplo lo hace.
Leer la derivada
Igual que con los polinomios, el valor de la derivada en un punto es la pendiente de la tangente. Donde la derivada de un cociente vale cero, la gráfica tiene tangente horizontal; y en los valores que anulan el denominador, ni la función ni su derivada existen.
Ejemplo resuelto
La regla del producto con dos polinomios
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\left(x^{2} + 1\right)\left(3x - 2\right)\right)$ con la regla del producto y comprueba multiplicando primero.
Ver la solución paso a paso
Los factores son $f = x^2 + 1$ y $g = 3x - 2$, con $f' = 2x$ y $g' = 3$.
$$\frac{d}{dx}\left(\left(x^{2} + 1\right)\left(3x - 2\right)\right)$$
Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo:
$$2x\left(3x - 2\right) + \left(x^{2} + 1\right) \cdot 3$$
Distribuimos cada término.
$$6x^{2} - 4x + 3x^{2} + 3$$
Reducimos términos semejantes.
$$9x^{2} - 4x + 3$$
Comprobación. Multiplicamos primero: $(x^2 + 1)(3x - 2) = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$.
$$\frac{d}{dx}\left(3x^{3} - 2x^{2} + 3x - 2\right)$$
Derivando término a término sale lo mismo. Fíjate que el producto de las derivadas, $2x \cdot 3 = 6x$, no se parece en nada.
$$9x^{2} - 4x + 3$$
Respuesta: $9x^{2} - 4x + 3$
Ejemplo resuelto
La regla del cociente
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 1}{x - 3}\right)$.
Ver la solución paso a paso
Arriba está $f = 2x + 1$, con $f' = 2$; abajo, $g = x - 3$, con $g' = 1$. La función existe para $x \neq 3$.
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 1}{x - 3}\right)$$
Derivada de arriba por la de abajo, menos la de arriba por la derivada de la de abajo, sobre la de abajo al cuadrado:
$$\frac{2 \cdot \left(x - 3\right) - \left(2x + 1\right) \cdot 1}{\left(x - 3\right)^{2}}$$
Distribuimos en el numerador. El signo menos afecta a los dos términos de $2x + 1$.
$$\frac{2x - 6 - 2x - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}$$
Los términos en $x$ se cancelan. Como el cuadrado del denominador es positivo, la derivada es negativa para todo $x \neq 3$: la función decrece a cada lado de $x = 3$, donde no está definida.
$$-\frac{7}{\left(x - 3\right)^{2}}$$
Respuesta: $-\frac{7}{\left(x - 3\right)^{2}}$
Ejemplo resuelto
Simplificar antes de derivar
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3} - 4x}{x}\right)$ para $x \neq 0$ de dos maneras.
Ver la solución paso a paso
Como el denominador es un monomio, dividimos cada término entre $x$.
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3} - 4x}{x}\right)$$
La función es $x^2 - 4$ (para $x \neq 0$), y su derivada sale de inmediato:
$$\frac{d}{dx}\left(x^{2} - 4\right)$$
Un renglón.
$$2x$$
Ahora con la regla del cociente, sin simplificar:
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3} - 4x}{x}\right)$$
Con $f = x^3 - 4x$, $f' = 3x^2 - 4$, $g = x$ y $g' = 1$:
$$\frac{\left(3x^{2} - 4\right)x - \left(x^{3} - 4x\right) \cdot 1}{x^{2}}$$
Distribuimos en el numerador.
$$\frac{3x^{3} - 4x - x^{3} + 4x}{x^{2}}$$
Reducimos.
$$\frac{2x^{3}}{x^{2}}$$
Y simplificamos. El mismo resultado, en cuatro pasos en vez de dos: simplificar primero era el camino corto.
$$2x$$
Respuesta: $2x$
Práctica
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\left(x^{2} + 3\right)\left(2x - 1\right)$?
Regla del producto: 2x(2x − 1) + (x² + 3)·2 = 4x² − 2x + 2x² + 6 = 6x² − 2x + 6. 4x es el producto de las derivadas, y 2x(2x − 1) es solo el primer término.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\frac{x + 2}{x - 1}$, para x distinto de 1?
(1·(x − 1) − (x + 2)·1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)². Si se invierte el orden de la resta sale +3; si se dividen las derivadas sale 1; y el denominador va al cuadrado.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\frac{1}{x^{2} + 4}$?
Con el cociente: el numerador 1 tiene derivada 0, así que queda (0·(x² + 4) − 1·2x)/(x² + 4)² = −2x/(x² + 4)². Invertir la derivada del denominador, 1/(2x), no es ninguna regla.
Si $f(x) =$ $\left(x^{2} + 1\right)\left(x^{3} - 2\right)$, ¿cuánto vale f′(1)?
f′(x) = 2x(x³ − 2) + (x² + 1)·3x². En x = 1: 2·(−1) + 2·3 = −2 + 6 = 4.
Si $f(x) =$ $\frac{3x}{x + 2}$, ¿cuál es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en x = 0? Escríbela como decimal.
f′(x) = (3(x + 2) − 3x·1)/(x + 2)² = 6/(x + 2)². En x = 0: 6/4 = 1,5.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\frac{6x^{5} - 2x^{3}}{2x^{2}}$, para x distinto de 0? Conviene simplificar primero.
Dividiendo cada término entre 2x² queda 3x³ − x, cuya derivada es 9x² − 1. Dividir la derivada de arriba entre la de abajo da (30x⁴ − 6x²)/(4x), que es otra función.
¿En qué valores de x es horizontal la recta tangente a $y =$ $\frac{x}{x^{2} + 9}$?
La derivada es (1·(x² + 9) − x·2x)/(x² + 9)² = (9 − x²)/(x² + 9)². Se anula donde 9 − x² = 0: en x = −3 y en x = 3.
¿Verdadero o falso? $\frac{d}{dx}\left(x^{3} \cdot \left(x^{2} + 1\right)\right) = 3x^{2} \cdot 2x$
Eso es el producto de las derivadas. La regla del producto da 3x²(x² + 1) + x³·2x = 5x⁴ + 3x².
¿Verdadero o falso? Para x distinto de 0, $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4} + x^{2}}{x^{2}}\right) = 2x$
Para x ≠ 0, (x⁴ + x²)/x² = x² + 1, cuya derivada es 2x. Simplificar primero evita la regla del cociente.
Hay que derivar y = (x² + 5x)/(x² + 1). ¿Qué conviene hacer?
Una fracción solo se reparte cuando el denominador es un solo término. Con x² + 1 abajo no hay simplificación posible, y cancelar sumandos no está permitido.
Reto
Une cada derivada con su resultado.
Toca una derivada por calcular y luego su resultado. Ojo: ninguna sale de multiplicar o dividir derivadas.
Reto
Abre el candado de las pendientes.
Cada respuesta es la pendiente de una tangente, y es una cifra del código.
Cierre
En resumen
La derivada de un producto no es el producto de las derivadas: x·x = x² tiene derivada 2x, no 1.
Regla del producto: (f·g)′ = f′·g + f·g′.
Regla del cociente: (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g², donde g ≠ 0; el orden de la resta importa.
Si el producto se multiplica fácil o el denominador es un monomio, conviene simplificar antes de derivar.
Derivar por dos caminos y comparar es una buena manera de revisar el resultado.
Vocabulario
- Regla del producto
(f·g)′ = f′·g + f·g′: la derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo.
- Regla del cociente
(f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g², para los x en que g(x) ≠ 0.
- Contraejemplo
Un caso concreto que muestra que una afirmación general es falsa.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que propongan la derivada de x·x «derivando cada factor» y que la comparen con la derivada de x². El desacuerdo abre la clase.
- Explicación · 20 min — Dibuje el rectángulo de lados f y g con las dos tiras nuevas para motivar la regla del producto. Luego el cociente y los tres ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas, con una persona que deriva y otra que comprueba por otro camino.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un producto y lo deriva por los dos caminos: con la regla y multiplicando primero.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en la regla del producto el orden de los dos términos no importa, y en la del cociente sí?
- ¿Qué pasa con la regla del producto si uno de los factores es una constante? ¿Coincide con la regla del múltiplo constante?
- ¿En qué valores de x no existe la derivada de (2x + 1)/(x − 3)? ¿Por qué?
Errores típicos
- Derivar un producto multiplicando las derivadas. Vuelva al contraejemplo x·x y pida que lo comprueben con números, por ejemplo en x = 3.
- Invertir el orden de la resta en la regla del cociente. Pida que deriven x/1 con su versión de la regla: si no da 1, el orden está invertido.
- Olvidar que el signo menos afecta a todo el producto f·g′. Exija escribir f·g′ entre paréntesis antes de distribuir.
- Repartir una fracción cuyo denominador es una suma. Compare con números: (2 + 3)/(1 + 1) no es 2/1 + 3/1.
Tarea sugerida
Derivar (x³ − 1)(x + 4) por los dos caminos, (x − 5)/(x + 2), 3/(x² + 1) y (x⁴ − 2x)/x; hallar la pendiente de la tangente a y = x/(x + 1) en x = 1.