La regla de la cadena
Lo que vas a aprender
- Reconocer en una función la función de afuera y la de adentro.
- Derivar potencias de la forma (ax + b)ⁿ y [g(x)]ⁿ, y raíces √(g(x)), con la regla de la cadena.
- Combinar la regla de la cadena con las reglas del producto y del cociente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina tres engranajes en fila: el A mueve al B y el B mueve al C. Cada vuelta de A hace girar varias veces a B, y cada vuelta de B hace girar varias veces a C. Si quieres saber cuántas vueltas da C por cada vuelta de A, multiplicas las dos razones: la de A a B y la de B a C. Cuando una cantidad depende de otra que a su vez depende de una tercera, las razones de cambio se multiplican.
En matemáticas eso pasa con las funciones compuestas. $(3x - 5)^4$ es «elevar a la cuarta» aplicado a «$3x - 5$»; $\sqrt{x^2 + 9}$ es «sacar raíz» aplicado a «$x^2 + 9$». Podrías desarrollar la potencia, pero $(3x - 5)^4$ tiene cinco términos y una raíz no se desarrolla. La regla de la cadena deriva estas funciones sin abrirlas.
Antes de empezar necesitas la regla de la potencia, las reglas del producto y del cociente, y saber qué es la composición $f(g(x))$.
Explicación
Afuera y adentro
En una composición $f(g(x))$ hay dos funciones: la de adentro, $g$, que se aplica primero a $x$, y la de afuera, $f$, que se aplica al resultado. Para encontrarlas, pregúntate qué harías último si calcularas con una calculadora. En $(3x - 5)^4$ primero calculas $3x - 5$ y al final elevas a la cuarta: la de adentro es $u = 3x - 5$ y la de afuera es $u^4$. En $\sqrt{x^2 + 9}$ la de adentro es $u = x^2 + 9$ y la de afuera es $\sqrt{u}$.
La regla
Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces
$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
En palabras: la derivada de la de afuera, evaluada en la de adentro sin tocarla, por la derivada de la de adentro. Con la notación de Leibniz se parece al ejemplo de los engranajes:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$
Si $y$ cambia 3 veces más rápido que $u$, y $u$ cambia 2 veces más rápido que $x$, entonces $y$ cambia 6 veces más rápido que $x$.
Potencias de una función
El caso más frecuente es una potencia de algo que no es solo $x$. La regla de la potencia y la de la cadena juntas dan
$$\frac{d}{dx}\big(g(x)\big)^n = n\,\big(g(x)\big)^{n-1} \cdot g'(x).$$
Cuando la de adentro es lineal, $g(x) = ax + b$, su derivada es el número $a$:
$$\frac{d}{dx}(ax + b)^n = n\,a\,(ax + b)^{n-1}.$$
El paréntesis se copia tal cual, con el exponente rebajado en uno; no se deriva por dentro. La derivada de lo de adentro aparece aparte, multiplicando.
Raíces de una función
Como $\sqrt{u} = u^{1/2}$, su derivada es $\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$. Con la cadena:
$$\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.$$
La fórmula vale donde $g(x) > 0$. Donde $g(x) = 0$ el denominador se anula y la fórmula no sirve; si además $g'(x) \neq 0$, la tangente es vertical. Donde $g(x) < 0$ la raíz ni siquiera existe en los reales.
El error más común
Olvidar la derivada de adentro. Quien deriva $(2x + 1)^2$ como $2(2x + 1)$ está tratando a $2x + 1$ como si fuera $x$. El primer ejemplo lo desmiente desarrollando el cuadrado: falta un factor 2, justo la derivada de $2x + 1$. La señal de alarma es sencilla: si la de adentro no es $x$ sola, en la respuesta tiene que aparecer su derivada.
El error contrario también ocurre: derivar el paréntesis por dentro y dejar el exponente igual. En $(x^2 + 1)^3$ eso daría $(2x)^3$, que no tiene nada que ver con la derivada.
Con producto y cociente
La regla de la cadena se usa dentro de las otras. En $x\,(2x + 1)^3$ manda el producto, y cuando toca derivar el segundo factor se usa la cadena. Al final conviene sacar factor común a la potencia que se repite, como en el último ejemplo: la respuesta queda factorizada y es más fácil ver dónde vale cero.
Ejemplo resuelto
Por qué hace falta la derivada de adentro
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\left(2x + 1\right)^{2}\right)$ con la regla de la cadena y compruébalo desarrollando el cuadrado.
Ver la solución paso a paso
Afuera está $u^2$; adentro, $u = 2x + 1$, cuya derivada es 2.
$$\frac{d}{dx}\left(\left(2x + 1\right)^{2}\right)$$
El exponente baja, el paréntesis se copia con exponente 1 y se multiplica por la derivada de adentro:
$$2 \cdot \left(2x + 1\right) \cdot 2$$
Multiplicamos.
$$8x + 4$$
Comprobación. Desarrollamos primero: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
$$\frac{d}{dx}\left(4x^{2} + 4x + 1\right)$$
Sale lo mismo. Sin el factor 2 de adentro habríamos obtenido $4x + 2$, la mitad.
$$8x + 4$$
Respuesta: $8x + 4$
Ejemplo resuelto
Una potencia de una expresión lineal
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\left(3x - 5\right)^{4}\right)$.
Ver la solución paso a paso
Afuera, $u^4$; adentro, $u = 3x - 5$, con derivada 3.
$$\frac{d}{dx}\left(\left(3x - 5\right)^{4}\right)$$
Bajamos el 4, copiamos el paréntesis con exponente 3 y multiplicamos por la derivada de adentro:
$$4 \cdot \left(3x - 5\right)^{3} \cdot 3$$
Desarrollar $(3x - 5)^4$ habría tomado cinco términos; así es una línea.
$$12 \cdot \left(3x - 5\right)^{3}$$
Respuesta: $12 \cdot \left(3x - 5\right)^{3}$
Ejemplo resuelto
La raíz de una función y su pendiente
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2} + 9}\right)$ y la pendiente de la tangente en $x = 4$.
Ver la solución paso a paso
Afuera, $\sqrt{u}$; adentro, $u = x^2 + 9$, con derivada $2x$. Como $x^2 + 9 > 0$ siempre, la fórmula vale para todo $x$.
$$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2} + 9}\right)$$
La derivada de adentro va arriba, y abajo el doble de la raíz:
$$\frac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 9}}$$
Simplificamos el 2.
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}$$
La pendiente en $x = 4$ es el valor de la derivada allí:
$$\frac{4}{\sqrt{4^{2} + 9}}$$
Porque $\sqrt{16 + 9} = 5$. La pendiente es $0{,}8$.
$$\frac{4}{5}$$
Respuesta: $\frac{4}{5}$
Ejemplo resuelto
Cadena dentro de un producto
Calcula $\frac{d}{dx}\left(x\left(2x + 1\right)^{3}\right)$.
Ver la solución paso a paso
Manda el producto: $f = x$ y $g = (2x + 1)^3$. Con la cadena, $g' = 3(2x + 1)^2 \cdot 2$.
$$\frac{d}{dx}\left(x\left(2x + 1\right)^{3}\right)$$
Regla del producto, $f' \cdot g + f \cdot g'$:
$$1 \cdot \left(2x + 1\right)^{3} + x \cdot 3 \cdot \left(2x + 1\right)^{2} \cdot 2$$
Ordenamos los coeficientes.
$$\left(2x + 1\right)^{3} + 6x\left(2x + 1\right)^{2}$$
Sacamos factor común $(2x + 1)^2$: queda $(2x + 1) + 6x = 8x + 1$ dentro del corchete.
$$\left(2x + 1\right)^{2} \cdot \left(8x + 1\right)$$
Respuesta: $\left(2x + 1\right)^{2} \cdot \left(8x + 1\right)$
Práctica
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\left(5x + 2\right)^{3}$?
3(5x + 2)²·5 = 15(5x + 2)². Sin la derivada de adentro sale 3(5x + 2)²; el exponente tiene que bajar a 2.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\left(x^{2} - 3x\right)^{5}$?
El paréntesis se copia con exponente 4 y se multiplica por la derivada de adentro, 2x − 3. Derivar dentro del paréntesis, 5(2x − 3)⁴, no es la regla.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\sqrt{4x + 1}$, donde la raíz es positiva?
La derivada de adentro, 4, va arriba, y abajo el doble de la raíz: 4/(2√(4x + 1)) = 2/√(4x + 1). Sin el 4 de adentro sale 1/(2√(4x + 1)).
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\frac{1}{\left(2x - 1\right)^{2}}$?
Se escribe (2x − 1)⁻²: baja el −2, el exponente pasa a −3 y se multiplica por 2, la derivada de adentro. Queda −4(2x − 1)⁻³.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $x^{2} \cdot \left(x - 1\right)^{3}$?
Regla del producto: 2x·(x − 1)³ + x²·3(x − 1)²·1. El producto de las derivadas, 2x·3(x − 1)², no es la derivada del producto.
Si $f(x) =$ $\left(x^{2} + 1\right)^{3}$, ¿cuánto vale f′(1)?
f′(x) = 3(x² + 1)²·2x = 6x(x² + 1)². En x = 1: 6·1·4 = 24.
Si $f(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 16}$, ¿cuál es la pendiente de la tangente en x = 3? Escríbela como decimal.
f′(x) = 2x/(2√(x² + 16)) = x/√(x² + 16). En x = 3: 3/√25 = 3/5 = 0,6.
Si $f(x) =$ $\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 1}$, ¿cuánto vale f′(2)?
Con el cociente y la cadena en el numerador: f′(x) = (2(x + 1)(x − 1) − (x + 1)²)/(x − 1)². En x = 2: (2·3·1 − 9)/1 = −3.
¿Verdadero o falso? $\frac{d}{dx}\left(\left(3x + 1\right)^{2}\right) = 2 \cdot \left(3x + 1\right)$
Falta la derivada de adentro, que es 3: la derivada es 2(3x + 1)·3 = 18x + 6.
¿Verdadero o falso? $\frac{d}{dx}\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right) = 4x^{3} + 4x$
Con la cadena: 2(x² + 1)·2x = 4x³ + 4x. Desarrollando, x⁴ + 2x² + 1 tiene la misma derivada.
En y = (x² + 4)⁵, ¿cuál es la función de adentro y cuál la de afuera?
Si se calcula con números, primero se obtiene x² + 4 y al final se eleva a la quinta. Lo que se hace primero es la función de adentro.
Reto
Une cada derivada con su resultado.
Toca una derivada por calcular y luego su resultado. En cada una, busca la derivada de adentro.
Reto
Completa la regla de la cadena.
Elige el número que va en cada hueco.
Cierre
En resumen
En f(g(x)), la función de adentro es la que se calcula primero y la de afuera la que se aplica al final.
Regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x))·g′(x).
Para potencias: la derivada de (g(x))ⁿ es n(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x); el paréntesis se copia y su derivada multiplica aparte.
Para raíces: la derivada de √(g(x)) es g′(x)/(2√(g(x))), donde g(x) > 0.
Dentro de un producto o un cociente, la cadena se usa al derivar cada factor; al final conviene sacar factor común.
Vocabulario
- Composición
Función que resulta de aplicar una función al resultado de otra: f(g(x)).
- Función de adentro
En f(g(x)), la función g, que se aplica primero a x.
- Función de afuera
En f(g(x)), la función f, que se aplica al resultado de g.
- Regla de la cadena
La derivada de f(g(x)) es f′(g(x))·g′(x): la derivada de la de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de la de adentro.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que deriven (2x + 1)² desarrollando el cuadrado y que comparen con la respuesta «2(2x + 1)». El desacuerdo motiva la regla.
- Explicación · 20 min — Afuera y adentro con la pregunta «¿qué haría de último con la calculadora?»; la regla, la analogía de los engranajes y los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, nombrando en voz alta la función de adentro antes de derivar.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una composición, señala afuera y adentro, y la deriva.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en la derivada de (3x − 5)⁴ aparece un 3 que no está en la regla de la potencia?
- Si la función de adentro es x sola, ¿qué dice la regla de la cadena? ¿Contradice lo que ya sabían?
- ¿Dónde no existe la derivada de √(4x + 1)? ¿Qué pasa con la gráfica en ese punto?
Errores típicos
- Olvidar multiplicar por la derivada de adentro. Compare con el desarrollo en un caso pequeño, como (2x + 1)², y pida que encuentren el factor que falta.
- Derivar dentro del paréntesis y conservar el exponente, como si (x² + 1)³ diera (2x)³. Pida que escriban por separado la derivada de afuera y la de adentro antes de multiplicar.
- Confundir cuál es la función de adentro. Haga que evalúen la función en un número paso a paso con la calculadora: lo primero que calculan es lo de adentro.
- En una raíz, olvidar el 2 del denominador. Recuerde que √u = u^(1/2) y que el ½ baja a multiplicar.
Tarea sugerida
Derivar (6x + 1)⁴, (x³ − 2x)², √(9 − x²) indicando dónde vale la fórmula, 1/(x + 3)⁵ y x²√(x + 1); hallar la pendiente de la tangente a y = √(2x + 7) en x = 1.