Derivadas de funciones trascendentes
Lo que vas a aprender
- Usar las derivadas de eˣ, ln x, sen x y cos x.
- Derivar e^(kx), ln(g(x)), sen(kx) y cos(kx) con la regla de la cadena, cuidando el dominio del logaritmo.
- Combinar estas derivadas con las reglas del producto y de la cadena para hallar pendientes de tangentes.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una población de bacterias que se duplica cada cierto tiempo, el enfriamiento de una taza de café, la altura de una cabina en una rueda de Chicago o el voltaje de un tomacorriente no se describen con polinomios. Se describen con exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas. Para saber qué tan rápido crece la población o a qué velocidad sube la cabina, hay que derivar esas funciones.
En esta lección vas a usar cuatro derivadas nuevas, que se aceptan sin demostración, y a combinarlas con la regla de la cadena. Con eso podrás derivar casi todas las funciones que aparecen en los modelos de ciencias.
Antes de empezar necesitas la regla de la cadena, saber que $\ln x$ es el logaritmo en base $e$ y que los ángulos se miden en radianes.
Explicación
Las cuatro derivadas básicas
$$\frac{d}{dx}\,e^x = e^x \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x > 0)$$
$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{sen} x = \cos x \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\cos x = -\operatorname{sen} x$$
La exponencial $e^x$ tiene una propiedad notable: es su propia derivada (y, salvo un factor constante, es la única función con esa propiedad). En cada punto, la pendiente de su gráfica es igual a su altura. Por eso, cuanto más grande es, más rápido crece. Esa es la razón de que el número $e$ aparezca en tantos modelos de crecimiento.
El logaritmo natural solo existe para $x > 0$, y su derivada $\dfrac{1}{x}$ es positiva en todo ese dominio: $\ln x$ siempre crece, pero cada vez más despacio.
En las trigonométricas, fíjate en el signo: la derivada del seno es el coseno, pero la del coseno es menos el seno. Puedes comprobarlo con la gráfica: justo después de $x = 0$ el coseno baja desde su máximo, así que su derivada tiene que ser negativa allí, y $-\operatorname{sen} x$ es negativo para $x$ un poco mayor que $0$.
Estas fórmulas exigen radianes. Si $x$ se midiera en grados, aparecería un factor $\tfrac{\pi}{180}$ en cada derivada.
Con la regla de la cadena
Casi nunca aparecen solas: lo habitual es $e^{3x}$, $\ln(x^2 + 4)$ o $\operatorname{sen}(5x)$. La regla de la cadena dice qué hacer: derivar la de afuera, dejar intacta la de adentro y multiplicar por la derivada de la de adentro.
$$\frac{d}{dx}\,e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x), \qquad \frac{d}{dx}\,e^{kx} = k\,e^{kx}$$
$$\frac{d}{dx}\,\ln\big(g(x)\big) = \frac{g'(x)}{g(x)}, \quad \text{donde } g(x) > 0$$
$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{sen}(kx) = k\cos(kx), \qquad \frac{d}{dx}\,\cos(kx) = -k\operatorname{sen}(kx)$$
Dos errores que aparecen siempre. El primero es tratar $e^x$ como una potencia y «bajar el exponente»: la regla $n\,x^{n-1}$ es para base variable y exponente fijo, y en $e^x$ es al revés. La derivada de $e^{5x}$ no es $5x\,e^{5x - 1}$, es $5e^{5x}$. El segundo es olvidar la derivada de adentro: la derivada de $\operatorname{sen}(4x)$ no es $\cos(4x)$, porque falta el 4.
El logaritmo y su dominio
La fórmula $\dfrac{g'}{g}$ solo tiene sentido donde $g(x) > 0$, porque fuera de ahí el logaritmo no existe. La derivada de $\ln(x - 2)$ es $\dfrac{1}{x - 2}$, una expresión que se puede calcular para $x = 0$, pero la función no existe en $x = 0$. Siempre que derives un logaritmo, di dónde vale lo que escribiste.
Un caso curioso: la derivada de $\ln(3x)$ es $\dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}$, la misma de $\ln x$. No es casualidad: $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$, y $\ln 3$ es una constante.
Con las demás reglas
Las reglas del producto y del cociente funcionan igual con estas funciones. La derivada de $x\,e^x$ es $1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1)\,e^x$, y no $1 \cdot e^x$, que sería el producto de las derivadas. Como $e^x$ nunca vale cero, el signo de esa derivada lo decide $x + 1$: la función baja para $x < -1$ y sube para $x > -1$.
Lo que dice el signo
El signo de la derivada sigue contando cómo se mueve la función. La derivada de $e^{kx}$ es $k\,e^{kx}$, y como $e^{kx}$ siempre es positiva, el signo lo decide $k$: con $k > 0$ la función crece en todas partes, como una población que se multiplica; con $k < 0$ decrece en todas partes, como un medicamento que el cuerpo va eliminando. En el seno y el coseno, en cambio, la derivada cambia de signo una y otra vez: por eso esas funciones suben y bajan sin parar.
Ejemplo resuelto
Una exponencial y un logaritmo
Calcula $\frac{d}{dx}\left(e^{3x} + 5\ln x\right)$ para $x > 0$.
Ver la solución paso a paso
Derivamos cada término. En $e^{3x}$ la de adentro es $3x$, con derivada 3.
$$\frac{d}{dx}\left(e^{3x} + 5\ln x\right)$$
La exponencial se copia y se multiplica por 3; el 5 se conserva y $\ln x$ da $\dfrac{1}{x}$:
$$e^{3x} \cdot 3 + \frac{5 \cdot 1}{x}$$
Ordenamos. El resultado vale para $x > 0$, que es donde existe $\ln x$.
$$3e^{3x} + \frac{5}{x}$$
Respuesta: $3e^{3x} + \frac{5}{x}$
Ejemplo resuelto
El logaritmo de una función
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\ln \left(x^{2} + 4\right)\right)$ y la pendiente de la tangente en $x = 2$.
Ver la solución paso a paso
Adentro está $g = x^2 + 4$, que es positiva para todo $x$: la función existe en todos los reales.
$$\frac{d}{dx}\left(\ln \left(x^{2} + 4\right)\right)$$
La derivada de la función de adentro dividida entre la función de adentro, $\dfrac{g'}{g}$:
$$\frac{2x}{x^{2} + 4}$$
La pendiente en $x = 2$:
$$\frac{2 \cdot 2}{2^{2} + 4}$$
La pendiente es $0{,}5$.
$$\frac{1}{2}$$
Respuesta: $\frac{1}{2}$
Ejemplo resuelto
Producto con un seno
Calcula $\frac{d}{dx}\left(x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(3x\right)\right)$.
Ver la solución paso a paso
Manda el producto: $f = x^2$ y $g = \operatorname{sen}(3x)$. Por la cadena, $g' = 3\cos(3x)$.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(3x\right)\right)$$
Regla del producto, $f' \cdot g + f \cdot g'$:
$$2x \cdot \operatorname{sen}\left(3x\right) + x^{2} \cdot 3\operatorname{cos}\left(3x\right)$$
Ordenamos los coeficientes. El producto de las derivadas, $2x \cdot 3\cos(3x)$, no es la derivada.
$$2x \cdot \operatorname{sen}\left(3x\right) + 3x^{2} \cdot \operatorname{cos}\left(3x\right)$$
Respuesta: $2x \cdot \operatorname{sen}\left(3x\right) + 3x^{2} \cdot \operatorname{cos}\left(3x\right)$
Ejemplo resuelto
Un coseno evaluado en radianes
Calcula $\frac{d}{dx}\left(\operatorname{cos}\left(2x\right)\right)$ y su valor en $x = \tfrac{\pi}{4}$.
Ver la solución paso a paso
Afuera, el coseno; adentro, $2x$, con derivada 2.
$$\frac{d}{dx}\left(\operatorname{cos}\left(2x\right)\right)$$
La derivada del coseno lleva signo menos, y multiplicamos por 2:
$$-2\operatorname{sen}\left(2x\right)$$
Evaluamos en $x = \tfrac{\pi}{4}$, en radianes:
$$-2\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{4}\right)$$
Simplificamos el ángulo.
$$-2\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
Como $\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2} = 1$, la pendiente es $-2$: allí la función baja.
$$-2$$
Respuesta: $-2$
Práctica
¿Cuál es la derivada de $y =$ $e^{5x}$?
La exponencial se copia y se multiplica por la derivada de adentro, 5. Bajar el exponente, 5x·e^(5x − 1), es usar la regla de la potencia donde no va.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\ln \left(3x\right)$, para x positivo?
Con la cadena: 3/(3x) = 1/x. Olvidar la derivada de adentro da 1/(3x); olvidar el denominador da 3/x. Además ln(3x) = ln 3 + ln x, y ln 3 es constante.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\operatorname{sen}\left(4x\right)$?
La derivada del seno es el coseno, con el mismo ángulo 4x, multiplicado por la derivada de adentro, 4. El signo menos es del coseno, no del seno.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\operatorname{cos}\left(x^{2}\right)$?
Afuera, cos u, con derivada −sen u; adentro, u = x², con derivada 2x. El ángulo x² se copia: −sen(2x) deriva dentro del coseno, que no es la regla.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $x \cdot e^{x}$?
Regla del producto: 1·eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ. Solo eˣ es el producto de las derivadas, 1·eˣ.
¿Cuál es la derivada de $y =$ $\ln \left(x^{2} + 1\right)$?
La derivada de ln(g) es g′/g: 2x/(x² + 1). Sin la derivada de adentro sale 1/(x² + 1). Como x² + 1 > 0, vale para todo x.
La función $y =$ $\ln \left(x - 2\right)$ y su derivada solo tienen sentido donde lo que está dentro del logaritmo es positivo. ¿Cuál es ese conjunto?
Hace falta x − 2 > 0, es decir, x > 2. En x = 2 el logaritmo no existe, por eso el extremo queda abierto. Que 1/(x − 2) se pueda calcular en x = 0 no hace que la función exista allí.
Si $f(x) =$ $e^{2x} + x^{2}$, ¿cuánto vale f′(0)?
f′(x) = 2e^(2x) + 2x. En x = 0: 2·1 + 0 = 2, porque e⁰ = 1.
Si $f(x) =$ $x\ln x$, ¿cuál es la pendiente de la tangente en x = 1?
Por el producto, f′(x) = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1. En x = 1: ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1.
¿Verdadero o falso? $\frac{d}{dx}\left(\operatorname{cos} x\right) = \operatorname{sen} x$
La derivada del coseno es −sen x. Justo después de x = 0 el coseno baja, así que su derivada tiene que ser negativa allí.
¿Verdadero o falso? $\frac{d}{dx}\left(e^{x^{2}}\right) = 2x \cdot e^{x^{2}}$
La exponencial se copia con el mismo exponente x² y se multiplica por la derivada de adentro, 2x.
Reto
Une cada función trascendente con su derivada.
Toca una derivada por calcular y luego su resultado. Cuidado con los signos y con la derivada de adentro.
Reto
Abre el candado de las tangentes.
Cada respuesta es la pendiente de una tangente en x = 0 o en x = 1, y es una cifra del código.
Cierre
En resumen
La derivada de eˣ es eˣ; la de ln x es 1/x, para x > 0.
La derivada de sen x es cos x y la de cos x es −sen x, con x en radianes.
Con la cadena: e^(kx) da k·e^(kx), sen(kx) da k·cos(kx) y cos(kx) da −k·sen(kx).
La derivada de ln(g(x)) es g′(x)/g(x), y solo vale donde g(x) > 0.
En eˣ el exponente no baja: la regla de la potencia es para base variable y exponente fijo.
Vocabulario
- Número e
Número irracional, aproximadamente 2,718, que es la base de la exponencial natural eˣ.
- Logaritmo natural
El logaritmo en base e, ln x. Solo está definido para x > 0.
- Función trascendente
Función que no se obtiene con un número finito de sumas, productos, cocientes y raíces, como eˣ, ln x, sen x y cos x.
- Radián
Unidad de ángulo en la que una vuelta completa mide 2π. Las derivadas de sen x y cos x solo valen con x en radianes.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte las gráficas de eˣ y de sen x y pida que estimen la pendiente en algunos puntos. ¿Qué observan en eˣ? ¿Y dónde la pendiente del seno es cero?
- Explicación · 20 min — Presente las cuatro derivadas sin demostración, con la comprobación gráfica del signo del coseno, y luego la regla de la cadena con los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Pida que cada estudiante explique por qué la derivada de e^(5x) no es 5x·e^(5x − 1).
Preguntas para el salón
- ¿Qué significa que eˣ sea su propia derivada? ¿Cómo se ve en la gráfica?
- ¿Por qué ln(3x) y ln x tienen la misma derivada?
- Si derivamos sen x cuatro veces seguidas, ¿qué obtenemos?
Errores típicos
- Bajar el exponente en eˣ como si fuera una potencia. Contraste x² (base variable, exponente fijo) con 2ˣ o eˣ (base fija, exponente variable) y pida que digan cuál regla corresponde a cada una.
- Olvidar el signo menos en la derivada del coseno. Vuelva a la gráfica: justo después de x = 0 el coseno baja, así que su derivada tiene que ser negativa.
- Derivar ln(g(x)) como 1/g(x), sin la derivada de adentro. Pida que escriban siempre la fracción g′/g y que identifiquen g antes de derivar.
- No decir dónde vale la derivada de un logaritmo. Exija que cada respuesta con ln lleve su dominio, como en la pregunta de ln(x − 2).
Tarea sugerida
Derivar e^(−2x), 4 ln x − x², sen(5x) + cos(3x), x² eˣ y ln(x² + 9); hallar la pendiente de la tangente a y = e^(2x) en x = 0 y escribir la ecuación de esa recta.